26.1 反比例函数、定义图象与性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

26.1 反比例函数、定义图象与性质 【考点1 反比例函数的定义】 【考点2 反比例函数系数K的几何意义】 【考点3 反比例函数的图象】 【考点4 反比例函数图象的对称性】 【考点5 反比例函数的性质】 【考点6 反比例函数图象点坐标特征】 【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】 【考点8 反比例函数与一次函数的交点问题】 知识1 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【考点1 反比例函数的定义】 【典例1】（2023春•东台市期中）下列函数中，是反比例函数的为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．2y＝x 【变式1-1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（　　） A．xy＝1 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【变式1-2】（2023秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝﹣ C．xy＝5 D．y＝ 【典例2】（2023秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．0 【变式2-1】】（2023秋•惠来县期末）函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2-2】（2023秋•邯山区校级期末）若y＝x2m+1为关于x的反比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．0.5 D．1 【变式2-3】（2023•雁峰区校级一模）若函数y＝（n﹣2）是反比例函数，则n为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不对 知识点2 反比例的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 注意： （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 注意： （1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. （2）反比例的图象关于原点的对称 【考点2 反比例函数系数K的几何意义】 【典例3】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【变式3-1】（2023秋•怀化期末）如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥y轴于B，S△AOB＝3，则k＝（　　） A．3 B．6 C．18 D．不能确定 【变式3-2】（2023•海州区校级二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（　　） A．B．C．D． 【变式3-3】（2023春•高新区期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x 轴于点A，交C2于点B，已知△POB 的面积为4，则k的值为（　　） ​ A．16 B．14 C．12 D．10 【考点3 反比例函数的图象】 【典例4】（2023秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y＝kx+1在同一坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023秋•大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023•庐阳区校级三模）反比例函数y＝﹣与一次函数y＝kx﹣3在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023•济南模拟）函数y＝﹣kx+k与函数y＝（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B． C．D． 【考点4 反比例函数图象的对称性】 【典例5】（2023秋•细河区期末）如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【变式5-1】（2023•海口二模）如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1） 【变式5-2】（2023秋•新城区期末）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【考点5 反比例函数的性质】 【典例6】（2023•章贡区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列结论错误的是（　　） A．函数图象分布在第一、三象限 B．函数图象经过点（﹣3，﹣2） C．函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 【变式6-1】（2023春•淮安区校级期末）反比例函数的图象分布在第二、四象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 【变式6-2】（2022秋•兴县期末）对于反比例函数y＝﹣，下列描述不正确的是（　　） A．图象位于二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象必经过（﹣2，） D．当x＞﹣1时，y＞3 【变式6-3】（2023•瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1或x＜﹣2 B．x≥1或x≤﹣2 C．0＜x≤1或x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x≥1 【考点6 反比例函数图象点坐标特征】 【典例7】（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3 【变式7-1】（2023•义乌市校级开学）以下四个点中，不在反比例函数y＝图象上的是（　　） A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，） D．（﹣4，） 【变式7-2】（2023春•沐川县期末）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【变式7-3】（2023秋•平度市期末）已知函数，当﹣2＜x＜﹣1时，y的取值范围是（　　） A．1＜y＜2 B． C．﹣2＜y＜﹣1 D． 【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】 【典例8】（2023秋•道县期末）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6）． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若（1，y1），（3，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小． 【变式8-1】（2023•高阳县校级模拟）y与x成反比例，当x＝2时y＝1，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝2x B．y＝2﹣x C． D． 【变式8-2】（2023春•灌云县期末）已知y与x+2成反比例函数关系，且当x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当x＝0时，求y的值． 【变式8-3】（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）． ​（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． （2）求当y≤4，且y≠0时自变量x的取值范围． 【考点8 反比例函数与一次函数的交点问题】 【典例9】（2023•西山区二模）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1），则当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） ​ A．x＜﹣2或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1 【变式9-1】（2023秋•乐亭县期末）一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【变式9-2】（2023春•高新区期末）反比例函数y＝与正比例函数y＝2x一个交点为（1，2），则另一个交点是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 【变式9-3】（2023秋•辽阳期末）如图，正比例函数y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）和反比例函数（k2为常数，且k2≠0）的图象相交于A（2，m）和B两点，则不等式的解集为（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜﹣2 1．如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（      ） A． B．图象也经过点 C．若时，则 D．，y随x的增大而减小 2．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（　　） A． B． C． D． 4．如图，过反比例函数 图象上的一点A作轴于点B，连接，若，则k的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A． B．或 C．或 D． 6．已知点，，在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，反比例函数的图象的一个分支上有一点，平行于轴，交轴于点，的面积是，则反比例函数的表达式是（　　）    A． B． C．或 D． 8．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 9．对于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．图象位于一、三象限 C．图象与坐标轴无交点 D．图象关于原点对称 10．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A．B． C． D． 二、填空题 11．已知y是x的反比例函数，并且当时，，求当时， ． 12．已知点，都在反比例函数的图象上，当，则 ．（填“”，“”或“”） 13．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且 轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 14．如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为 ． 15．对于函数，当时，的取值范围是 ． 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 17．如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点、． (1)反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出满足的取值范围； (3)若轴上的存在一点，使的周长最小，请直接写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.1 反比例函数、定义图象与性质 【考点1 反比例函数的定义】 【考点2 反比例函数系数K的几何意义】 【考点3 反比例函数的图象】 【考点4 反比例函数图象的对称性】 【考点5 反比例函数的性质】 【考点6 反比例函数图象点坐标特征】 【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】 【考点8 反比例函数与一次函数的交点问题】 知识1 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【考点1 反比例函数的定义】 【典例1】（2023春•东台市期中）下列函数中，是反比例函数的为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．2y＝x 【答案】C 【解答】解：A、该函数属于一次函数，故本选项错误； B、该函数是y与x2成反比例关系，故本选项错误； C、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确； D、由已知函数得到y＝x，属于正比例函数，故本选项错误； 故选：C． 【变式1-1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（　　） A．xy＝1 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】A 【解答】解：A、由原式得到y＝，符合反比例函数的定义．故本选项正确； B、该函数式表示y与x2成反比例关系，故本选项错误； C、该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项错误； D、该函数不属于反比例函数，故本选项错误； 故选：A． 【变式1-2】（2023秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝﹣ C．xy＝5 D．y＝ 【答案】B 【解答】解：A、y＝3x﹣1＝是反比例函数，故本选项错误； B、y＝﹣是正比例函数，故本选项正确； C、xy＝5是反比例函数，故本选项错误； D、y＝是反比例函数，故本选项错误． 故选：B． 【典例2】（2023秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．0 【答案】A 【解答】解：由题意得，|m|﹣5＝﹣1，且m+4≠0， 解得：m＝4． 故选：A． 【变式2-1】】（2023秋•惠来县期末）函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解答】解：由题意得：k﹣1＝﹣1， 解得：k＝0， 故选：D． 【变式2-2】（2023秋•邯山区校级期末）若y＝x2m+1为关于x的反比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．0.5 D．1 【答案】B 【解答】解：∵y＝x2m+1为关于x的反比例函数， ∴2m+1＝﹣1， 解得m＝﹣1， 故选：B． 【变式2-3】（2023•雁峰区校级一模）若函数y＝（n﹣2）是反比例函数，则n为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：由题意得：n2﹣5＝﹣1，且n﹣2≠0， 解得：n＝﹣2． 故选：C 知识点2 反比例的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 注意： （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 注意： （1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. （2）反比例的图象关于原点的对称 【考点2 反比例函数系数K的几何意义】 【典例3】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【答案】D 【解答】解：∴S△AOB＝2， ∴|k|＝4， ∵函数在二、四象限， ∴k＝﹣4． 故选：D． 【变式3-1】（2023秋•怀化期末）如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥y轴于B，S△AOB＝3，则k＝（　　） A．3 B．6 C．18 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：设A的坐标是（m，n），则mn＝k．AB＝m，OB＝n． ∵S△AOB＝AB•OB＝mn＝3 ∴k＝mn＝6． 故选：B 【变式3-2】（2023•海州区校级二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：选项A中，阴影面积＝xy＝4≠2，故选项A不符合题意； 选项B中，阴影面积为，故选项B符合题意； 选项C中，阴影面积为2×，故选项C不符合题意； 选项D中，阴影面积为4×，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式3-3】（2023春•高新区期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x 轴于点A，交C2于点B，已知△POB 的面积为4，则k的值为（　　） ​ A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解答】解：∵PA⊥x 轴于点A，交C2于点B， ∴S△POA＝，S△BOA＝＝4， ∵POB 的面积为4， ∴S△POB＝|k|﹣4＝4， ∵k＞0， ∴k＝16． 故选：A． 【考点3 反比例函数的图象】 【典例4】（2023秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y＝kx+1在同一坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，由一次函数的图象可知k＜0，两结论矛盾，故本选项错误； B、由反比例函数的图象可知，k＜0，由一次函数的图象可知k＞0，故本选项正确，符合题意； C、由反比例函数的图象可知，k＜0，由一次函数的图象可知k＞0，故本选项错误，不符合题意； D、由反比例函数的图象可知，k＞0，由一次函数的图象可知k＜0，由一次函数在y轴上的截距可知k＝﹣1，故本选项错误． 故选：B． 【变式4-1】（2023秋•大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项A、C不符合题意，选项B符合题意； k＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D不符合题意． 故选：B． 【变式4-2】（2023•庐阳区校级三模）反比例函数y＝﹣与一次函数y＝kx﹣3在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣3的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第二、四象限， 当k＜0时，一次函数y＝kx﹣3的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第一、三象限， 四个选项中只有C符合， 故选：C． 【变式4-3】（2023•济南模拟）函数y＝﹣kx+k与函数y＝（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B． C．D． 【答案】B 【解答】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，B选项符合，A、C选项错误； 当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，D错误； 故选：B 【考点4 反比例函数图象的对称性】 【典例5】（2023秋•细河区期末）如图，双曲线y＝与直线y＝mx相交于A、B两点，B点坐标为（﹣2，﹣3），则A点坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【答案】B 【解答】解：∵点A与B关于原点对称， ∴A点的坐标为（2，3）． 故选：B． 【变式5-1】（2023•海口二模）如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1） 【答案】A 【解答】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为（2，﹣1）． 故选：A． 【变式5-2】（2023秋•新城区期末）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【答案】B 【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（1，﹣2）， ∴另一个交点的坐标是（﹣1，2）． 故选：B． 【考点5 反比例函数的性质】 【典例6】（2023•章贡区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列结论错误的是（　　） A．函数图象分布在第一、三象限 B．函数图象经过点（﹣3，﹣2） C．函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2 【答案】D 【解答】解：A、k＝6＞0，图象分布在第一，三象限，此选项不符合题意； B、∵（﹣3）×（﹣2）＝6， ∴函数图象经过点（﹣3，﹣2），此选项不符合题意； C、∵k＝6＞0， ∴函数图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，此选项不符合题意； D、虽然点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2， 但不知道A，B所在的象限，故y1，y2不能判断大小，此选项符合题意； 故选：D． 【变式6-1】（2023春•淮安区校级期末）反比例函数的图象分布在第二、四象限，则a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴a﹣1＜0， 解得：a＜1． 故选：A． 【变式6-2】（2022秋•兴县期末）对于反比例函数y＝﹣，下列描述不正确的是（　　） A．图象位于二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象必经过（﹣2，） D．当x＞﹣1时，y＞3 【答案】D 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， 图象分布在第二、四象限，A选项不符合题意； 当x＞0时，y随x的增大而增大，B选项不符合题意； 当x＝﹣2时，，故图象经过点（﹣2，），C选项不符合题意； 若x＞﹣1，则y＞3或y＜0，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式6-3】（2023•瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1或x＜﹣2 B．x≥1或x≤﹣2 C．0＜x≤1或x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x≥1 【答案】A 【解答】解：由题知， 因为反比例函数表达为， 所以其函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小． 则当﹣1＜y＜0时，对应的图象在第三象限， 且x的取值范围是x＜﹣2． 当0＜y≤2时，对应的图象在第一象限， 其x的取值范围是x≥1． 所以x的取值范围是：x≥1或x＜﹣2． 故选：A． 【考点6 反比例函数图象点坐标特征】 【典例7】（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3 【答案】B 【解答】解：∵k＝8＞0，y2＜0＜y1＜y3， ∴点B在第二象限，点A、C在第一象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴x2＜0，x3＞x1＞0， ∴x2＜x3＜x1． 故选：B． 【变式7-1】（2023•义乌市校级开学）以下四个点中，不在反比例函数y＝图象上的是（　　） A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，） D．（﹣4，） 【答案】D 【解答】解：因为反比例函数的表达式是y＝， 所以横纵坐标的积等于4的点，在这个反比例函数的图象上． 又2×2＝4，﹣2×（﹣2）＝4，，． 所以D选项中的点的坐标不在反比例函数的图象上． 故选：D． 【变式7-2】（2023春•沐川县期末）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 【答案】B 【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上， ∴y1＝4，y2＝﹣2，y3＝﹣， ∴y2＜y3＜y1． 故选：B． 【变式7-3】（2023秋•平度市期末）已知函数，当﹣2＜x＜﹣1时，y的取值范围是（　　） A．1＜y＜2 B． C．﹣2＜y＜﹣1 D． 【答案】A 【解答】解：∵在y＝﹣中，﹣2＜0， ∴第二象限内，y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣1时，y有最大值2，当x＝﹣2时，y有最小值1， ∴当﹣2＜x＜﹣1时，1＜y＜2， 故选：A． 【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】 【典例8】（2023秋•道县期末）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6）． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）若（1，y1），（3，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1，y2的大小． 【答案】（1）； （2）y1＜y2． 【解答】解：（1）把A（﹣2，6）代入， 得， 解得：k＝﹣12． ∴这个反比例函数的解析式为； （2）y1＜y2．理由如下： ∵k＝﹣12＜0， ∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大． ∵点（1，y1），（3，y2）都在第四象限，且1＜3， ∴y1＜y2． 【变式8-1】（2023•高阳县校级模拟）y与x成反比例，当x＝2时y＝1，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝2x B．y＝2﹣x C． D． 【答案】D 【解答】解：设（k≠0）． 根据题意得：， 解得：k＝2， 即函数解析式是． 故选：D． 【变式8-2】（2023春•灌云县期末）已知y与x+2成反比例函数关系，且当x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当x＝0时，求y的值． 【答案】（1）y＝； （2）y＝． 【解答】解：（1）∵y与x+2成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为y＝， ∵x＝﹣1时，y＝3， ∴k＝3， ∴y与x之间的函数表达式为：y＝； （2）当x＝0时，y＝． 【变式8-3】（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）． ​（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． （2）求当y≤4，且y≠0时自变量x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝﹣，图象见详解；（2）x≤﹣或x＞0． 【解答】解：（1）把点（3，﹣2）代入y＝（k≠0）， ﹣2＝， 解得：k＝﹣6， ∴反比例函数的表达式为y＝﹣， 补充其函数图象如下： （2）当y＝4时，﹣＝4， 解得：x＝﹣， ∴当y≤4，且y≠0时，x≤﹣或x＞0． 【考点8 反比例函数与一次函数的交点问题】 【典例9】（2023•西山区二模）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y1＝x+1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1），则当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） ​ A．x＜﹣2或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1 【答案】C 【解答】解：直线y1＝x+1与双曲线y2＝相交于点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1）， 由图象可知，当y1＞y2时，﹣2＜x＜0或x＞1； 故选：C． 【变式9-1】（2023秋•乐亭县期末）一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【答案】B 【解答】解：由图象可知，当y1＞y2，x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1． 故选：B． 【变式9-2】（2023春•高新区期末）反比例函数y＝与正比例函数y＝2x一个交点为（1，2），则另一个交点是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数y＝与正比例函数y＝2x一个交点为（1，2）， ∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称， ∴另一个交点是（﹣1，﹣2）． 故选：A． 【变式9-3】（2023秋•辽阳期末）如图，正比例函数y＝k1x（k1为常数，且k1≠0）和反比例函数（k2为常数，且k2≠0）的图象相交于A（2，m）和B两点，则不等式的解集为（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜﹣2 【答案】C 【解答】解：根据反比例函数关于原点的对称性，可知B（﹣2，﹣m）， ∴的解集为﹣2＜x＜0或x＞2， 故选：C． 1．如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（      ） A． B．图象也经过点 C．若时，则 D．，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中． 把代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可． 【详解】】 解：把代入反比例函数的解析式得：，故A正确； ∵反比例函数的解析式为， 把代入求得， ∴图象也经过点，故B正确； 由图象可知时，则，故C错误； ， 随x的增大而减小， ，y随x的增大而减小，故D正确； 故选：C． 2．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 3．若反比例函数的图象经过点，则图象必经过另一点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将代入即可求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ∵，，，， ∴B选项符合题意． 故选：B． 4．如图，过反比例函数 图象上的一点A作轴于点B，连接，若，则k的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数值k的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 根据反比例函数 k 值的几何意义可知|，再根据图象所在象限确定 k 的符号即可． 【详解】解：， ， 函数图象在第二象限， ． 故选：D． 5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为：或； 故选C． 6．已知点，，在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 依据反比例函数为可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到的大小关系． 【详解】∵反比例函数， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，反比例函数的图象的一个分支上有一点，平行于轴，交轴于点，的面积是，则反比例函数的表达式是（　　）    A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，由轴可得为直角三角形，进而由的面积是，得到，即得或，再根据函数的图象位于第一象限可得，即可得到，据此可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ∴轴， ∴， ∴为直角三角形， ∵的面积是， ∴， ∴或， ∵函数图象的一个分支位于第一象限， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为， 故选：． 8．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数以及二次函数的图象和性质．根据一次函数、反比例函数以及二次函数的增减性，即可进行解答． 【详解】解：A、，正比例函数，，故随增大而增大，故此选项不符合题意； B、，一次函数，，故随增大而增大，故此选项不符合题意； C、，二次函数，对称轴为y轴，开口向上，当时，随增大而增大，故此选项不符合题意； D、，反比例函数，，当时，随增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 9．对于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．图象位于一、三象限 C．图象与坐标轴无交点 D．图象关于原点对称 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、反比例函数的，图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故原说法错误，符合题意； B、反比例函数的，图象分布在第一、三象限，故原说法正确，不符合题意； C、反比例函数中，图象与坐标轴无交点，正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点对称，正确，不符合题意． 故选：A． 10．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，分和两种情况讨论即可．灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象分布在一、三象限，选项A符合题意； 当时，函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在二、四象限，没有正确选项． 故选：A． 二、填空题 11．已知y是x的反比例函数，并且当时，，求当时， ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟练的求解解析式是解本题的关键．首先设出函数解析式，再利用待定系数法把，代入解析式求得k的值，得到函数解析式后，再根据解析式和x的值，求得y的值． 【详解】解：设函数解析式为：， 把，代入，得， ∴． 把代入， 故答案为：3． 12．已知点，都在反比例函数的图象上，当，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可知反比例函数图象经过第一、三象限，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在各个象限内，随增大而减小 ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 13．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且 轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为1，矩形的面积是3，则矩形的面积为． 【详解】解：过点A作轴于点E， 轴， 则点在同一直线上， ∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴矩形的面积为1，矩形的面积是3， ∴矩形的面积为， 故答案为：2． 14．如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式， 一次函数与反比例函数的交点问题，先将代入得，得出，求得，然后联立一次函数与反比例函数，解方程即可求出点B的坐标． 【详解】解：将代入得，， 解得，即， ∴， ∴双曲线， 联立两方程： 解得：或 ∴， 故答案为． 15．对于函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式得出函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，结合，计算即可得出答案． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A的坐标，再把点A的坐标代入，求出k的值即可； （2）求出点B的坐标，结合图象，找出一次函数图象高于反比例函数图象时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 将代入，得， 解得，， 反比例函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ， 由图可知：当时，或． 17．如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点、． (1)反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出满足的取值范围； (3)若轴上的存在一点，使的周长最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，轴对称最短路线问题，数形结合是本题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的周长最小，根据待定系数法求得直线的解析式，进而即可求得的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于、两点． ，， ，． 反比例函数和一次函数的表达式分别为，； （2）由图象可得：满足的取值范围是或． （3）如图，作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的周长最小， ， 关于轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$