2024年北京市高中数学联赛初赛一试试题

2024年北京市高中数学联赛初赛一试 考试时间:8:00-9:20 一、填空题(1一8题每题8分,第9题16分,第10,11题每题20分,共120分) 1.设整数集合A=fa.,a,a.a.a).若A中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为B={-30.-15. -10.-6.-5.-3.2.6.10.15),则集合A-(-30.-15.-10.-6.-5.-3.20.10.15),则集合A=__ (x+2x<o: 2.已知函数/(x)= ln(1x+1).x>0. 若关于x的方程/(f(x))三m恰有三个不相等的实数根x×.×.&且 ln(x:+4) 3.从1.2....,2024中任取两个数a,b(a<b),则3+7的值中.个位数字为8的数有 (x.若x为无理数: 5.已知函数/(x)= 则函数/(x)在区间(.)上的最大值为__. 7.已知函数/(x)=cos'x+sin'x+asin4x-b.且/(x+-)为奇函数.若方程/(x)+m=0在[0.a]上有四个 8.已知AC(1.2...,2625),且A中任意两个数的差的绝对值不等于4.也不等于9,则4的最大值为 整数根,N的最大值是___. 10.在校长为4的正方体ABCD一A.B.C.D.中,E为校AA,上的一点,且A.F=1.F为截面A.BD上的动点; 则AF+FE的最小值等于___. (2)! 11.数列(a.定义如下:设 n!(n+2024)! 写成既约分数后的分母为A(n):a.等于24(n)的最大质因数,则a 的最大值等于___. 表进 CS扫描全能王 亿人在用韵扫描A 2024年北京市高中数学联赛初赛一试 考试时间:8:00-9:20 一、填空题(1一8题每题8分,第9题16分,第10,11题每题20分,共120分) 1.设整数集合A={a.a.a,a..a,若A中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为B={-30,-15 -10.-6.-5.-3.2.6.10.15),则集合4=(-30.-15.-10.-6.-5.-3.20.10.15),则集合4= _. 【答案] 【析】 [x+2x<0: 2.已知函数/(x)= 1n(r+1).x0 若关于x的方程/(/(x))=m恰有三个不相等的实数根x.x..x、目 2r.9 满足x<x,<x,则 -的取值范围是___ ln(x+4) 【答案】 【析】 3.从1.2.....2024中任取两个数a,b(a<b),则3+7的值中.个位数字为8的数有个 【答案】 【解析】 【答案! 【析】 (x.若x为无理数: 则函数/()在区间()上的最大值为. 【答案] 【解析】 6.对于e>0,若非零实数a,b满足4o-2ab+46-c=0.,且使12a+b(最大,则3--4+2的最小值为 【答案】 【解析】 7.已知函数/(x)=cosx+sinx+asin4x-b,且./(x+)为奇函数.若方程/(x)+m=0在[0.x]上有四个 [答案】 【析】 8.已知4C(1.2....,2625),且A中任意两个数的差的绝对值不等于4,也不等于9,则14的最大值为 【答】 【析】 CS扫描全能王 亿人在用韵扫描A 整数根,N的最大值是__. 【答案】 【解析】 10.在校长为4的正方体ABCD一AB.C.D.中,E为校AA,上的一点,且.A.F=1,F为截面A.BD上的动点 则AF+FE的最小值等于_. 【答案] 【解析】 (2)! 11.数列(a.)定义如下:设 !(n+2024)! 写成既约分数后的分母为A(n),a.等于2A(n)的最大质因数,则a 的最大值等于___. 【答案】 【解析] 表进 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap 2024年全国高中联赛北京赛区预赛试题 一试 填空题:1一8题每题8分,第9题16分,第10.11题每题20分,共120分. 1. 设整数集合A={aì,a2,a3,a4,a5],若A中所有三元子集的三个元素之积组成 的集合为B=$-30,-15.-10,-6,-5.-3,2,6.10,15 ,则集合A= 解答 若aì<a2<a3<a4<as,依题意,aì,Q2,a3,a4,as中两负三正,则aìà2a3=2 →a=-2,a2=-1,a3=1,且(aa2aaa4a5)=(-30)(-15)(-10)(-6)(-5)(-3)x $$ t 6 xi10t15=30$→aaa4a$=30,于是aà$=15→a4=3,a$=5$$ 所以A=[-2,-1,1,3,5. x+2,x<0. 2.已知函数f(x)= #1n(+1), 0# 若关于x的方程f(f(x)三m恰有三 2c+9 个不相等的实数根x1,x2.x3且满足x1<x2<x3,则 ln(2十4) 的取值范围是 解答 2 (x+4x<-2, 1n({),-252<o g()一 1^({1)1, 0 2 如上图所示,f(x)<0→x<-2,此时f(f(x)=f()+2=+4; f()>0→-2<x<0或x>0,当-2<x<0时,f()=+2, f($f())=f(+2)=ln|(x+2)+1]=lìn(1x+2).设0<m<ln2, 于是x1+4=ln(1+2)=m→1=m-4.2=2(em-2), ln(2+4)=ln(2e") )m十ln2 m+ln2 CS扫描全能王 5亿人在用的扫描Ap 221+9 (1121+2121 所以 n(2+4) 的取值范围是 3. 从1,2,..,2024中任取两个数a,b(a<),则3^+7的值中,个位数字为8 的数有 个. 解答 3“7*均为奇数,且34=1,74=1(mod5),则34m=1,34m+1=3,34m+2=9 34m+3=7 (mod 10);74n=1, 74n+1=7, 74n+2=9,74n+3=3 (mod 10), 于是3+7*个位数字为8的(a.b)为(4m,4n十1),(4m+2,4n+2),(4m+3,4n) 1,2,...,2024中4的倍数及模4余1,2,3的数各有506个,注意到a<b, 则(4m,4n+1)组合中最小的数组为(4,5),最大的数组为(2020,2021),共 有505+504+...+1=127765个;(4m+2,4n+2)组合中最小的数组为 (2,2),最大的数组为(2022,2022),共有506+505+..·+1=128271个; (4m+3,4n)组合中最小的数组为(3,4),最大的数组为(2023,2024),共有 $06+505+...+1=128271个.下面证明(a.b)与3+7*--对应. $由于 <→3^{+7*<3+7*<7*+7*=2.7*,不妨设$ $ $$$ 则$ 7* 3^{+7=3{ì+7*>7*→$ +lo 2>b $ 2→ = $$ 从而a1=a2,即(a,b)与3+7一-对应 综上,个位数字为8的数有127765+2×128271-384307个. 2-5+7i 解答 2-10+74-0→(2-5)②=-49→z=5士7, 2-102+74(2-5-7i)(z-5+7i) 则1= -2-5-7i. 2-5+7 z-5+7i 依题意,132-21=6→---2 于是l2l-}2-5-7il-(2-2)-(5+101) <-3++0-2+0,所以12的最大值是2+5 3 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap 工.若x为无理数 5. 已知函数f(t)= 则函数f(x) 在区间 (8) 上的最大值为 解答 8a+8$<9a, →8\<a<9$. 10a 9a+9 $ 当入=1时,a不存在; 当\=$时,a=17,此时x=17→$(1)18; 当$>>3时,取a=8x+m→1<m<$-1, 8+m→f(g)=-9 此时- 8+m+1,于是18-8+m+1 9x+m $89$ +m)-19(8\+m+1)10$-m-19 10(\-m)+9m-19$ 乙0; 19(9+m) 19(9X+m) 19(9X+m) 1. 所以f(c)的最大值为 6. 对于c>0,若非零实数a.b满足4a2-2ab+4b2-c=0,且使 l2a+bl最大, 解答 设t=2a+b→b=t-2a,则4a2-2ab+4b2-c=4a2-2a(t-2a)+4(t-2a)②- 等号成立时no-t,b-,c-# 从而lt的最大值为 的最小值为-5. 7. 已知函数f(a)=cos4+sinx+asin4r-b,且f(a+) 为奇函数,若方程 f()十m=0在[0,r]上有四个不同的实数解x1,x2,3,4,则 (2+2+-的 的平方为 解答 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap f()=(cos②x+sin2x)2-2sin2x cos2x+asin4r-b #()-f(+)# 为奇函数,则b-3,且()-/()-.(-)+- (_△{- 21 2213π3 24 对称,即1+2+23+24 若m 7π 24 24. 4 (-#3-2,2, 1共天 13 me 21+a2+3+24 对称,即 13π 24 4 24. 所以f(+2-4) (#)#1# 的平方为 8. 已知AC[1,2,..,2625],且A中任意两个数的差的绝对值不等于4,也不 等于9,则Al的最大值为 解答 由于2625=13x201+12,取 $A=$xl-13k +t0<k<20ì,kEt=14,6,911 2 即可满足A中任何两个数的差的绝对值不等于4,也不等于9 设|-l=13(k-m)+a-bl,其中0<m<k<20l,a,bE$1,4,6,9,11, 2} ①若k-m2,13(k-m)26,而-11<-b<11,则 \l13(k-m)+a-$bl4 或9; $②若k-m=1,l$13+a-=4 或9→-b=-4或-9,而$ $$ (1,4,6,9,11,12,矛盾! ③若k -m=0,la-b=4或9,而abE$1,46,9,11.12,矛盾! 故A中任何两个数的差的绝对值不等于4.9,此时|A=6x202=1212 CS扫描全能王 5亿人在用的扫描Ap 另一方面,在模13下将1.5.9.0.4.8.12.3.711.2 6.10这13个数字排成一个首尾相邻的面圈(这里 1.10相连),任意两个相邻数的差的绝对值均为42 或9,那么从中任取7个数,必定会有两个数相邻, 不满足题意,因此在1.2.....13中,不可能同时有 7个作为余数t入选A,即1Al<6x202-1212 综上,A的最大值为1212 根的个数(含重根),若f(x)无负整数根,则N的最大值是 解答 取f(a)-(-1)(-1)(1)(rll-1)(1)(43-1)($5-1)(17-1)(r3411) x(68s-1)60,f(x)的次数为1+3+5+11+21+43+85+171+341+683+660 一2024,且f(x)展开后任意两项的x的指数不同,即每一项的系数为一1.0.1. 显然一1不是f(x)的根,1是f(x)的10重根,此时N-10. 若N 11,则(x-1) ]|f(a),取x=-1→2ll|f-1),显然f-1)0 f(-1)=1+{ 综上,N的最大值是10. 10. 在梭长为4的正方体ABCD-A.BC.D;中,E为楼AA 上的一点,且 A.E=1,F为截面A.BD上的动点,则AF+FE的最小值等于 解答 C扫描全能王 人在耳 如图,截面CD.B/|/ABD,连接AO,AC 则△ACG~△OAG,且相似比为2:1 于是AO=2V2,AG-43 4#13 G2#G# 3 ⊙ →AC 1AO,从而AC 1截面ABD. 设点A'是点 A关于截面A.BD的对称点 则AF十FE的最小值等于EA'. 由于EA-AA-AE-2AC-3AA, 综上,AF+FE的最小值等于 (2n)! 11.数列(an)的定义如下:设 写成既约分数后的分母为A(n), Qr n!(n+2024)! 等于2A(n)的最大质因数,则an的最大值等于 意()_[[]|) 解答 于是#(# ((2n)!.2048!) #(!(n+2024)!) 0→n!(n+2024)!I(2n)!·2048!. 依题意,an |A(n),A(n) |n!(n+2024)!→an |(2n)!-2048!,又(A(n),(2n)!)=1 则(n,(2n)!)=1→an|4048!,而小于4048的最大质数是4027,即an<4027. (2)! 4006! 取n-2003, 显然有a2003-4027. n!(n+2024)!-2003!·4027!' 所以an的最大值等于4027. 二试 1.设a.b.c是三个正数,求证: 2a 3v2(a+b+c) 5a2+5b2+5c2+ab+bc+cā 解答 CS扫描全能王 亿人在用韵扫描A $ S+2-2x.2 $$VS+^{} 则f$(g)= 2S $+^2 ($+2)’ f"()=-6Sx·(S+a2)-}<0,于是f(x)是上凸函数,由琴生不等式得 2b 2a 2c 2(a+b+c) 3 6(a+b+c) 9 6(a+b+c) 32(a+b+c) 10(}+b2+c2)+2(ab+bc+ca)5a?+5b2+5c2+ab+bc+ca 所以原不等式成立. 2. 如图所示,锐角△ABC的三条高 线 AD,BE.CF交于点H,过点 F作FG//AC交直线BC于点G, 设△CFG的外接圆为。O,⊙O 与直线AC的另一个交点为P,过 P作PQ//DE交直线AD于点Q, 连接OD,DQ.求证:OD=OQ. 解答 如图,延长BA交O于点R, 连接PR.QR.GR.CR.OG. CFIAB→CR为。的直径, 又PPQ/DE→ 1=2=3= 4=5,于是A.PQ.R四点共 圆,乙AQR= APR-90. 从而QR//BC,则ORQ=180*- $$$CG=180*- OGC= OGD$$$ CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap口