22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积 课件2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 第二十二章 二次函数 第1课时 几何图形的最大面积 将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？ 情景引入 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. (1)y＝x2－4x－5; (配方法) (2)y＝－x2－3x＋4.(公式法) 探索求知 ∴开口方向：向上； 对称轴：直线 x＝2； 顶点坐标：(2，－9)； 当x＝2时，y最小值＝－9. ∴开口方向：向下； 引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t 2 (0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 求二次函数的最大（或最小）值 t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h＝30t－5t 2 (0≤t≤6) 探索求知 问题1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值由什么决定？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值由a及自变量的取值范围决定. 探索求知 x y O 最小值 x y O 最大值 问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值是多少？ 问题3 当自变量x有限制时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值如何确定？ 探索求知 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在x＝ 时，取得最大(或小)值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值. 小球运动的时间是3s时，小球最高.小球运动中的最大高度是45m． 试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题： t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h＝30t－5t 2 (0≤t≤6) 探索求知 把h＝30t－5t 2化为一般式得 h＝－5t 2＋30t 例1 求下列函数的最大值与最小值： 1 -3 O x y 典例精析 ？ 即x在对称轴的右侧. ∴函数的值随着x的增大而减小. -3 1 典例精析 方法归纳 当自变量的范围有限制时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值可以根据以下步骤来确定： 1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. 2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. 3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值. 例2 用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ 矩形面积＝长×宽 邻边长为(30－l)米 S＝(30－l)l＝－l 2＋30l 二次函数与几何图形面积的最值 典例精析 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示其邻边的长？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 【分析】 解：根据题意得 ∴当l是15m时，场地的面积S最大. 问题4 当l是多少米时，场地的面积S最大？ 典例精析 S＝(30－l)l 即 S＝－l 2＋30l (0＜l＜30) 5 10 15 20 25 30 100 200 l S O 变式 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. 60－2x x x (1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大 面积是多少？ 【分析】设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为 m. 矩形菜园的面积S＝ . 想一想 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. (60－2x) x(60－2x)＝－2x2＋60x 变式训练 写出二次函数解析式，化为顶点式 ∴当x＝15m时，S取最大值，此时S＝450m2. 解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为(60－2x)m. ∴矩形菜园的面积 S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. ∵S＝－2x2＋60x＝－2(x2－30x) 由题意得0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 变式训练 S＝－2(x－15)2＋450 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 根据题意，求出自变量的取值范围 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值 15 x y O 14 30 S＝－2(x－15)2＋450 450 (2)当墙长18m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大， 最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为xm. S＝－2(x－15)2＋450. 问题1 与(1)有什么区别？ 试一试 求自变量的取值范围. 解得 21≤x＜30 变式训练 60－2x x x ∴矩形菜园的面积 S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 是否依然在x＝15时，S取得最大值？ 问题2 当21≤x＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？当x取何值时，S取得最大值？ 当21≤x＜30时，S随x的增大而减小; 当x＝21时，S取得最大值， 此时S＝－2×(21－15)2＋450＝378m2. 变式训练 15 x y O 21 30 S＝－2(x－15)2＋450 450 注意：实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值. 例3 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 解得 0＜x＜2. 根据题意得 典例精析 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m. x 矩形窗框的透光面积为y. 怎么求x的取值范围？ ∴当x＝1时，y最大值＝1.5. 答：所做矩形窗框的宽为1m、高为1.5m时， 它的透光面积最大，最大面积是1.5m2. 典例精析 (0＜x＜2) ∵0＜1＜2 ∴二次函数的对称轴为直线 x＝1 1 x y O 1.5 2 1.5 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量 的取值范围内. 二次函数解决几何面积最值问题的方法 知识要点 1.二次函数y＝(x＋1)2－2的最小值是( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2.二次函数y＝－2x2－4x＋3(x≤－2)的最大值为 . 3 3.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最 大值是 . A 8 课堂练习 4.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. 解：∵BC＝xm 课堂练习 A B C D xm (2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ ∵0＜20＜25 ∴当x＝20时，绿化带的面积取得最大值，最大值为200m2. 课堂练习 20 x y O 200 25 200 5. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； 解：设矩形一边长为xm，则另一边长为(6－x)m. ∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x,(0＜x＜6) 课堂练习 S＝－(x－3)2＋9 (0＜x＜6) ∴当x＝3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 这时设计费最多，为 9×1000=9000（元）. (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 课堂练习 解：把 S＝x(6－x)＝－x2＋6x (0＜x＜6)化为顶点式得 ∵0＜3＜6 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm， BC＝24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、 Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小，最少面积是 . 3 课堂练习 A B C P Q 176cm2 自变量的取值范围是什么？ 课堂小结 $$