第5章 平行四边形 单元测试卷2024-2025学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

鲁教版（五四制）八年级上册《第5章 平行四边形》单元测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1. 如图，在▱中，过点作高，垂足刚好为点，，，则▱的周长是 A. B. C. D. 【知识点】 含30°角的直角三角形平行四边形的性质 【解析】 解：在中，，，即，，，▱，，，▱的周长，故选根据含角的直角三角形的性质，求出，再根据平行四边形的性质求得结果．本题主要考查了含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，能灵活应用这两个性质是解题的关键． 试题ID:  847edccb-f4e3-4e63-bd0c-63b15c036113 2. 已知正多边形的一个外角为，则这个多边形的内角和为 A. B. C. D. 【知识点】 多边形内角与外角 【解析】 解：，这个正多边形的边数是所以这个多边形的内角和是故选：先根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少，再根据多边形内角和定理求出内角和即可．此题主要考查了多边形的内角与外角，解答此题的关键是要明确多边形的外角和定理． 试题ID:  ada6a7c6-5005-4d38-b390-ab618f5c013a 3. 如图，▱的对角线，相交于点，下列结论不一定正确的是 A. B. 点是的对称中心 C. D. 【知识点】 平行四边形的性质中心对称的概念 【解析】 解：因为四边形是平行四边形，所以，所以，故本选项不符合题意；B.▱是中心对称图形，点是的对称中心，故本选项不符合题意；C.因为四边形是平行四边形，所以，故本选项不符合题意；D.四边形是平行四边形，但与不一定相等，故本选项符合题意．故选：根据平行四边形的性质以及中心对称的定义逐一判定即可．本题考查了平行四边形的性质以及中心对称的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 试题ID:  fc93bd5b-585f-43e8-9df3-4523769835ca 4. 如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为 A. B. C. D. 【知识点】 勾股定理轴对称-最短路线问题正方形的性质 【解析】 解：作点关于的对称点，连接交于点，四边形是正方形，与关于对称，点在线段上，，周长，此时周长有最小值，，，，，，周长的最小值为，故选：作点关于的对称点，连接交于点，此时周长有最小值，最小值为本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质，直角三角形勾股定理是解题的关键． 试题ID:  97ba6190-b03f-4f4d-b5a2-de7960fd4926 5. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为 A. B. C. D. 【知识点】 三角形的面积全等三角形的判定与性质 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，由条件得出阴影部分面积为的一半是解题的关键．延长交于，则由条件可知，则，，由此可得，则阴影部分面积为的一半，可得出答案．【解答】解：延长交于，垂直的平分线于，，又知，，，，，和等底同高，，，故选 试题ID:  a26b4db3-58f7-41d1-9b2b-2134633344e1 6. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点，点是的中点，则与的面积比为 A. ： B. ： C. ： D. ： 【知识点】 平行四边形的性质三角形的中位线定理 【解析】 解：四边形是平行四边形，，点是的中点与的面积比为：故选：由题意可得：，由点是中点，可得即可求与的面积比．本题考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 试题ID:  2a1bf693-04c5-428a-aaa1-eb14af0bb531 7. 如图，在七边形中，，，则下列关系式中错误的是 A. B. C. D. 【知识点】 多边形内角与外角平行线的性质 【解析】 解：如图，延长交于点、延长交于点，，，，，故选项正确；，，，，故选项正确；，，，，，故选项正确；故选：延长交于点、延长交于点，由知，根据得可判断；由知，再根据得可判断；由知，根据可得，据此可判断，从而得出答案．本题主要考查多边形的内角与外角，解题的关键是掌握平行线的性质及三角形的外角性质、四边形的内角和等知识点． 试题ID:  ae4fde70-b5d2-43b9-bd2d-f654cd00f25c 8. 在中，已知，，是上的高，是上的高，是和的交点，的度数是 A. B. C. D. 【知识点】 三角形的角平分线、中线和高三角形内角和定理 【解析】 解：，，，是上的高，在中，，在中，，，故选：先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据是上的高得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质、三角形的高线等知识，难度适中． 试题ID:  730ecad7-5345-433d-869a-a5241e59ec0a 9. 如图，和均为等腰直角三角形，且，点、、在同一条线上，平分，连接以下结论：①；②；③；④；⑤；正确的有 A. ①②③⑤ B. ②③④⑤ C. ②③⑤ D. ①②③④⑤ 【知识点】 等腰直角三角形等腰三角形的判定与性质三角形的中位线定理角平分线的性质全等三角形的判定与性质 【解析】 解：和均为等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，根据已知条件不足以判定，故①错误；为等腰直角三角形，平分，，故②正确，，，，，，，，故③正确，点，，在同一直线上，和均为等腰直角三角形，，，，，，故④正确；，同底等高，，，故⑤正确；故选：由“”可证，可得，，可判断①；由等腰直角三角形的性质可得，，可判断②，由线段和差关系可判断③，由全等三角形的性质可求，可判断④；由等底同高的两个三角形面积相等以及面积差可判断⑤．本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定及性质、三角形面积等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 试题ID:  770d4a81-da48-4aec-914a-e5e0d161e4df 10. 点在线段上，下面四个等式①；②；③；④其中能表示是线段中点的有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【知识点】 点、线、面、体两点间的距离角及其相关概念认识立体图形三角形的中位线定理 【解析】 试题分析：此题主要考查了点、线、面、角。根据线段中点的性质，如果点是线段的中点，则有 ，， ，故答案为。考点：点、线、面、角 试题ID:  b5b2e950-f010-4e4d-a0fb-0695765b1c19 11. 已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点若与的面积相等，求点的坐标为 A. B. C. D. 【知识点】 旋转中的坐标变化*三角形的面积 【解析】 解：，，；，，设直线的解析式为，解得，，直线的解析式为；，，即，点在线段上，点在第一象限，且，，，，把代入直线的解析式得：，，设直线的解析式是：，，代入得：，解得：，，直线的解析式为，令，则，的坐标为故选：根据、的坐标和三角形的内角和定理求出的度数即可；设直线的解析式为，把、的坐标代入得出方程组，求出直线的解析式，由题意推出三角形和三角形的面积相等，根据面积公式求出的纵坐标，代入直线的解析式，求出的横坐标，设直线的解析式是：，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点的坐标．本题考查了等腰三角形的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键． 试题ID:  802cb3eb-c84c-4749-9fcc-28b62aabcf15 12. 小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点，，，分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料裁剪两种布料时，均不计余料若生产这批风筝需要甲布料匹，那么需要乙布料 A. 匹 B. 匹 C. 匹 D. 匹 【知识点】 三角形的面积三角形的中位线定理中点四边形数学常识 【解析】 试题分析：先连接、，利用三角形中位线定理，可得，同理，可得，，，四个式子相加，可得空白的四个三角形的面积和等于四边形面积的一半，于是可得阴影部分面积等于空白部分四个三角形的面积，那么所需甲乙布料相等，乙也需匹．连接，，、、、分别是、、、的中点，∽，相似比为，面积比为，即，同理，，，故，故，又，，故需要乙布料匹．故选 试题ID:  c001683b-e50b-420d-b1f2-010cc3b4fb68 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 13. 一个四边形中最少有______个锐角，最多有______个锐角． 【知识点】 多边形内角与外角 【解析】 解：一个四边形中最少有个锐角，最多有个锐角．故答案为：；根据四边形的内角和等于判断即可．本题主要考查了四边形的内角和，熟记四边形的内角和等于解题的关键． 试题ID:  72d55acb-37d8-420e-92ed-3f0416c1cdf5 14. 如图，四边形中，，，，则等于 ______度． 【知识点】 多边形内角与外角三角形的外角性质 【解析】 解：如图，连接，延长到，，，，，，，，，，故答案为：连接，延长到，根据外角的性质可得，，再根据即可解答．本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握外角的性质并灵活运用． 试题ID:  79ef3d95-3787-4dc7-a13b-ac16b4fc3322 15. 如图，▱中，，的平分线与的延长线相交于点，与交于点，且点为边的中点，过点作的垂线，垂足为若，则的长为 ______ . 【知识点】 平行四边形的性质 【解析】 解：四边形是平行四边形，，，，的平分线与的延长线相交于点，，，，点为边的中点，过点作的垂线，垂足为，，易证，，故答案为：根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出，再根据等腰三角形的性质可求出的长，进而可求出的长，易证，所以，所以，问题得解．本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等． 试题ID:  50009a4c-6c5d-4340-be4c-1a3aa5267c01 16. 四边形的内角和的度数为 ______ . 【知识点】 多边形内角与外角 【解析】 解：，故答案为：根据多边形内角和定理：且为整数，求解即可．本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：且为整数 试题ID:  330fba49-3621-4712-9d55-f0b59a7f3e29 17. 如图，根据尺规作图所留痕迹，可以求出___________ 【知识点】 角的平分线角的计算三角形内角和定理三角形的外角性质三角形圆周角定理作一条线段等于已知线段 【解析】 试题分析：首先根据作图痕迹得到平分，然后利用直角三继续的性质求得的度数即可．，，，观察作图痕迹知：平分，，，故答案为： 试题ID:  5b8bc0a7-8c9c-4589-9268-8e9819af5ea0 18. 如图，在中，，，，点是上任意一点，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是______. 【知识点】 平行四边形的性质垂线段最短含30°角的直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质以及垂线段最短．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知长度取最小值时，，根据含角的直角三角形的性质，即可得出答案．【解答】解：设与交于点，如图，在中，，，，，，，四边形是平行四边形，，当取最小值时，最短，此时，，故答案为 试题ID:  50096e14-17b4-4186-93dd-90b0ee301234 19. 如图，在平行四边形中，是线段上的点，如果，，连接与对角转线交于点，则：______. 【知识点】 平行四边形的性质相似三角形的判定与性质 【解析】 解：如图所示：四边形是平行四边形，，，∽，，又，，，，，，又，，，故答案为：由平行四边形的性质得，；平行直线证明∽，其性质线段的和差求得，三角形的面积公式求出两个三角形的面积比为：本题综合考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质． 试题ID:  293a9695-b4fd-49bb-91ad-64913bbc9dc9 20. 如图，是等腰三角形，，，为所在平面内一动点且，连接，将绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最大值为 ______. 【知识点】 旋转的基本性质含30°角的直角三角形等腰三角形的性质 【解析】 解：如图，以点为圆心、半径为作，以点为圆心、半径为作，，点在上，旋转角为，，，点经过旋转后落在上，连接，并延长交于点，过点作于点，则，，此时，长度最大，为等腰三角形，，，，，，，，故答案为：由作以点为圆心，半径为的，由和旋转角为得到点经过旋转后与以点为圆心，半径为的，然后连接并延长交于点，即可得到长度的最大值．本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、含角的直角三角形的三边关系，解题的关键是通过旋转的性质得到点的运动轨迹和点的轨迹． 试题ID:  72bd9ce3-0b12-4076-892b-e236127cfe84 三、解答题：本题共4小题，共31分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21. 如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件不需再添加任何线段或字母，使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是______. 【知识点】 平行四边形的判定全等三角形的判定 【解析】 解：条件是：，理由如下：在与中，，，四边形为平行四边形故答案为：由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形．本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 试题ID:  5c79fe6c-bdd4-4277-8bc4-2efb896412fa 22. 已知：平分，点、都是上不同的点，，，垂足分别为、，连接、求证： 【知识点】 角平分线的性质全等三角形的判定与性质线段垂直平分线的概念及其性质 【解析】 连接，只要证明垂直平分线段即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，属于中考常考题型． 试题ID:  c2e9437c-e7d3-4ed4-9bcf-23e86d059773 23. 已知，如图，，分别是的和边上的中线，过作，交的延长线于点，连接 求证：四边形是平行四边形； 连接，若，，求线段的长 【知识点】 勾股定理平行四边形的判定与性质三角形的中位线定理全等三角形的判定与性质 【解析】 利用证明，根据全等三角形的性质求出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得证；根据三角形中位线的判定与性质求出，，结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出，，则，再根据勾股定理求解即可．此题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练运用平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 试题ID:  d3e6fd85-dc41-43f4-a495-f3a1c5c992b8 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为 求点的坐标及直线的解析式； 如图，设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标； 如图，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【知识点】 面积法平行四边形的判定待定系数法求一次函数解析式坐标与图形性质一次函数与坐标轴的交点正方形的性质分类讨论思想 【解析】 见答案.见答案.如图中，设，，，，，，直线的解析式为，作交直线于，此时，当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，根据对称性可得点关于点的对称点也符合条件，综上所述，满足条件的点的坐标为或或本题考查坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，平行四边形的判定，面积法，利用三角形的面积公式求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．分两种情形：①当时，如图中，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，求出②当时，如图中，同法可得，利用待定系数法即可解决问题．利用三角形的面积公式求出点的坐标，求出直线的解析式，作交直线于，此时，当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，再根据对称性可得解决问题． 试题ID:  7c9b8a02-aec6-4529-aea8-af7cafb3a6e2 学科网（北京）股份有限公司 $$