2.3.4 两条平行直线间的距离课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.4两条平行直线间的距离 2024.8 教学目标： 教学重点： 教学难点： 掌握两条平行直线的距离公式． 1.掌握两条平行直线的距离公式； 2.能运用距离公式解题； 3.培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 能运用两条平行直线间的距离公式解题． 情境导入 当今城市，为给市民提供休闲场所，一方面满足骑车爱好者的骑行锻炼，又为喜欢跑步、快走的提供最佳途径，而且他们在锻炼的同时还能欣赏美景。 图中两条白线是平行的，那么如何测量这两平行直线之间的距离？ 知识点　两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. x y o l1 l2 Q 求两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离. 解:在直线上Ax+By+C1=0任取一点,如P(x0,y0) P 则两平行线的距离就是点P(x0, y0) 到直线Ax+By+C2=0 的距离。（如图） 因此，d= 注意 (1)把直线方程化为直线的一般式方程; (2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等； (3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离. 两条平行直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：6x＋8y－5＝0之间的距离是(　　) 练习： 3x＋4y－5＝0，即6x＋8y－10＝0， 两平行线间的距离为 2. （2024·云浮月考）已知两平行直线 x ＋2 y －5＝0与2 x ＋4 y ＋ m ＝0 间的距离为 ，则 m ＝（　　） A. 0或－10 B. 0或－20 C. 15或－25 D. 0 x ＋2 y －5＝0可化为2x ＋4 y －10＝0 ∴两平行直线间的距离为 题型一 两平行直线间的距离 例1（1）（2024·莆田月考）两平行直线 l1： x －2 y － ＝0， l2：4 y －2 x －3 ＝0之间的距离为（　A　） 直线 l1： x －2 y － ＝0可变为2x －4 y －2 ＝0 ∴两平行直线间的距离为 （2）已知直线5 x ＋12 y －3＝0与直线10 x ＋ my ＋20＝0平行，则它们 之间的距离为 ⁠. 由两条直线平行可得 直线10 x ＋ my ＋20＝0可化为5 x ＋12 y +10=0 ∴两平行直线间的距离为 求两平行直线间的距离的方法 （1）转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点 到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时， 常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算； （2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中 x ， y 的系 数对应相等. 练习：（2024·绍兴月考）已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3 x ＋2 y ＋1＝0和3 x ＋2 y ＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4 x －6 y ＋ c1＝0和4 x －6 y ＋ c2＝0，则｜ c1－ c2｜＝（　　） 直线3 x ＋2 y ＋1＝0与3 x ＋2 y ＋4＝0间的距离 d1＝ 4 x －6 y ＋ c1＝0和4 x －6 y ＋ c2＝0间的距离 d2＝ d1＝ d2， 题型二 平行线间距离公式的应用 角度1　直线方程的确定 例2　（多选）已知直线 l1：2 x ＋3 y －1＝0和 l2：4 x ＋6 y －9＝0， 若直线 l 到直线 l1的距离与到直线 l2的距离之比为1∶2，则直线 l 的 方程为（　　） A. 2 x ＋3 y －8＝0 B. 4 x ＋6 y ＋5＝0 C. 6 x ＋9 y －10＝0 D. 12 x ＋18 y －13＝0 设直线 l ：4 x ＋6 y ＋ m ＝0， m ≠－2且 m ≠－9， 直线 l 到直线 l1和到直线 l2的距离分别为 d1， d2. 所以直线 l 的方程为4 x ＋6 y ＋5＝0或12 x ＋18 y －13＝0. 求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0或l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程． 设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0. 由直线l与两条平行线的距离相等， 即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1. 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. (多选)下列直线中与直线l：2x－y－1＝0平行且距离为的是(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．2x－y－6＝0 D．4x－2y－7＝0 设与直线l：2x－y－1＝0平行的直线为2x－y＋m＝0(m≠－1)， 解得m＝4或m＝－6，即该直线为2x－y＋4＝0或2x－y－6＝0， 角度2　平行直线间距离的最值问题 例3　（2024·丽水月考）已知直线 l1经过点 P （0，1），直线 l2经 过点 Q （5，0），且 l1∥ l2. （1）求 l1与 l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程； 连接 PQ （图略），则当直线 l1， l2均与直线 PQ 垂直时， l1与 l2之间的距离最大. x y o P Q 因为直线 PQ 的斜率为 所以此时直线 l1与 l2的斜率均为5， l1与 l2之间的最大距离为 直线 l1的方程为 y ＝5 x ＋1， l2的方程为5 x － y －25＝0. （2）若 l1与 l2间的距离为5，求两直线的方程. ①若 l1， l2的斜率都存在，设其斜率为 k ，则 l1的方程为 y ＝ kx ＋1，即 kx － y ＋1＝0， l2的方程为 y ＝ k （ x －5），即 kx － y －5 k ＝0. 所以直线 l1的方程为12 x －5 y ＋5＝0 直线 l2的方程为12 x －5 y －60＝0 ②若 l1， l2的斜率都不存在，则 l1的方程为 x ＝0， l2的方程为 x ＝5， 它们之间的距离为5，符合题意.综上所述，两直线的方程为 l1：12 x －5 y ＋5＝0， l2：12 x －5 y －60＝0或 l1： x ＝0， l2： x ＝5. 通性通法 　　解决两平行直线间距离的最值问题要深刻理解题目条件所表示的几何意义，将“数”转化为“形”，利用图形的直观性或两平行直线 特有的性质加以解决. 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和直线l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为________． 由题意，线段AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和直线l2：x＋y－5＝0距离相等的直线，记为l，则M到原点距离最小值为原点到l的距离， 设直线l：x＋y＋m＝0， 解得m＝－6，所以l：x＋y－6＝0， 根据点到直线的距离公式可得，M到原点的距离的最小值 （2024·扬州月考）若直线2 x ＋ y －3＝0与直线4 x ＋2 y ＋ a ＝0之间 的距离不大于 ，则实数 a 的取值范围为（　　） A. （－∞，4] B. [－16，4] C. [－4，16] D. [4，16] 直线2 x ＋ y －3＝0化为4 x ＋2 y －6＝0， 则两直线之间的距离 解得－16≤ a ≤4， 所以实数 a 的取值范围为[－16，4]， $$