（数论问题专项讲义）专题9 约数个数与约数和定理-小升初数学模块化思维提升（人教版）

专题9-约数个数与约数和定理 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、约数个数与约数和定理。 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk那么： n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1） n的所有约数和：f（n）=（p10+p11+p12+…p1a1）（p20+p21+p22+…p2a2）…（pk0+pk1+pk2+…pkak） 【典例一】类似6、28、496、的数称之为完美数，因为这些数的所有因数的和正好等于它本身的2倍，如．则完美数496有　　个因数． A．8 B．9 C．10 D．12 【典例二】表示自然数的约数的个数，例如，4有1，2，4三个约数，可以表示成，计算：　　． 【典例三】有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？ 一．选择题（共6小题） 1．已知，那么的因数一共有　　个。 A．4 B．6 C．8 D．9 2．《西游记》中孙悟空跟菩提祖师学筋斗云和七十二般变化，其中72的因数一共有　　个。 A．10个 B．11个 C．14个 D．12个 3．类似6、28、496、的数称之为完美数，因为这些数的所有因数的和正好等于它本身的2倍，如．则完美数496有　　个因数． A．8 B．9 C．10 D．12 4．已知，那么，的因数共有　　个． A．30 B．60 C．16 D．45 5．如果，，为不同的质数），则的因数有　　个． A．3 B．6 C．8 D．9 6．已知，那么的全部因数的个数有　　 A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 二．填空题（共10小题） 7．已知，则的因数个数有　 　个，的所有因数的和是　 　． 8．写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是　 　． 9．某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这自然数是 　　。 10．要将30个苹果放入篮子里．如果每次放入的个数相同，在若干次后能够刚好放完，一共有　　种拿法． 11．有一个自然数含有10个不同的约数，但质约数只有2和3．那么，这个自然数最大是　　． 12．自然数有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，有　 　个因数． 13．360这个数的约数有　 　个，这些约数的和是　 　． 14．、、都是大于1的自然数），则的因数的个数至少有　 　个． 15．实验小学五年级（2）班有48名同学，要分为人数相等的活动小组（每组不能是1人或48人），共有　　种不同的分法． 16．一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是，，，，，．已知，那么　　． 三．解答题（共4小题） 17．在100至150之间，找出因数个数是8个的所有整数。 18．有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？ 19．一个正整数，它的2倍的因数恰好比它自己的因数多2个，它的3倍的因数恰好比它自己的因数多3个．那么这个正整数是多少？ 20．给出一个自然数，的约数个数用表示，的约数和用表示． （1）求，． （2）求，最小的自然数是几？ （3）若，问一定是怎样的数？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9-约数个数与约数和定理 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、约数个数与约数和定理。 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk那么： n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1） n的所有约数和：f（n）=（p10+p11+p12+…p1a1）（p20+p21+p22+…p2a2）…（pk0+pk1+pk2+…pkak） 【典例一】类似6、28、496、的数称之为完美数，因为这些数的所有因数的和正好等于它本身的2倍，如．则完美数496有　　个因数． A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，然后把496分解质因数，解答可得出答案． 【解答】解： （个 答：完美数496有10个因数． 故选：． 【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共有个约数． 【典例二】表示自然数的约数的个数，例如，4有1，2，4三个约数，可以表示成，计算：　　． 【分析】先分析出18、22、7的因数各有多少个，再相加即可． 【解答】解：18的因数有：1，2，3，6，9，18； 22的因数有：1，22，2，11 7的因数有：1，7 所以： 故答案为：5． 【点评】此题考查了找一个数因数的方法，要逐个求出． 【典例三】有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？ 【分析】先把最小公倍数是2800分解质因数，，根据“一个有9个约数，”它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；又可知这个数的质因数的指数加1的积是：；所以这个数是；同理，根据“一个有10个约数，”可知这个数的质因数的指数加1的积是：，所以这个数是，据此解答． 【解答】解：， 设第一个数是，第二个数是， 因为它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；则它的质因数的指数加1的积是： ； 所以这个数是：； 同理，的质因数的指数加1的积是： ， 所以这个数是：； 答：这两个数分别是100和112． 【点评】此题是数论中的约数个数问题；即一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数． 一．选择题（共6小题） 1．已知，那么的因数一共有　　个。 A．4 B．6 C．8 D．9 【分析】由求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，由此即可得出答案。 【解答】解： 所以的因数个数为： （个 答：的因数一共有9个。 故选：。 【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数。 2．《西游记》中孙悟空跟菩提祖师学筋斗云和七十二般变化，其中72的因数一共有　　个。 A．10个 B．11个 C．14个 D．12个 【分析】根据求一个数因数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数因数的个数。 【解答】解： （个 答：其中72的因数一共有12个。 故选：。 【点评】此题主要考查一个合数的因数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的因数共有个因数。 3．类似6、28、496、的数称之为完美数，因为这些数的所有因数的和正好等于它本身的2倍，如．则完美数496有　　个因数． A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，然后把496分解质因数，解答可得出答案． 【解答】解： （个 答：完美数496有10个因数． 故选：． 【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共有个约数． 4．已知，那么，的因数共有　　个． A．30 B．60 C．16 D．45 【分析】先分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘，就是约数的总个数． 【解答】解： 那么的因数个数有： （个 答：的因数共有45个． 故选：． 【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，直接根据约数和定理求解即可． 5．如果，，为不同的质数），则的因数有　　个． A．3 B．6 C．8 D．9 【分析】根据求一个数因数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数因数的个数，即个，然后解答可得出答案． 【解答】解： 共有：（个 答：的因数共有8个． 故选：． 【点评】此题主要考查一个合数的因数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的因数共有个因数． 6．已知，那么的全部因数的个数有　　 A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【分析】由求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，由此即可得出答案． 【解答】解：因为， 所以有的约数的个数是：（个； 故选：． 【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数． 二．填空题（共10小题） 7．已知，则的因数个数有　72　个，的所有因数的和是　 　． 【分析】先分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘，就是约数的总个数；再根据约数和定理，求出这些约数的和． 【解答】解：，那么的因数个数有： ， ， （个； 它们的和就是： ， ， ； 答：的因数个数有 72个，的所有因数的和是48360． 故答案为：72，48360． 【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，直接根据约数和定理求解即可． 8．写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是　24、30、40、42、54、56、66、70、78、88　． 【分析】根据题意可知，恰有8个约数的自然数具有的形式或或、、是不同的质数），并且要求的结果不大于100，依次写出即可． 【解答】解：根据题意可得： ，，，，； ，，，，； ． 所以，所求的数从小到大依次是：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88共十个． 故答案为：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88． 【点评】根据约数的个数这个条件，根据具有的形式，依次写出，但是还要根据结果不大于100的，注意不要漏写． 9．某自然数是3和4的倍数，包括1和本身在内共有10个约数，那么这自然数是 　48　。 【分析】根据某自然数是3和4的倍数可得：这个自然数是12的倍数，12的倍数有：12、24、36、48、分别写出它们的约数，然后找出共有10个约数的数即可。 【解答】解：根据某自然数是3和4的倍数可得： 这个自然数是12的倍数，12的倍数有：12、24、36、48、 12的约数有：1、2、3、4、6、12，共6个； 24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24，共8个； 36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个； 48的约数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，共10个； 所以，这个自然数是48。 答：这个自然数是48。 故答案为：48。 【点评】此题主要考查一个合数的约数，解答本题的关键是求出3和4的最小公倍数。 10．要将30个苹果放入篮子里．如果每次放入的个数相同，在若干次后能够刚好放完，一共有　7　种拿法． 【分析】如果每次放入的个数相同，且若干次后能够刚好放完，说明每次放的个数是30的因数，那么30有几个因数，就有几种拿法，然后求出30的因数的个数，去掉30这个因数即可． 【解答】解： （种 （种 答：一共有7种拿法． 故答案为：7． 【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共有个约数． 11．有一个自然数含有10个不同的约数，但质约数只有2和3．那么，这个自然数最大是　162　． 【分析】首先把10分成两个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使3的个数最多，算出乘积比较得出答案． 【解答】解：因为， 所以一个自然数有10个不同的约数，则这个自然数最大：； 故答案为：162． 【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数． 12．自然数有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，有　6　个因数． 【分析】因为最小的因数是1，最大的因数是它本身，最小的两个因数之和，则组成加法算式的另一个因数是；这说明是3的整倍数．另一个因数，196不能被3整除，说明另一个因数不是3的倍数．又另一个因数是除外最大的因数，那么另一个因数是，由此得出，求出的值即可解决问题． 【解答】解：因为最小的因数是1，且最小的两个因数之和是4，所以除了1之外最小的因数是：， 由此可知：是3的倍数， 因为最大的因数是它本身，且最大的两个因数之和是196，因为196不是3的倍数，所以除了本身之外的最大的因数不是3的倍数，所以这个最大的因数是：， 所以：， ， ， ， 所以147的因数有1、3、7、21、49、147，共有6个． 故答案为：6． 【点评】根据题干，抓住最小的因数是1和最小的两个因数之和是4，得出是3的倍数，从而根据能被3整除的特点，判断出除了它本身以外的最大的因数是，是解决本题的关键． 13．360这个数的约数有　24　个，这些约数的和是　 　． 【分析】先把360分解质因数：，然后根据约数个数计算公式，列式为：；再根据约数和计算公式，列式为：；然后据此解答． 【解答】解：， 其约数个数为：（个， 约数和为：； 故答案为：24，1170． 【点评】此题主要考查一个合数的约数个数和约数和的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共有个约数；的所有约数和：． 14．、、都是大于1的自然数），则的因数的个数至少有　8　个． 【分析】根据分解质因数的等式，可以确定的因数是它的质因数中的一个或几个质因数乘积的组合；然后运用枚举法一个一个的写出即可． 【解答】解：的因数有：1，，，，，，，，共8个； 答：至少有8个因数． 故答案为：8． 【点评】补充知识点：求因数的个数还可以根据，用个来计算． 15．实验小学五年级（2）班有48名同学，要分为人数相等的活动小组（每组不能是1人或48人），共有　8　种不同的分法． 【分析】求共有几种不同的分法，即求48的约数的个数，根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，再减去2；据此解答． 【解答】解：， 所以48的约数有：（个， （个； 故答案为：8． 【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数． 16．一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是，，，，，．已知，那么　18　． 【分析】先根据求因数的方法可知：这个自然数的，由于求一个数的约数的方法：把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的约数，重复的只写一个，据此写出求出45的因数，然后进一步解答即可． 【解答】解：因数最小是1，最大就是这个数本身 所以这个数就是45 因数分别是1、3、5、9、15、45 故答案为：18． 【点评】本题主要考查因数的意义及求因数的方法． 三．解答题（共4小题） 17．在100至150之间，找出因数个数是8个的所有整数。 【分析】根据题意可知，恰有8个因数的自然数具有的形式或或、、是不同的质数），并且要求的结果在之间，依次写出即可。 【解答】解：有和两种情况。 （1），符合要求， ，所以不再有其他7次方的数符合要求。 （2） ，，符合要求。 只有符合要求。 ，它乘任何质数都大于150。 因此共有8个数合要求：128，104，135，136。 【点评】根据约数的个数这个条件，根据自然数数位知识，依次写出，但是还要根据结果在之间，注意不要漏写。 18．有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？ 【分析】先把最小公倍数是2800分解质因数，，根据“一个有9个约数，”它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；又可知这个数的质因数的指数加1的积是：；所以这个数是；同理，根据“一个有10个约数，”可知这个数的质因数的指数加1的积是：，所以这个数是，据此解答． 【解答】解：， 设第一个数是，第二个数是， 因为它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；则它的质因数的指数加1的积是： ； 所以这个数是：； 同理，的质因数的指数加1的积是： ， 所以这个数是：； 答：这两个数分别是100和112． 【点评】此题是数论中的约数个数问题；即一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数． 19．一个正整数，它的2倍的因数恰好比它自己的因数多2个，它的3倍的因数恰好比它自己的因数多3个．那么这个正整数是多少？ 【分析】这个数只能含2和3两种质因数，因为如果它还有别的质因数，例如5，那么最后增加的个数要比给定的数字大．例如：设，则它的约数有，它的2倍为，它的约数有个，则，所以最后增加的个数要比给定的数字大，设，它的约数个，它的2倍为，它的约数有个，则：，求出；同理，它的3倍为，它的约数为个，比原数多3个，即，求出，所以这个数的形式是；由此解答． 【解答】解：这个数只能含2和3两种质因数，因为如果它还有别的质因数，那么最后增加的个数要比给定的数字大． 设，它的约数个， 它的2倍为，它的约数有个， 则：，求出； 同理，它的3倍为，它的约数为个，比原数多3个， 即，求出， 所以这个数的形式是； 答：这个正整数是12． 【点评】此题考查了约数个数与约数和定理，根据题意，推出这个数只能含2和3两种质因数，是解答此题的关键． 20．给出一个自然数，的约数个数用表示，的约数和用表示． （1）求，． （2）求，最小的自然数是几？ （3）若，问一定是怎样的数？ 【分析】求约数的公式：相同质因数个数相乘． （1）比如，，有1个2，1个3，1个7，约数个数为，其约数分别为1、2、3、7、6、14、21、42，其和为96．所以，，． （2）8可以表示为、和，但要求数最小，所以，取．这样，尽量选择小的质数，即，． （3）一个数的约数个数有2个，一定是质数，因为质数的定义就是只有1和它本身两个因数． 【解答】解：（1），有1个2，1个3，1个7，约数个数为， 其约数分别为1、2、3、7、6、14、21、42，其和为96． 所以，，． （2），但要求数最小，所以，取． 这样，尽量选择小的数， 即， 所以． （3），即一个数的约数个数有2个，一定是质数，因为质数的定义就是只有1和它本身两个因数．所以一定是质数． 【点评】掌握求约数公式，是解答此题的关键，同时还要知道知识点：一个数的约数个数有2个，一定是质数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$