【高考领航】2025年高考数学(文科)模拟试题精编卷(4)

高考文科数学模拟试题精编(四) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|x＝2sin ，n∈N*}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∩B＝(　　) A．{－，0，} B．{0，} C．{－，0} D．{－1，0，} 2．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为(　　) A．i B．－i C．－1 D．1 3．若从甲、乙、丙、丁4人中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为(　　) A． B． C． D． 4．已知a，b∈R，直线l：y＝ax＋b，圆C：x2＋y2＝4.p：直线l与圆C相交；q：2a>.则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数g(x)＝f(x)＋x2是奇函数，当x>0时，函数f(x)的图象与函数y＝log2x(x>1)的图象关于直线y＝x对称，则g(－1)＝(　　) A．－5 B．－3 C．－1 D．1 6．已知正方体ABCD ­A1B1C1D1(如图1)，点P在侧面CDD1C1内(包括边界).若三棱锥B1­ABP的俯视图为等腰直角三角形(如图2)，则此三棱锥的左视图不可能是(　　) 　 图1　　　　　　　图2 7．若双曲线x2－＝1的离心率e∈(1，3)，则m的取值范围为(　　) A．(0，4) B．(0，8) C．(1，9) D．(8，＋∞) 8．已知a＝log52，b＝log32，c＝8－，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a 9．已知函数f(x)＝2－A sin2(ωx－)(A>0，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，f(x)的最小值为0，则f(x)图象的对称中心可以是(　　) A．(，0) B．(，1) C．(，1) D．(，0) 10．已知函数f(x)＝2x3－2x＋4＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f(a－6)＋f(a2)>8，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－3，2) C．(－∞，－3) D．(－∞，－3)∪(2，＋∞) 11．已知底面边长为2的正四棱锥O­ABCD的侧棱长为，E，F分别为AB，BC的中点，点P，Q在底面ABCD内，且Q在线段DE上，过顶点O且平行于底面ABCD的平面为α，点F在平面α内的射影为G，PG的长度为，则PQ长度的最小值是(　　) A． B．－1 C． D．－1 12．已知数列{an}满足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n(n∈N*)，则数列{an}的第2023项为(　　) A．21012－2 B．21012－3 C．21011－2 D．21011－1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则|a－2b|＝________． 14．已知x，y满足约束条件，则z＝4x－y的最大值为________． 15．已知数列{an}满足an＋4－an＝2[1＋(－1)n]，其前60项和为990，则其前4项和为________． 16．已知函数f(x)＝(x＋1)2＋(ln x)2－2m·(x＋1＋ln x)＋2m2，若存在实数x0，使得f(x0)≤2成立，则实数m的可能取值为________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos B－b cos A＝c－b. (1)求A； (2)若a＝2b－c，求sin B． 18．(12分)在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区200名某传染病患者的相关信息，得到如下表格： 潜伏期/天 [0，2] (2，4] (4，6] (6，8] (8，10] (10，12] (12，14] 人数 17 41 62 50 26 3 1 (1)求这200名患者的潜伏期的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关． 潜伏期≤6天 潜伏期>6天 总计 50岁以上(含50岁) 20 50岁以下 9 总计 40 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 19.(12分)如图所示，在三棱锥A­BCD中，侧棱AB⊥平面BCD，F为线段BD的中点，∠BCD＝π，AB＝3，BC＝CD＝2. (1)证明：CF⊥平面ABD； (2)设Q是线段AD上一点，二面角A­BQ­C的正弦值为，求的值． 20．(12分)已知函数f(x)＝(2a＋1)x2－2x2ln x－4，e是自然对数的底数，∀x>0，ex>x＋1. (1)求f(x)的单调区间； (2)记p：f(x)有两个零点；q：a>ln 2.求证：p是q的充要条件． 要求：先证充分性，再证必要性． 21．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．以F1F2为直径的圆和C有且仅有两个交点，且直线y＝x＋与C相切． (1)求椭圆C的方程； (2)若A，B为x轴上两点，且两点的横坐标之积为4.过A点的直线交C于M，N两点，直线BM与C的另一个交点为S(S异于点N)，直线BN与C的另一个交点为T. (ⅰ)设M关于x轴的对称点为P，求证：B，N，P三点共线； (ⅱ)若A(－1，0)，记△ONT，△OMS的面积分别为S1，S2，求S1＋2S2的取值范围． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(φ为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos (θ＋)＝1. (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为N，M(2，0)，求的值． 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝2|x－1|＋|x＋1|. (1)求不等式f(x)≤5的解集； (2)若a>0，b>0，且a＋b＝f(1)，求证：＋≤2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考文科数学模拟试题精编(四) 1．B　由题意知A＝{－，0，}，B＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝{0，}，故选B. 2．C　z＝＋3＝＋3＝5＋i，则＝5－i，其虚部为－1，故选C. 3．D　任选3名代表的所有基本事件为甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4个，含有甲的基本事件有3个，∴所求概率P＝. 4．B　若直线l与圆C相交，则圆心C(0，0)到直线l：y＝ax＋b的距离小于圆C的半径2，即<2，即4(a2＋1)>b2，4a2>b2－4，解得2a> 或2a<－ ，所以p是q的必要不充分条件，故选B. 5．B　解法一：由题意，得当x>0时，f(x)＝2x，则g(1)＝f(1)＋1＝2＋1＝3，又g(x)为奇函数，所以g(－1)＝－g(1)＝－3，故选B. 解法二：由题意，得当x>0时，f(x)＝2x，所以当x>0时，g(x)＝2x＋x2，又g(x)为奇函数，所以当x<0时，g(x)＝－g(－x)＝－[2－x＋(－x)2]＝－(2－x＋x2)，所以g(－1)＝－(2＋1)＝－3，故选B. 6．D　由题意可知，点P在侧棱DD1上，如果P与D重合，左视图为选项A中的图；如果P与D1重合，左视图为选项B中的图；如果P在DD1的中点时，左视图为选项C中的图．故选D. 7．B　因为e＝＝ ＝ ＝ ，所以e2＝1＋＝1＋m，又e∈(1，3)，所以e2∈(1，9)，所以1＋m∈(1，9)，得m∈(0，8)，故选B. 8．B　解法一：因为a＝log52<log5＝，b＝log32>log3＝，c＝8－＝，所以a<c<b，故选B. 解法二：由题意，利用换底公式，得a＝，b＝，c＝，因为log25>log24>log23>1，所以<<，即a<c<b，故选B. 9．B　由正弦函数的性质知sin2(ωx－)的最大值为1，故由f(x)的最小值为0，得2－A＝0，解得A＝2，所以f(x)＝2－2sin2(ωx－)＝cos(2ωx－)＋1.因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以f(x)的最小正周期T＝×2＝π，所以＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝cos (2x－)＋1.令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心是(＋，1)，k∈Z，结合选项可知B正确． 10．D　函数f(x)的定义域是R，设g(x)＝2x3－2x＋ex－，则g(－x)＝－g(x)，故g(x)是奇函数，而g′(x)＝6x2－2＋ex＋≥6x2－2＋2＝6x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，故g(x)在R上单调递增，若f(a－6)＋f(a2)>8，则g(a－6)＋g(a2)＋8>8，即g(a－6)＋g(a2)>0，所以g(a2)>－g(a－6)＝g(6－a)，故a2>6－a，解得a<－3或a>2，故选D. 11．D　如图，连接FG，PG，PF，则FG⊥平面α，设底面正方形ABCD的中心为H，连接OH，BH，则OH⊥平面ABCD，∵α∥平面ABCD，且O∈α，∴FG⊥平面ABCD，且FG＝OH.∵AB＝2，∴BH＝，∵OB＝，∴OH＝＝2，故FG＝2.∵PG＝，∴PF＝＝1，则点P的轨迹是以F为圆心，以1为半径的圆在正方形ABCD内的部分，连接AF交DE于点M，则AF⊥DE，且AM·DE＝AD·AE，即AM＝2×1，则AM＝＝，∴MF＝AF－AM＝－＝，则PQ长的最小值为MF－1＝－1.故选D. 12．B　a2n＝a2n－1＋2n，令n＝1，得a2＝a1＋2，又a2＝2，所以a1＝0.因为，所以a2n＋1＝a2n－1＋2n＋(－1)n，即a2n＋1－a2n－1＝2n＋(－1)n，所以a2021＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2021－a2019)＝21＋(－1)1＋22＋(－1)2＋23＋(－1)3＋…＋21010＋(－1)1010＝(21＋22＋23＋…＋21010)＋[(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)1010]＝＋0＝21011－2，所以a2023＝a2021＋21011－1＝21011－3＋21011＝21012－3.故选B. 13．解析：因为平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝|a|·|b|cos ＝1××＝，则|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝1－1＋1＝1，所以|a－2b|＝1. 答案：1 14．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线4x－y＝0并平移，当平移后的直线经过点M时，z＝4x－y取得最大值．由，得，即M(，－)，所以zmax＝4×－(－)＝7. 答案：7 15．解析：若k∈N*，当n＝4k－3时，a4k＋1－a4k－3＝0；当n＝4k－2时，a4k＋2－a4k－2＝4；当n＝4k－1时，a4k＋3－a4k－1＝0；当n＝4k时，a4k＋4－a4k＝4.于是(a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4)－(a4k＋a4k－1＋a4k－2＋a4k－3)＝8，所以数列{a4k＋a4k－1＋a4k－2＋a4k－3}是以a1＋a2＋a3＋a4为首项，8为公差的等差数列，故数列{an}的前60项和就是数列{a4k＋a4k－1＋a4k－2＋a4k－3}的前15项和，即15×(a1＋a2＋a3＋a4)＋×8＝15(a1＋a2＋a3＋a4)＋840＝990，所以a1＋a2＋a3＋a4＝10. 答案：10 16．解析：f(x)＝(x＋1)2＋(ln x)2－2m(x＋1＋ln x)＋2m2＝[x－(m－1)]2＋(ln x－m)2，可看成点(x，ln x)到点(m－1，m)的距离的平方．令g(x)＝ln x，则点(x，ln x)在函数g(x)的图象上，点(m－1，m)在直线y＝x＋1上，由g(x)＝ln x，得g′(x)＝，令g′(x)＝1，则x＝1，g(1)＝0，记点A(1，0)，则函数g(x)＝ln x在点A(1，0)处的切线与直线y＝x＋1平行，所以点A(1，0)到直线y＝x＋1的距离，即点(x，ln x)到点(m－1，m)的距离的最小值，点A(1，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以f(x)≥2.过点A(1，0)且垂直于直线y＝x＋1的直线的方程为y＝－x＋1，由，得，当且仅当m－1＝0时，存在x0＝1，使得f(x0)≤2成立，所以m＝1. 答案：1 17．解：(1)由余弦定理得a·－b·＝c－b， 整理得b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝＝， 又0<A<π，∴A＝. (2)由正弦定理得sin A＝2sin B－sin C， ∵A＝，∴C＝－B，sin A＝， ∴＝2sin B－sin (－B)＝sin B－cos B， 即sin (B－)＝， ∴B－＝或(舍)， ∴B＝＋， ∴sin B＝sin (＋)＝. 18．解：(1)＝×(1×17＋3×41＋5×62＋7×50＋9×26＋11×3＋13×1)＝5.4(天). (2)依题意，补充完整列联表： 潜伏期≤6天 潜伏期>6天 总计 50岁以上(含50岁) 15 5 20 50岁以下 9 11 20 总计 24 16 40 K2＝＝3.75<3.841， 所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关． 19．解：(1)证明：因为BC＝CD，F为线段BD的中点，所以CF⊥BD. 因为AB⊥平面BCD，CF⊂平面BCD，所以CF⊥AB. 又AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD＝B，所以CF⊥平面ABD. (2)如图，过F作FE⊥BQ，交BQ于E，连接CE，设∠DBQ＝θ，∠CEF＝α， 由(1)知CF⊥平面ABD，所以CF⊥BQ，CF⊥FE，又FE⊥BQ，CF∩FE＝F，CF，FE⊂平面EFC， 所以BQ⊥平面EFC，所以BQ⊥EC， 所以∠CEF为二面角D­BQ­C的平面角，因为二面角D­BQ­C与二面角A­BQ­C为互补二面角，所以sin α＝，cos α＝，tan α＝＝＝， 所以＝，于是sin θ＝，sin (－θ)＝， ＝＝＝＝，所以＝，即的值为. 20．解：(1)∵f(x)＝(2a＋1)x2－2x2ln x－4， ∴f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x(a－ln x). ∵当0<x<ea时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，ea)上是增函数． ∵当x>ea时，f′(x)<0， ∴f(x)在(ea，＋∞)上是减函数． ∴f(x)的单调递增区间为(0，ea)； 单调递减区间为(ea，＋∞). (2)证明：先证充分性． 由(1)知，当x＝ea时，f(x)取得最大值， 即f(x)的最大值为f(ea)＝e2a－4. 由f(x)有两个零点，得e2a－4>0，解得a>ln 2. ∴a>ln 2. 再证必要性． ∵a>ln 2，∴e2a>4，∴f(ea)＝e2a－4>0. ∵a>ln 2>0，∀x>0，ex>x＋1，∴e2a>2a＋1>2a. ∴f(e－a)＝e-2a(4a＋1)－4＝－4<－4＝－2<－2＝－2<0. ∴∃x1∈(e－a，ea)，f(x1)＝0. ∵f(ea+1)＝－e2a+2－4<0， ∴∃x2∈(ea，ea+1)，f(x2)＝0. ∵f(x)在(0，ea)上单调递增，在(ea，＋∞)上单调递减， ∴∀x∈(0，＋∞)，x≠x1且x≠x2，易得f(x)≠0. ∴当a>ln 2时，f(x)有两个零点． ∴p是q的充要条件． 21．解：(1)由题意可知b＝c， ∴椭圆C的方程可化为＋＝1. 由，消去y，化简整理得3x2＋4x＋12－2b2＝0. 由Δ＝0，得b＝，∴c＝，a＝2， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)(ⅰ)证明：设A(m，0)，B(，0)，m≠0. 显然直线MN的斜率不为0，设直线MN：x＝ty＋m， 由，消去x，得(t2＋2)y2＋2tmy＋m2－4＝0.由Δ1>0得4＋2t2>m2. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则P(x1，－y1)，y1＋y2＝，y1y2＝. kPB－kNB＝－＝ ＝0， ∴kPB＝kNB，∴B，N，P三点共线． (ⅱ)若A(－1，0)，则B(－4，0)，由(ⅰ)可知kBM＋kBN＝0，结合椭圆的对称性可知S1＝S2，∴S1＋2S2＝3S2. 显然直线BM的斜率存在且不为0， 设直线BM：x＝ky－4，由，消去x， 得(k2＋2)y2－8ky＋12＝0.由Δ2>0得k2>6. 设S(x3，y3)，M(x4，y4)， 则y3＋y4＝，y3y4＝. |SM|＝＝·. 原点O到直线BM的距离d＝， ∴S2＝|SM|d＝. 令Z＝(Z>0)，则k2＝Z2＋6， ∴S2＝＝∈(0，]，当且仅当Z＝，即Z＝2时，S2＝. ∴S1＋2S2∈(0，3]. 22．解：(1)将曲线C的参数方程(φ为参数)中的参数φ消去，得曲线C的普通方程为y2＝2x. 由ρcos (θ＋)＝1，得ρcos θ－ρsin θ＝1， 又y＝ρsin θ，x＝ρcos θ，所以直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0. (2)由(1)可知M(2，0)恰好在直线l上，直线l的斜率是，倾斜角是， 所以直线l的参数方程为(t为参数)， 代入y2＝2x，可得t2－4t－16＝0， 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－16， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝4. 因为N为弦AB的中点，所以|MN|＝＝2， 所以＝＝. 23．解：解法一：(1)f(x)＝2|x－1|＋|x＋1|＝由f(x)≤5，得，或，或. 解得－≤x≤－1，或－1<x<1，或1≤x≤2，故所求不等式的解集为{x|－≤x≤2}． (2)证明：要证＋≤2， 只需证(＋)2≤(2)2， 即证a＋b＋2＋2·≤8. 因为a>0，b>0，a＋b＝f(1)＝2，故只需证≤2. 由基本不等式可知，≤＝2成立，当且仅当a＝b＝1时“＝”成立． 命题得证． 解法二：(1)f(x)＝2|x－1|＋|x＋1|＝ 作出函数f(x)的图象与直线y＝5如图所示，易求得函数f(x)的图象与直线y＝5的交点 A(－，5)，B(2，5)， 所以不等式f(x)≤5的解集为{x|－≤x≤2}． (2)证明：因为a＋b＝f(1)＝2，a>0，b>0， 所以·≤，·≤，所以·＋·≤＋＝4，所以＋≤2，当且仅当a＝b＝1时“＝”成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$