5.1.2弧度制课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.1.2 弧度制 学习目标 【学习目标】 弧度制 2024/8/13 2 1. 在平面几何里,度量角的大小用什么单位? 规定:圆周1/360的圆心角称作1 角。 角度制的单位有:度、分、秒。 2. 1 的角是如何定义的? 这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制 . 在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 — 弧度制,它是如何定义呢? 复习回顾 弧度制 2024/8/13 3 半径长 圆心角 弧度 复习回顾 2 360 180 0.017 45 57.30 (或57 18') 复习回顾 0 45 90 135 270 复习回顾 一定要背下来! R lR 复习回顾 提示:不相等. 提示:无关. 思考问题 答案: 答案: 答案: 答案:√ 小试牛刀 小试牛刀 6 探究一:角度制与弧度制的互化 方法规律 变式训练 答案:B 探究二:弧长公式与扇形的面积公式的应用 探究二:弧长公式与扇形的面积公式的应用 方法规律 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课堂总结 1.了解弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 2.能初步运用弧度制表示的弧长公式和面积公式解决相关问题. 3.理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系. 一、弧度制 [知识梳理] 角度制和弧度制 (1)角度制:用度为单位进行度量,1度的角等于周角的. (2)弧度制:长度等于 的圆弧所对的 叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作 . (3)角的弧度数的计算:在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为 rad,那么| |= . (4)正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. 二、角度制与弧度制的换算 [知识梳理] 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360 = rad 2 rad= 180 = rad rad= 1 = rad≈ rad 1 rad=() ≈ 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0 1 30 60 120 150 180 360 弧度 2 三、扇形的面积公式和弧长公式 [知识梳理] 设扇形的半径为R,弧长为l, 为其圆心角,则 扇形 为度数 为弧度数 扇形的弧长 l= l= 扇形的面积 S= S= = R2 【思考】 (1)在大小不同的圆中,长为1的弧所对的圆心角相等吗? (2)比值与所取的圆的半径的大小是否有关? [基础测试] 1. 判断 (正确的在括号内画“√”,错误的画“ ”) . (1)1弧度是1度的圆心角所对的弧. ( ) (2)1弧度是长度为半径的弧. ( ) (3)1弧度是1度的弧与1度的角之和. ( ) (4)1弧度可以表示长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,弧度是角的一种度量单位. ( ) 解析:-15 =-15 rad=- rad. 105 -396 [基础测试] 2.将下列角度与弧度进行互化. (1)20 = ; (2)-15 = ; (3)= ; (4)- = . [基础测试] 3.圆心角为弧度,半径为6的扇形的面积为 . - , 解析:-157 30'=-157.5 =- rad=- rad. -=- () =-75 . 探索点一 角度制与弧度制的互化 【例1】 (1)把-157 30'化成弧度为 ,-化成度为 . (2)在[0,4 ]中,与36 角终边相同的角有 .(用弧度表示) - 角度制与弧度制互化的原则和方法 (1) 原则:牢记180 = rad,充分利用1 = rad和 1 rad= 进行换算. (2) 方法:设一个角的弧度数为 ,角度数为n,则 rad= ,n =n rad. 易错提醒:在同一个表达式中,角度和弧度不能混用. 【跟踪训练】 1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度: (1)72 ; (2)-300 ; (3)2; (4)-. 解:(1)72 =72 rad= rad. (2)-300 =-300 rad=- rad. (3)2=2 () =() . (4)-=-( ) =-40 . 探索点二 弧长公式与扇形的面积公式的应用 【例2】 (1)设扇形的周长为8 cm,面积为4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A.1 rad B.2 rad C.3 rad D.4 rad 解析:设扇形半径为r,弧长为l,由题意,得解得则圆心角 ==2 rad. (2)已知扇形的周长为8 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 弧度制下解决扇形相关问题的步骤 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l= r,S= r2和S=lr(这里 必须是弧度制下的角,且0< <2 ). (2)分析题目的已知量和待求量,灵活选用公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. 1.与30 角终边相同的角的集合是( ) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1( \b\lc\|(\a\vs4\al\co1( =k 360 +\f( ,6))),k∈Z)) B.{ | =2k +30 ,k∈Z} C.{ | =2k 360 +30 ,k∈Z} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1( \b\lc\|(\a\vs4\al\co1( =2k +\f( ,6),))k∈Z)) 【解析】 ∵30 =30 eq \f( ,180) rad=eq \f( ,6) rad, ∴与30 终边相同的所有角可表示为 =2k +eq \f( ,6),k∈Z,故选D. 2.在半径为10的圆中,240 的圆心角所对弧长为( ) A.eq \f(40,3) B.eq \f(20,3) C.eq \f(200,3) D.eq \f(400,3) 【解析】 240 =240 eq \f( ,180) rad=eq \f(4,3) rad, ∴弧长l=| | r=eq \f(4,3) 10=eq \f(40,3) ,选A. 3.一个扇形的面积为1,周长为4,求该扇形圆心角的弧度数. 【解析】 设扇形的半径为R,弧长为l,圆心角为 , 则2R+l=4.① 由扇形的面积公式S=eq \f(1,2) lR,得eq \f(1,2)lR=1.② 由①②得R=1,l=2,∴ =eq \f(l,R)=2 rad. ∴扇形的圆心角为2 rad. 课堂建构 $$