2.5.1等腰三角形的轴对称性：等腰三角形的性质与判定（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.5.1 等腰三角形的轴对称性： 等腰三角形的性质与判定 题型一 等腰三角形的性质——两腰相等 1．等腰三角形的周长为，其中一边长为．则该等腰三角形的底长为　　 A．3 或5 B．3 或7 C．3 D．5 【详解】解：①是腰长时，底边， ， 不能组成三角形； ②是底边时，腰长， 能够组成三角形； 综上，该等腰三角形的底长为． 故本题选：． 2．如果等腰三角形的各边长是整数，周长为9，那么这样的等腰三角形有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，则底边长为， 由题意可得：，解得：， 为整数， 或4， 当时，，等腰三角形的三边长分别为3，3，3； 当时，，等腰三角形的三边长分别为4，4，1； 综上，这样的等腰三角形有2个． 故本题选：． 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为　　． 【详解】解：分两种情况： ①当等腰三角形的底边长是腰长的2倍时， 腰长， 底边的长为8， ， 不能组成三角形； ②当等腰三角形的腰长是底边长的2倍时， 腰长， 底边的长为2； 综上，底边的长为2． 故本题答案为：2． 4．已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 【详解】解：设腰长为，底边长为， ①若腰比底边长，则，解得：； ②若底边比腰长，则，解得：； 综上，这个三角形的腰长是或． 5．如图，和都是等腰直角三角形，与相交于点，交于点． 证明：（1）；（2）． 【详解】证明：（1）， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 即． 题型二 等腰三角形的性质定理——等边对等角 1．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【详解】解：①若是顶角的外角，则顶角； ②若是底角的外角，则底角，那么顶角． 故本题选：． 2．如图，，，则等于　　 A． B． C． D． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 故本题选：． 3．定义：我们将等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为　　． 【详解】解：设该等腰三角形的顶角的度数为，则该等腰三角形的底角度数为， ，解得：． 故本题答案为：36． 4．已知：如图，在中，，是的外角，． 求证：平分． 【详解】证明：， ，， ， ， ， 平分． 5．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为18，求的周长． 【详解】解：（1）在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）的周长为18，， ， ， ，得垂直平分线交于， ， 的周长是． 6．如图，在中，，， （1）若，，则　　； （2）若，求的度数． 【详解】解：（1），， ， ，， ， ， 故本题答案为：； （2）设，， ， ， ． 7．探究与发现：如图①，在中，，，点在底边上，，连接． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点、除外）上运动时，试猜想并探究与的数量关系； （3）深入探究：若，试就图②探究与的数量关系． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， ， ； （2）设， ， ， ， ， ； （3）设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型三 等腰三角形的性质定理——三线合一 1．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点，到杆脚的距离相等，且，，在同一直线上时，电线杆就垂直于．工程人员这种操作方法的依据是　　 A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【详解】解：，， ， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”． 故本题选：． 2．如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且．求证：是的中点． 【详解】证明：，，且， 是的角平分线， ， 是的中点． 3．如图，中，，是的中点，过点的直线，且，求证：． 【详解】证明：如图，连接， 中，，是的中点， ， ， ， 又， 垂直平分， ． 4．已知：如图，是等腰三角形，是底边上的中线，和分别垂直于、，垂足分别为点、． 求证：． 【详解】证明：是等腰三角形，是底边上的中线， 平分， ，， ，， 在和中， ， ， ． 题型四 等腰三角形的判定——两边相等、判定定理——等角对等边 1．如图，在中，，，点是上一点，连接，，，则长是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 故本题选：． 2．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点．，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③；④的周长；⑤．其中正确的有　　 A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤ 【详解】解：， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形， ，， ， 的周长， ①②④正确． 故本题选：． 3．如图，已知的面积为18，平分，且于点，则的面积是　　． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，于点， ，， ∠BAD=∠BDA， AB=DB， ， ，， ． 故本题答案为：9． 4．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）如图， ， ，， ， ， ， ， ． 5．如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）作的平分线交于点，若，求的度数． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ，， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， 平分， ， ， ． 6．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． （1）证明：； （2）求证：为等腰三角形． 【详解】证明：（1）在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 为等腰三角形． 题型五 等腰三角形的存在性问题 1．如图，已知中，，，在直线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【详解】解：分三种情况：①，②，③PA=PB， 如图，①以点为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点为圆心，长为半径交直线于点和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点共有4个． 故本题选：． 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点，在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点，连接和，使是等腰三角形．则方格图中满足条件的点的个数有　　个． 【详解】解：如图， 分两种种情况： ①当在，，，位置上时，； ②5当在，位置上时，； 综上，满足点的个数有6个． 故本题答案为：6． 3．有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点放在上，移动三角板，当点从点沿向点移动的过程中，点、、始终保持在一条直线上．若直线与直线交于点，当为等腰三角形时，则的度数为　　 【详解】解：由题意可知：，，， ①如图，时， ， ， ， ； ②如图，时， ， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 故本题答案为：或． 4．已知：在中，，． （1）如图，点在边上，点在边上，，与交于点．求证：； （2）若点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且，与交于点．当是等腰三角形时，求的度数． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：，， ， 由（1）可知：， ， 设， 则，， ， 是等腰三角形，故分三种情况讨论： ①．当时，此时， ，解得：， 即； ②当时，此时， ，解得：， 即； ③当时，此时， ，不合题意，舍去； 综上，或． 1．如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值　　 A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 【详解】解：如图，延长交于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故本题选：． 2．如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有　　 A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【详解】解：在中，，，则， （1）取一个和全等，其中，，，， 此时有两种拼图方法： ①如图1，将与拼接在一起， ，， 点，，在一条直线上， 为等腰三角形，且，； ②如图2，将于拼接在一起， ，， 点，，在一条直线上， 为等腰三角形； （2）取一个，使，，，， 如图3，将于拼接在一起， ， 点，，在一条直线上， 此时， ， 为等腰三角形； （3）取一个，使，，，， 如图4，将与拼接在一起， ， 点，，在一条直线上， 此时， ， 为等腰三角形； （4）取一个，使，，，， 如图5，将与拼接在一起， ， 点，，在一条直线上， 此时， ， 为等腰三角形； （5）取一个，使，，，， 如图6，将与拼接在一起， ，， ， 点，，在一条直线上， 此时， ， 为等腰三角形； （6）取一个，使，，，， 如图7，将与拼接在一起， ，， ， 点，（E），在一条直线上， 此时， 为等腰三角形； 综上，拼成的等腰三角形有7种． 故本题选：． 3．如图，在中，，，在中，，，以为顶点作一个的角，使其两边分别交于交于点，连接，那么的周长为　　． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， 在中，，， ， 在中，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即的周长为10． 故本题答案为：10． 4．已知关于、的方程组． （1）求方程组的解（用含的代数式表示）； （2）若方程组的解满足条件，求的取值范围； （3）若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值； （4）若无论取何值，等式总成立，求的值． 【详解】解：（1）， ①②得：，解得：， 将代入①得：， 该方程组的解为：； （2）， ， 化简为：，解得：； （3）、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9； ①，解得：， ，，不能组成三角形； ②，解得：， ，，能组成三角形； ； （4）， 可化为：， 当，即时，无论取何值，等式总成立． 5．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线、上． 活动一： 如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒． 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：　　；（填“能”或“不能” ） （2）设，　　； 活动二： 如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且． 数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，　　；（用含的式子表示） （4）若只能摆放5根小棒，求的范围． 【详解】解：（1）根据已知条件可知：小棒两端能分别落在两射线上， 小棒能继续摆下去， 故本题答案为：能； （2），， ， ， ， ； （3）， ， ， ， 同理可得：，， 故本题答案为：； （4）由题意可得：， ． 6．如图①，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． 试说明：． 探究一：请写出图①中线段与、间的关系，并说明理由． 探究二：如图②，若的平分线与的外角平分线交于，过点作的平行线交于，交于．这时与、的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ； 探究一：，理由如下： ， 同理可得：， ； 探究二：，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 同理可得：， ． 7．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． （1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． （2）在中，为的等腰分割线，，，请你画出所有可能的图形并求出的度数． 【详解】（1）证明：如图2， 是线段的垂直平分线， ，即是等腰三角形， ， ， ， ，即是等腰三角形， 是是一条等腰分割线； （2）解：线段即为所求分割线， 和都是等腰三角形， ①如图3，， ， ， ， ； ②如图4，， ， ， ， ， ， ； ③如图5，，， ， ， ， ； 综上，的度数为或或． 8．如图1，在中，，，的平分线交边于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若的平分线交边于点，如图2，求证：； （3）若外角的平分线交延长线于点，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论． 【详解】证明：（1）在中，，， ， 平分， ， ， 为等腰三角形； （2）证法一：如图2，在上截取，连接， 由（1）可得：为等腰三角形， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ； 证法二：如图3，在的延长线上取，连接， 由（1）可得：为等腰三角形，且， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：，理由如下： 如图4，在上截取，连接， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.1 等腰三角形的轴对称性： 等腰三角形的性质与判定 题型一 等腰三角形的性质——两腰相等 1．等腰三角形的周长为，其中一边长为．则该等腰三角形的底长为　　 A．3 或5 B．3 或7 C．3 D．5 2．如果等腰三角形的各边长是整数，周长为9，那么这样的等腰三角形有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为　　． 4．已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 5．如图，和都是等腰直角三角形，与相交于点，交于点． 证明：（1）；（2）． 题型二 等腰三角形的性质定理——等边对等角 1．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是　　 A． B． C．或 D．不能确定 2．如图，，，则等于　　 A． B． C． D． 3．定义：我们将等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为　　． 4．已知：如图，在中，，是的外角，． 求证：平分． 5．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为18，求的周长． 6．如图，在中，，， （1）若，，则　　； （2）若，求的度数． 7．探究与发现：如图①，在中，，，点在底边上，，连接． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点、除外）上运动时，试猜想并探究与的数量关系； （3）深入探究：若，试就图②探究与的数量关系． 题型三 等腰三角形的性质定理——三线合一 1．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点，到杆脚的距离相等，且，，在同一直线上时，电线杆就垂直于．工程人员这种操作方法的依据是　　 A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 2．如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且．求证：是的中点． 3．如图，中，，是的中点，过点的直线，且，求证：． 4．已知：如图，是等腰三角形，是底边上的中线，和分别垂直于、，垂足分别为点、． 求证：． 题型四 等腰三角形的判定——两边相等、判定定理——等角对等边 1．如图，在中，，，点是上一点，连接，，，则长是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点．，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③；④的周长；⑤．其中正确的有　　 A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤ 3．如图，已知的面积为18，平分，且于点，则的面积是　　． 4．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 5．如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）作的平分线交于点，若，求的度数． 6．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． （1）证明：； （2）求证：为等腰三角形． 题型五 等腰三角形的存在性问题 1．如图，已知中，，，在直线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点，在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点，连接和，使是等腰三角形．则方格图中满足条件的点的个数有　　个． 3．有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点放在上，移动三角板，当点从点沿向点移动的过程中，点、、始终保持在一条直线上．若直线与直线交于点，当为等腰三角形时，则的度数为　　 4．已知：在中，，． （1）如图，点在边上，点在边上，，与交于点．求证：； （2）若点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且，与交于点．当是等腰三角形时，求的度数． 1．如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值　　 A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 2．如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有　　 A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 3．如图，在中，，，在中，，，以为顶点作一个的角，使其两边分别交于交于点，连接，那么的周长为　　． 4．已知关于、的方程组． （1）求方程组的解（用含的代数式表示）； （2）若方程组的解满足条件，求的取值范围； （3）若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值； （4）若无论取何值，等式总成立，求的值． 5．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线、上． 活动一： 如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒． 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：　　；（填“能”或“不能” ） （2）设，　　； 活动二： 如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且． 数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，　　；（用含的式子表示） （4）若只能摆放5根小棒，求的范围． 6．如图①，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． 试说明：． 探究一：请写出图①中线段与、间的关系，并说明理由． 探究二：如图②，若的平分线与的外角平分线交于，过点作的平行线交于，交于．这时与、的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由． 7．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． （1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． （2）在中，为的等腰分割线，，，请你画出所有可能的图形并求出的度数． 8．如图1，在中，，，的平分线交边于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若的平分线交边于点，如图2，求证：； （3）若外角的平分线交延长线于点，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$