2.4圆的方程（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4圆的方程 题型一 由圆的标准方程确定圆心半径 1．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 2．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 3．（23-24高二上·天津和平·阶段练习）曲线 的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到曲线表示的轨迹为弧，所在圆的半径为，且，结合弧长公式，即可求解. 【详解】由曲线，可得，其中， 如图所示，曲线表示的轨迹为弧，且扇形所在圆的半径为，且， 所以曲线表示的长度为. 故选：A. 4．（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程得出圆心坐标，再由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】圆的圆心坐标， 所以圆心到直线的距离为. 故选:D. 5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知圆，则圆心坐标为 . 【答案】 【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心坐标即可 【详解】圆是标准方程，则圆心坐标为， 故答案为： 题型二 由圆心与半径确定圆的标准方程 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程写出答案 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 2．（24-25高二下·上海·随堂练习）某圆的圆心为），且过点，则圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，即可得解. 【详解】由题意半径， 所以圆的标准方程为． 故答案为：. 3．（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案. 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 4.（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点坐标公式及圆心与直径的位置关系即可求解. 【详解】， 线段的中点为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为， 故选：D． 5. （23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】依题意设圆的方程为，代入原点坐标求出，即可得解. 【详解】设圆的半径为，则圆的方程为， 又圆过点，所以， 所以圆的方程为. 故答案为： 题型三 由三点确定圆的一般方程 1. （2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 【答案】 【分析】设的外接圆方程为，然后将三个点的坐标代入求解即可. 【详解】设的外接圆方程为，则 ，解得， 所以三角形外接圆的方程为. 故答案为： 3．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）过三点的圆的方程为 ． 【答案】(或者写成) 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 将代入得， ，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 4. （23-24高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标，列出方程组，求得的值，即可求解.（2）根据圆的面积公式求解即可. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过三点， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. （2）由（1）可得，圆的方程为.即. 因此圆的半径为5.因此圆的面积为. 5. （23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积； （2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可. 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 题型四 由一般方程确定参数的取值范围 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【详解】根据题意，若方程表示圆， 则有，解得． 故选：C. 2．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 3．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程表示圆 D．若点在圆外，则 【答案】ABD 【分析】根据圆的标准方程、圆的一般方程及点与圆的位置关系判断即可. 【详解】A，圆的方程都能写成一个二元二次方程,A正确； B，圆的一般方程和标准方程是可以互化的，B正确； C，不表示圆，方程可化为，故不表示圆，而表示点，C错误； D，因为点在圆外，所以， 即，D正确. 故选：ABD. 4．（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 5．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值. 【详解】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 题型五 判断点与圆的位置关系 1．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 【详解】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 2．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，与圆O：，则（    ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 【答案】C 【分析】将点，代入圆的方程，根据点与圆位置关系的判断方法，即可得解. 【详解】将代入圆的方程，可得， 所以点A在圆O内；将代入圆的方程， 可得，所以点B在圆O外． 故选：C． 3. （23-24高二上·河南·期中）设直线：，：，则（    ） A．与平行 B．与相交 C．与的交点在圆上 D．与的交点在圆外 【答案】BC 【分析】由两直线斜率判断AB，解出两直线的交点判断CD. 【详解】由题意，直线， 两直线斜率分别为，， 故两直线相交，选项A错误，B正确； 联立，解得，故两直线交点为， 由，得交点在圆上.故C正确，D错误. 故选：BC. 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解. 【详解】圆的标准方程为， 由于点在圆外， 所以，解得， 故答案为： 5．（23-24高三上·河南南阳·期末）若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据方程表示圆可得，由点在圆外可得，解不等式组即可. 【详解】由在圆的外部， 得，解得，或， 故答案为： 题型六 圆过定点问题 1. （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 2. （21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 3. （2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 4. （2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 5. （21-22高二上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由圆M过某一定点得，求解即可 【详解】（1）设圆M的方程为：. ∵，，在圆M上， ∴，解得，，， 圆M的方程为： 当时，圆M的方程为：. （2）由（1）圆M的方程可化为：， 要使圆M过某一定点，∴，解得，， ∴圆M过定点. 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 2．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取求解即可． 【详解】解：当时，方程为：，对应的图象为选项A， 当时，方程为：，对应的图象为选项B， 当时，方程为：， 得，对应的图象为选项C， 选项D图形是四条线段，没有方程与之对应， 故选：D 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【答案】B 【分析】设点，由，可得，又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 【详解】设点， 由，得， 即， 又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 故选：B． 4．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式求出三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入三点坐标，可得， 解得， 即， 化简可得圆的标准方程为． 故答案为： 5．（21-22高二上·湖北·期末）曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】 【分析】首先判断曲线关于轴，轴对称，从而确定曲线在第一象限内与轴所围成的图形，再求出图形的面积. 【详解】对于曲线， 在上式中，将y换成得，即曲线关于x轴对称， 将x换成得，即曲线关于y轴对称， 因此只需考虑在第一象限的情形， 当，时曲线即，即， 所以曲线在第一象限内与x轴所围成的图形是由半径为的圆去掉一个等腰直角三角形而形成的图形， 根据对称性可得曲线所围成的封闭图形为下图阴影部分， 所以所围成的封闭图形的面积． 故答案为：. 6．（23-24高二下·广东·期中）在中，，，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】取中点，以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，结合，求出点的轨迹方程，再结合三角形的面积公式，即可求解． 【详解】取中点，以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，如图所示：   因为，故， 设，， 则，化简整理得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去，． 则，故当时，面积取最大值为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4圆的方程 题型一 由圆的标准方程确定圆心半径 1．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 2．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津和平·阶段练习）曲线 的长度是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知圆，则圆心坐标为 . 题型二 由圆心与半径确定圆的标准方程 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·随堂练习）某圆的圆心为），且过点，则圆的标准方程是 ． 3．（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 4.（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 5. （23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 题型三 由三点确定圆的一般方程 1. （2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 3．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）过三点的圆的方程为 ． 4. （23-24高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过三点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C的面积. 5. （23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 题型四 由一般方程确定参数的取值范围 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程表示圆 D．若点在圆外，则 4．（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 5．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 题型五 判断点与圆的位置关系 1．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，与圆O：，则（    ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 3. （23-24高二上·河南·期中）设直线：，：，则（    ） A．与平行 B．与相交 C．与的交点在圆上 D．与的交点在圆外 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高三上·河南南阳·期末）若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 题型六 圆过定点问题 1. （23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 2. （21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 3. （2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 4. （2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 5. （21-22高二上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 2．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 4．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ． 5．（21-22高二上·湖北·期末）曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 6．（23-24高二下·广东·期中）在中，，，则面积的最大值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$