（计算问题专项讲义）专题9 定义新运算-小升初数学模块化思维提升（人教版）

专题9-定义新运算 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 注意： （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算． （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算． （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的． 2、解决问题。 （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算． （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算． （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的． 【典例一】“※”表示一种新的符号，仔细观察框中算式的规律，可知算式2※5的正确结果是　　 6※ 5※ 3※ A．2.5 B．2.3456 C．2.3456 1 D．5.4321 【分析】仔细观察框中算式可得规律：“※”前面的数字表示小数的个位数字，后面的数字表示数字的个数，且数字依次加1；据此解答即可。 【解答】解：2※ 故选：。 【点评】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【典例二】罗马数字里符号“Ⅰ”代表1，符号“Ⅴ”代表5，符号“Ⅹ”代表10，用罗马数字表示数其中的一条规则是：在一个较大的罗马数字的右边记上一个较小的罗马数字，表示较大数加较小数。如Ⅷ，表示“”。想一想，罗马数字ⅩⅦ表示阿拉伯数字 　　。 【分析】根据用罗马数字表示数的规则解答即可。 【解答】解：罗马数字ⅩⅦ表示阿拉伯数字：。 故答案为：17。 【点评】解答本题关键是明确罗马数字表示数的方法。 【典例三】对于非零自然数和，规定符号的含义是：是一个确定的整数）如果，求的值。 【分析】根据所给出的等式，知道，又因为，用此方法求出的值，进而求出的值。 【解答】解：由题意得： ；； 又因为， 所以，解得：。 所以。 故答案为：。 【点评】解决本题的关键是找出新运算方法，根据这个方法计算即可。 一．选择题（共9小题） 1．规定1！，2！，3！，已知！，那么　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】1！，2！，3！，可知： ！； ！，求就是求；逐步计算，看乘到哪个数积是5040即可． 【解答】解：！，即； 因为； 所以； 故选：． 【点评】本题理解！的计算方法，然后由此逐数相乘求解． 2．如果：，则．同理可得：　　 A．32 B．56 C．44 【分析】根据题意知道表示一种运算符号，等于与和3的和的积，由此用此方法计算的值． 【解答】解：， ， ， ； 故选：． 【点评】关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题． 3．现定义一种运算：，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据新的运算方法“”计算即可。 【解答】解： 故选：。 【点评】解答此题的关键是根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 4．将新运算“☆”定义为：☆。如果☆，那么　　 A．10 B．6 C．7.5 【分析】根据新的运算方法“☆”，求出式子☆中的值即可。 【解答】解：☆ 故选：。 【点评】解答此题的关键是根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 5．我们学过、、、四种运算，现在规定是一种新的运算，，那么　　 5 A． B． C．1 D． 【分析】由题意可得：，根据等式的运算法则可知，等于3与的乘积减去2与的乘积，然后根据法则计算出的值，由此解答即可。 【解答】解：由题意可得： 所以。 故选：。 【点评】此题考查定义新运算。读懂题意，然后将新运算转化为旧运算即可。 6．假设※表示的3倍减去的2倍，即※．已知※※，那么※　　 A．7 B．9 C．19 D．36 【分析】根据规定可知，※表示的3倍减去的2倍，根据题意先求出的值，然后再进一步计算即可． 【解答】解：根据题意可得： ※※， ※， ※， ， ， ， ， ， ； ※4， ※4， ， ， ． 故选：． 【点评】根据规定，找准规定的定义的运算，然后按照这种运算进行解答即可． 7．定义新运算，有，那么的计算结果是　　 A．80 B．78 C．60 D．70 【分析】根据所给出是等式，知道等于2与的积减去3与的积，由此用此方法计算的值即可。 【解答】解： 故选：。 【点评】本题主要考查了定义新运算，解答本题的关键是找出新运算的计算方法。 8．若大于等于小于等于的所有数记为，，在，内，在，内，值在　　内。 A．， B．， C．， D．， 【分析】取最小值，取最大值时，最小，取最大值，取最小值时，最大；据此求解即可。 【解答】解：取20，取15时，， 取最大值，取最小值时，， 所以记为， 故选：。 【点评】本题主要考查了定义新运算，解题的关键是理解运算的定义。 9．定义新运算；，，，，根据这几个算式找规律，如果，那么的值是　　 A． B． C． D． 【分析】， ， ， ； 则表示这两个数差的2倍，由此把这个新运算变成四则运算的方程，再根据等式的性质求解． 【解答】解： 故选：． 【点评】解决本题先根据给出的算式，找出新运算表示的含义，再把新运算转化成四则运算，从而解决问题． 二．填空题（共7小题） 10．现定义两种运算，“※”和“”，对于整数，有※，，例如1※，，则计算※※　26　． 【分析】根据规定的新运算，遇到“※”可化简为两个数的和与1的差，遇到“”可化为两数积与1的差，然后再进一步计算． 【解答】解：※※ ※ ※14 故答案为：26． 【点评】此题根据定义的新运算间接的考查了有理数的混合运算，解此类题的关键是搞清新运算的含义，从而根据新运算表示的含义化简要求的式子，同时也要求学生掌握有理数混合运算的运算顺序以及各种运算法则． 11．假设有一种运算符号“◎”，2◎，3◎．按此规则计算：1◎，则　5　． 【分析】根据2◎，3◎，定义的新运算是从第一个数开始到最后有一个数结束的连续的几个自然数相加，那么1◎表示，由于，如果再加上下一个自然数就不符合题意，由此可得1◎表示，然后再进一步解答． 【解答】解：1◎ 故答案为：5． 【点评】根据规定，找准规定的定义的运算，然后按照这种运算进行解答即可． 12．定义一种新运算“◎”，规定◎，则0.6◎◎的值是　46.8　． 【分析】根据所给运算的规则计算即可． 【解答】解：6.4◎5 0.6◎22.8 故答案为：46.8． 【点评】本题主要考查定义新运算，关键根据所给的运算规则做题． 13．现在规定“△”是一种新运算△，已知△△，则的值是　21　 【分析】根据题意，△，则可得△△△，最后结果是47，据此回答． 【解答】解：根据题意 因为△，已知△△，则 由△△得 △ 故答案为：21． 【点评】本题考查了定义新运算，只需要根据定义进行计算即可． 14．令，那么　　． 【分析】根据已知条件可知：从内向外，第一个小括号中：；第二个小括号中：；第三个小括号中：；第四个括号得：；第五个小括号中得：．据此解答． 【解答】解：根据四则运算的运算顺序，先算最内层小括号． 从内向外，第一个小括号中： 第二个小括号中： 第三个小括号中： 第四个括号得： 第五个小括号中得： 所以：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查定义新运算，关键根据每层小括号中的计算结果发现规律，并运用规律做题． 15．大家已经学过“、、、”四种运算，如果用“”来定义一种新的运算，。例如，那么　51　。 【分析】根据所给出的等式，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题即可。 【解答】解： 故答案为：51。 【点评】解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题。 16．如图为一个图形时钟表盘，小红根据时钟上数字的位置设计了一个新型的加法法则（根据相同的两个数字不能相加），请你根据如下几个例子：3⊕ 12⊕ 1⊕ 9⊕ 11⊕，发现规律，然后计算8⊕　10　． 【分析】首先根据3⊕，可得3、2和2、1之间的夹角相等；再根据12⊕，可得12、2和2、4之间的夹角相等；然后根据1⊕，可得1、4和4、7之间的夹角相等；再根据9⊕，可得9、4和4、11之间的夹角相等；再根据11⊕，可得11、5和5、11之间的夹角相等；然后根据两个加数相对应的指针的刻度的夹角等于第二个加数和相对应的指针的刻度的夹角，求出8⊕3的值是多少即可． 【解答】解：因为3⊕ 12⊕ 1⊕ 9⊕ 11⊕， 所以两个加数相对应的指针的刻度的夹角等于第二个加数和相对应的指针的刻度的夹角， 所以8⊕． 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了定义新运算问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算． 三．解答题（共9小题） 17．求未知数： （1）方程的解是，求的值． （2）定义新运算“※”，对任意整数，有※，求4※中的值． 【分析】（1）把代入方程中，再根据等式的性质，解方程即可求出的值； （2）根据新的运算方法知道※等于与的3倍的和再除以2，由此用新的运算方法把4※写成方程的形式，解方程即可求出的值． 【解答】解：（1）把代入方程中， ， ， ， ， ； （2）4※， ， ， ， ， ， ． 【点评】解答此题的关键是运用代入法或定义的新运算方法，将给出的式子写成方程的形式，再根据等式的性质，解方程即可． 18．规定：符号“”为选择两数中较大数的运算，“”为选择两数中较小数的运算．计算下式：． 【分析】先看第一种新的运算即“”的运算意义是什么；再看第二种新的运算即“”的运算意义是什么，根据此两个符号的运算意义，运用到所求的式子，即可得到答案． 【解答】解： ． 故答案为：25． 【点评】解答此题最重要的是，要彻底弄清楚新运算符号的意义，然后再利用新运算方法来完成要求的题目． 19．对于两个数、，表示※，并且已知82※．计算：（1）29※57 （2）38※※23． 【分析】根据给出的式子知道※等于与的积减去的2倍，再根据82※，知道，解此方程，求出的值，进而用新方法计算29※57与38※※的值． 【解答】解：82※， ， ， ， ， ， ； （1）29※57， ， ， ， ； （2）38※※， ※， ※41， ， ， ． 【点评】关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，利用新的运算方法解决问题． 20．先观察下面各组题中的计算规则，再按规则计算． 8△ 5△ 4△ 则7△3的计算结果是多少？ 1△100的结果呢？ 【分析】观察给出的式子得出：△等于一共有个加数，由此用此方法计算7△3与1△100的值． 【解答】解：7△； 1△． 【点评】此题考查了根据例子找准运算规律，然后按照这种运算进行解答． 21．用“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎；7◎；3◎，按此规律，如果◎，那么是多少？ 【分析】根据题目中给的例子可得第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加，故，再解方程即可． 【解答】解：由题意知 答：是5． 【点评】此题考查定义新运算，读懂题意，搞清运算的方法是解决问题的关键． 22．如果△；△．那么△△2的值是多少？ 【分析】因为△；△，也就是△后面的数表示的是连续相乘数的个数，并且后一个分数的分子、分母比前一个分数分子、分母都多1，据此计算即可解答． 【解答】解：△△2 答：△△2的值是． 【点评】本题主要考查定义新运算，解答本题的关键是找到运算的规律，并根据已知的新规律这个法则去解决问题即可． 23．一台计算机感染了病毒，在计算机的存储器中，从2到9的每一个数被的和代替，例如2被代替，5被代替，计算机的其他功能都正常，你若要计算，计算机会显示的结果是多少？ 【分析】根据给出的新运算方法2到9的每一个数被的和代替，可得1被1代替，4被代替，9被代替，那么计算机会显示的结果是． 【解答】解：根据分析可得：计算机会显示的结果是： ． 答：计算机会显示的结果是56． 【点评】根据给出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题． 24．现规定一种运算“”满足，例如：． （1）请分别计算：，，，； （2）想一想，这种运算是否符合交换律？说说你的理由． 【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果； （2）原式利用题中新定义化简，计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得： ， ， ， ； （2）因为，，与互为相反数， 所以不一定等于， 所以这种运算不符合交换律． 【点评】此题考查了定义新运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．我们已经学过了加、减、乘、除的运算，在许多情况下，我们又常把“有多步含加、减、乘、除的运算”用某种新的符号表示，即定义了新的运算。见到了这种新的符号所定义的运算后，就按它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后结果。 例如，设和表示非0的整数，如果定义符号“”表示的运算如下： ，那么根据新运算“”的定义，就可以计算如下： 如果定义符号“”表示的运算为：， 则 （1）我们一起来试试，看谁算得又快又准。 设，试计算： ① ② （2）你自己来规定一个新运算，并求出的结果吧。 【分析】（1）根据所给出的式子，得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题。 （2）答案不唯一，合理即可。 【解答】解：（1）① ② （2）（答案不唯一） 设，如。 则 【点评】解决本题的关键是找出新运算方法，再灵活利用新方法计算。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9-定义新运算 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 注意： （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算． （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算． （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的． 2、解决问题。 （1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算． （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算． （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的． 【典例一】“※”表示一种新的符号，仔细观察框中算式的规律，可知算式2※5的正确结果是　　 6※ 5※ 3※ A．2.5 B．2.3456 C．2.3456 1 D．5.4321 【典例二】罗马数字里符号“Ⅰ”代表1，符号“Ⅴ”代表5，符号“Ⅹ”代表10，用罗马数字表示数其中的一条规则是：在一个较大的罗马数字的右边记上一个较小的罗马数字，表示较大数加较小数。如Ⅷ，表示“”。想一想，罗马数字ⅩⅦ表示阿拉伯数字 　　。 【典例三】对于非零自然数和，规定符号的含义是：是一个确定的整数）如果，求的值。 一．选择题（共9小题） 1．规定1！，2！，3！，已知！，那么　　 A．5 B．6 C．7 D．8 2．如果：，则．同理可得：　　 A．32 B．56 C．44 3．现定义一种运算：，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 4．将新运算“☆”定义为：☆。如果☆，那么　　 A．10 B．6 C．7.5 5．我们学过、、、四种运算，现在规定是一种新的运算，，那么　　 A． B． C．1 D． 6．假设※表示的3倍减去的2倍，即※．已知※※，那么※　　 A．7 B．9 C．19 D．36 7．定义新运算，有，那么的计算结果是　　 A．80 B．78 C．60 D．70 8．若大于等于小于等于的所有数记为，，在，内，在，内，值在　　内。 A．， B．， C．， D．， 9．定义新运算；，，，，根据这几个算式找规律，如果，那么的值是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共7小题） 10．现定义两种运算，“※”和“”，对于整数，有※，，例如1※，，则计算※※　　． 11．假设有一种运算符号“◎”，2◎，3◎．按此规则计算：1◎，则　　． 12．定义一种新运算“◎”，规定◎，则0.6◎◎的值是　　． 13．现在规定“△”是一种新运算△，已知△△，则的值是　　 14．令，那么　　． 15．大家已经学过“、、、”四种运算，如果用“”来定义一种新的运算，。例如，那么　　。 16．如图为一个图形时钟表盘，小红根据时钟上数字的位置设计了一个新型的加法法则（根据相同的两个数字不能相加），请你根据如下几个例子：3⊕ 12⊕ 1⊕ 9⊕ 11⊕，发现规律，然后计算8⊕　　． 三．解答题（共9小题） 17．求未知数： （1）方程的解是，求的值． （2）定义新运算“※”，对任意整数，有※，求4※中的值． 18．规定：符号“”为选择两数中较大数的运算，“”为选择两数中较小数的运算．计算下式：． 19．对于两个数、，表示※，并且已知82※．计算：（1）29※57 （2）38※※23． 20．先观察下面各组题中的计算规则，再按规则计算． 8△ 5△ 4△ 则7△3的计算结果是多少？ 1△100的结果呢？ 21．用“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎；7◎；3◎，按此规律，如果◎，那么是多少？ 22．如果△；△．那么△△2的值是多少？ 23．一台计算机感染了病毒，在计算机的存储器中，从2到9的每一个数被的和代替，例如2被代替，5被代替，计算机的其他功能都正常，你若要计算，计算机会显示的结果是多少？ 24．现规定一种运算“”满足，例如：． （1）请分别计算：，，，； （2）想一想，这种运算是否符合交换律？说说你的理由． 25．我们已经学过了加、减、乘、除的运算，在许多情况下，我们又常把“有多步含加、减、乘、除的运算”用某种新的符号表示，即定义了新的运算。见到了这种新的符号所定义的运算后，就按它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后结果。 例如，设和表示非0的整数，如果定义符号“”表示的运算如下： ，那么根据新运算“”的定义，就可以计算如下： 如果定义符号“”表示的运算为：， 则 （1）我们一起来试试，看谁算得又快又准。 设，试计算： ① ② （2）你自己来规定一个新运算，并求出的结果吧。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$