名校优化重组测试卷(1)-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

名校优化重组测试卷(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2024·湖北荆宜三校联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|lg(x＋1)≤1}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤9} C．{x|－1＜x≤3} D．{x|－1＜x＜9} 2．(2023·唐山模拟)已知i为虚数单位，复数z满足|z－2i|＝|z|，则z的虚部为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 3．(2023·南京、盐城一模)三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12 cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为(　　) A．72π cm2 B．162π cm2 C．216π cm2 D．288 π cm2 4．(2023·江苏新高考二模)设a＝log23，b＝3，c＝2，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b 5．(2024·唐山模拟)已知α，β∈(0，)，且＝tan(＋α)，则(　　) A．2α＝β B．α＝β C．α＋β＝ D．α＋β＝π 6．(2023·天津南开区模拟)函数f(x)＝x2ln|x|－2的大致图象是(　　) 　　 7．(2024·漳州模拟)对于给定的向量a，b，有下列四个条件．甲：|a|＝1；乙：|b|＝3；丙：|a＋b|＝5；丁：|a－b|＝5，其中只有一个不成立，则a与b的夹角为(　　) A．0 B． C． D． 8．(2024·苏州质检)抛物线有如下光学性质：经过抛物线焦点的入射光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后的光线必过抛物线的焦点．已知抛物线E：y2＝2px(1＜p＜4)，一条平行于x轴的光线从点A(8，2p)射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若△ABC的面积是，则p的值为(　　) A． B．2 C． D．3 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．(2023·济南模拟)已知(2x＋)n的展开式共有13项，则下列关于该二项式的说法中正确的有(　　) A．所有奇数项的二项式系数和为212 B．所有项的系数和为312 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 10．(2023·辽宁葫芦岛一模)有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有(　　) A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015 B．任取一个零件是次品的概率为0.0525 C．如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为 11．(2023·佛山模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，且tan∠BF1F2＝，点P在C上，线段PF1与BF2交于Q，＝2，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得KF1⊥KF2 C．直线PF1的斜率为 D．PF1平分∠BF1F2 12．(2023·济宁一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(0＜ω＜3，0＜φ＜)，且f(0)＝1，f()＝－2，则下列说法中正确的是(　　) A．φ＝ B．f(x)在(0，)上单调递增 C．f(x＋)为偶函数 D．f(x)＋f′(x)≤2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(开放题)(2023·厦门二检)写出与直线x＝1，y＝1，和圆x2＋y2＝1都相切的一个圆的方程__________． 14．(2023·株洲模拟)投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为________． 15．(2024·湖北荆宜三校联考)设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且满足g(x＋1)为偶函数，g(x＋2)为奇函数，则g(k)＝________． 16．(2024·济南模拟)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”． (1)设f(x)＝sin x，则f(x)在(0，π)上的“新驻点”为________； (2)如果函数g(x)＝ln(x＋1)与h(x)＝x＋ex的“新驻点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2024·华附、省实、广雅、深中四校联考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，4Sn＝a＋2an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜. 18.(12分)(2024·福州二检)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2－a2＝2c2. (1)求的值； (2)求C的最大值． 19.(12分)(2023·茂名二模)在四棱锥P ­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，O为AD的中点． (1)求证：PO⊥BC； (2)若AB∥CD，AB＝8，AD＝DC＝CB＝4，PO＝2，点E在棱PB上，直线AE与平面ABCD所成角为，求点E到平面PCD的距离． 20.(12分)(2024·大连模拟)北京冬奥会期间，不少外国运动员对麻辣烫赞不绝口，在社交媒体上发布的视频获得点赞．欧洲某中餐馆决定在餐厅售卖麻辣烫，该中餐馆通过中国美食协会共获得两种不同地方特色麻辣烫配方(分别称为A配方和B配方)，并按这两种配方制作售卖．由于不熟悉当地居民是否能吃辣，故按照麻辣程度定义了每碗麻辣烫的麻辣值(麻辣值越大表明越麻辣)，得到下面第一天的售卖结果： A配方的售卖频数分布表 麻辣值分组 [80，84) [84，88) [88，92) [92，96) [96，100] 频数 10 20 42 18 10 B配方的售卖频数分布表 麻辣值分组 [80，84) [84，88) [88，92) [92，96) [96，100] 频数 18 22 38 12 10 定义本餐厅麻辣烫的“麻辣度指数”如下表： 麻辣值 [80，88) [88，96) [96，100] 麻辣度指数 3 4 5 (1)试分别估计第一天A配方，B配方售卖的麻辣烫的麻辣值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，并比较大小； (2)用样本估计总体，将频率视为概率，从当地同时吃过两种配方麻辣烫的消费者中随机抽取1人进行调查，试估计其评价A配方的“麻辣度指数”比B配方的“麻辣度指数”高的概率． 21.(12分)(2023·厦门二检) 已知函数f(x)＝aex－x－a(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：对任意a∈(0，1)，存在正数b使得aeb＝a＋b.且2ln a＋b＜0. 22.(12分)(2023·梅州二模)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2且双曲线E经过点A(，2)． (1)求双曲线E的方程； (2)过点P(2，1)作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足＝，求证：点H恒在一条定直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名校优化重组测试卷(一) 1．C　解不等式x2－2x－3＞0，得x＜－1或x＞3；解不等式lg(x＋1)≤1，得0＜x＋1≤10，解得－1＜x≤9.∴A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－1＜x≤9}，则∁RA＝{x|－1≤x≤3}，因此(∁RA)∩B＝{x|－1＜x≤3}．故选C. 2．A　设z＝a＋bi(a，b为实数)，则z－2i＝a＋(b－2)i，由|z－2i|＝|z|，可得＝，解得b＝1，故z的虚部为1.故选A. 3．C　不妨设正方体的边长为2a，球O的半径为R，则圆柱的底面半径为a， 因为正方体的体对角线即为球O直径，故2R＝2a， 利用勾股定理得：62＋a2＝R2＝3a2，解得a2＝18，球的表面积为S＝4πR2＝4π×3×18＝216π， 故选C. 4．D　a＝log23>log22＝，c3＝2<＝， 所以c<，由于35<28，所以5log23<8， 即log23<＝1.6，而b＝3＝>1.7， 所以c<a<b，故选D. 5．A　由题意得tan(α＋)＝＝＝＝＝tan(＋)，因为α，β∈(0，)，所以＋∈(，)，α＋∈(，)，所以α＋＝＋，即2α＝β.故选A. 6．D　因为f(－x)＝(－x)2ln|－x|－2＝x2ln|x|－2＝f(x)，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，所以f(x)是偶函数，排除B.因为f(1)＝－2＜0，f(2)＝4ln 2－2＝2(ln 4－1)＞0，排除A，C.故选D. 7．D　依题意，|a＋b|＝5与|a－b|＝5至少有一个是成立的，若|a|＝1与|b|＝3都成立，则|a|＋|b|＝4，而|a|＋|b|≥|a＋b|＝5，矛盾，即|a|＝1与|b|＝3中有一个条件不成立，因此，|a＋b|＝5与|a－b|＝5都是成立的，于是有则a·b＝0，即a⊥b，所以a与b的夹角为.故选D. 8．D　由题意知抛物线E的焦点为F(，0)，AB∥x轴， 将y＝2p代入y2＝2px得x＝2p，则B(2p，2p)，由题意可知B，F，C三点共线，所以直线BC的方程为y＝(x－)，即y＝(x－)， 代入抛物线E的方程消去y得，8x2－17px＋2p2＝0， 设该方程的两根为x1，x2， 则x1＋x2＝， 则|BC|＝x1＋x2＋p＝＋p＝， 又点A(8，2p)到直线BC：4x－3y－2p＝0的距离d＝＝， 由S△ABC＝，得|BC|·d＝， 即p·＝15，解得p＝3或p＝1(舍去)．故选D. 9．BD　因为n＋1＝13，所以n＝12，所有奇数项的二项式系数和为211，故A错误； 令x＝1，得所有项的系数和为312，故B正确； 由二项式系数的性质可知，二项式系数最大的项为第7项，故C错误； 因为(2x＋)12展开式通项为Tk＋1＝C·(2x)12－k·(x－)k＝212－kCx12－k， 当12－k为整数时为有理项，k＝0，3，6，9，12，共有5项．故D正确．故选BD. 10．ABC　A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为6%×25%＝1.5%，正确；B：由题设，任取一个零件是次品的概率为6%×25%＋5%×30%＋5%×45%＝5.25%，正确； C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为＝，正确； D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为＝，错误．故选ABC. 11．ACD　设椭圆半焦距为c，则F1(－c，0)，F2(c，0)，由tan∠BF1F2＝得b＝c，a＝4c，椭圆C：＋＝1，B(0，c)，而＝2，则点Q(，)，对于A，椭圆C的离心率e＝＝，A正确； 对于B，设K(x0，y0)，即有y＝15c2－x，·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝x＋y－c2＝x＋14c2＞0， 即∠F1KF2为锐角，B不正确； 对于C，直线PF1的斜率k＝＝，C正确； 对于D，直线BF1的方程为x－y＋c＝0，点Q到直线BF1的距离d＝＝，即点Q到直线F1B与F1F2的距离相等， 则PF1平分∠BF1F2，D正确．故选ACD. 12．AC　由f(0)＝2sin φ＝1，得sin φ＝， 又0＜φ＜，所以φ＝，故A正确； f(x)＝2sin(ωx＋)， 由f()＝2sin(ω＋)＝－2， 得sin(ω＋)＝－1， 所以ω＋＝－＋2kπ，k∈Z， 所以ω＝－1＋3k，k∈Z， 因为0＜ω＜3，所以ω＝2， 所以f(x)＝2sin(2x＋)， 当x∈(0，)时，2x＋∈(，)， 所以f(x)在(0，)上不单调，故B错误； f(x＋)＝2sin(2x＋)＝2cos 2x，是偶函数，故C正确； f′(x)＝4cos(2x＋)， 则f(x)＋f′(x)＝2sin(2x＋)＋4cos(2x＋) ＝2sin(2x＋＋θ)≤2， 其中tan θ＝2，当且仅当sin(2x＋＋θ)＝1时，取等号，故D错误．故选AC. 13．解析：设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝R2， 和直线相切可以得：R＝|a－1|＝|b－1|， 和圆相切得：＝R＋1或＝|R－1|， 若a＝2，则b＝0，R＝1， 此时圆的方程：(x－2)2＋y2＝1. 故答案为：(x－2)2＋y2＝1(答案不唯一，只需满足与直线x＝1，y＝1，和圆x2＋y2＝1都相切即可)． 答案：(x－2)2＋y2＝1(答案不唯一，只需满足与直线x＝1，y＝1，和圆x2＋y2＝1都相切即可) 14．解析：记A＝“稿件能通过两位初审专家的评审”；B＝“稿件恰能通过一位初审专家的评审”；C＝“稿件能通过复审专家的评审”；D＝“稿件被录用”，则D＝A＋BC，P(A)＝×＝，P(B)＝2××＝，P(C)＝，所以P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝＋×＝. 答案： 15．解析：由g(x＋1)为偶函数，得函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，则有g(－x)＝g(2＋x)；由函数g(x＋2)为奇函数，得函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，则有－g(－x)＝g(4＋x)，所以g(4＋x)＝－g(x＋2)，设t＝x＋2，则g(t＋2)＝－g(t)，从而函数g(x)是周期为4的函数．又由函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，可得g(1)＋g(3)＝0且g(2)＝0，由g(2)＝－g(0)＝0可得g(0)＝0，所以g(4)＝0，因为g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，所以g(k)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(2023)＝505×[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝505×0＋0＝0. 答案：0 16．解析：(1)∵f(x)＝sin x， ∴f′(x)＝cos x，令f(x)＝f′(x)，即sin x＝cos x， 得tan x＝1，∵x∈(0，π)，解得x＝， 所以，函数y＝f(x)在(0，π)上的“新驻点”为. (2)∵g(x)＝ln(x＋1)，h(x)＝x＋ex，则g′(x)＝，h′(x)＝1＋ex，令φ(x)＝ln(x＋1)－，则φ′(x)＝＋＞0对任意的x∈(－1，＋∞)恒成立，∴函数φ(x)＝ln(x＋1)－在定义域(－1，＋∞)上为增函数，∵φ(0)＝－1＜0，φ(1)＝ln 2－＝ln 2－ln＞0，由零点存在可得α∈(0，1)，令h(x)＝h′(x)，可得x＝1，即β＝1，所以α＜β. 答案：(1)　(2)α＜β 17．解：(1)∵4Sn＝a＋2an①， ∴当n≥2时，4Sn－1＝a＋2an－1②， ①－②得4an＝a＋2an－(a＋2an－1)， 整理得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0， ∵an＞0，∴an－an－1＝2， 又当n＝1时，4a1＝4S1＝a＋2a1，解得a1＝2， ∴数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴an＝2n. (2)证明：由(1)得bn＝ ＝－＝－， ∴Tn＝－＋－＋…＋－＝－， ∵4n＋1＞1，即＞0 ∴Tn＜. 18．解：(1)由余弦定理可得b2＝c2＋a2－2accos B， 代入b2－a2＝2c2，得到(c2＋a2－2accos B)－a2＝2c2，化简得c2＋2accos B＝0，由c≠0，即c＋2acos B＝0.由正弦定理可得sin C＋2sin Acos B＝0，且C＝π－(A＋B)， 即sin(A＋B)＋2sin Acos B＝0，展开得 sin Acos B＋cos Asin B＋2sin Acos B＝0， 即3sin Acos B＝－cos Asin B，所以＝－3. (2)由b2－a2＝2c2得c2＝， 故cos C＝＝＝＝＋≥2 ＝， 当且仅当b2＝3a2，即b＝a时等号成立． 因为C∈(0，π)，所以C≤，所以C的最大值为. 19．解：(1)证明：∵PA＝PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD， ∴PO⊥BC. (2)由AB＝8，AD＝DC＝CB＝4， 可知ABCD四边形为等腰梯形， 易知BD＝4， ∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD 建立如图所示的空间直角坐标系， P(0，0，2)，A(2，0，0)，B(－2，4，0)，C(－4，2，0)，D(－2，0，0)， 平面ABCD的法向量为n＝(0，0，1)， 设E＝(x，y，z)，则＝(x－2，y，z)， ＝(x，y，z－2)，＝(－2，4，－2)， ∵直线AE与平面ABCD所成角为， ∴sin＝＝＝， ∴x2－4x＋4＋y2－3z2＝0，　① ∵点E在棱PB上，∴＝λ(0<λ<1)， 即(x，y，z－2)＝λ(－2，4，－2)， ∴x＝－2λ，y＝4λ，z＝2－2λ代入①解得λ＝或λ＝5(舍去)． ＝(－1，2，－)，＝(－2，0，－2)， ＝(－4，2，－2)， 设平面PCD的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 令z1＝1 ，得x1＝－，y1＝－ ， ∴m＝(－，－，1) ， 所以点E到平面PCD的距离 d＝＝＝2＝. 20．解：(1)估计A配方售卖的麻辣烫的麻辣值的平均数为×(82×10＋86×20＋90×42＋94×18＋98×10)＝89.92， 估计B配方售卖的麻辣烫的麻辣值的平均数为×(82×18＋86×22＋90×38＋94×12＋98×10)＝88.96， 因为89.92＞88.96， 所以A配方的麻辣烫的麻辣值的平均数大于B配方的麻辣烫的麻辣值的平均数． (2)设“其评价A配方的‘麻辣度指数’比B配方的‘麻辣度指数’高”为事件C，记“其评价A配方的‘麻辣度指数’为4”为事件A1，“其评价A配方的‘麻辣度指数’为5”为事件A2， “其评价B配方的‘麻辣度指数’为3”为事件B0，“其评价B配方的‘麻辣度指数’为4”为事件B1， 则P(A1)＝＝0.6，P(A2)＝＝0.1， P(B0)＝＝0.4，P(B1)＝＝0.5. 因为事件Ai与Bj相互独立，其中i＝1，2，j＝0，1. 所以P(C)＝P(A1B0＋A2B0＋A2B1)＝P(A1B0)＋P(A2B0)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B0)＋P(A2)P(B0)＋P(A2)P(B1)＝0.6×0.4＋0.1×0.4＋0.1×0.5＝0.33. 所以其评价A配方的“麻辣度指数”比B配方的“麻辣度指数”高的概率为0.33. 21．解：(1)f′(x)＝aex－1， 当a≤0，则f′(x)<0，则函数f(x)在R上单调递减， 若a>0，令f′(x)＝0，得x＝－ln a， 当x<－ln a，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x>－ln a时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 综上可知，当a≤0，函数f(x)在R上单调递减，当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)可知，当0<a<1时，－ln a>0，且f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增， 因为f(0)＝0，所以f(－ln a)<0， 因为f(－2ln a)＝＋2ln a－a， 设h(x)＝＋2ln x－x(0<x≤1)， h′(x)＝－＋－1＝－≤0， 所以h(x)在(0，1)上单调递减， 所以h(x)>h(1)＝0，即f(－2ln a)>0， 由零点存在性定理知∃x0∈(－ln a，－2ln a)，使得f(x0)＝0， 取b＝x0，则aeb＝a＋b，且2ln a＋b<0. 22．解：(1)因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝， 由双曲线的定义可得2a＝||AF1|－|AF2||＝＝4－2＝2， 所以a＝1，则b＝＝＝， 因此，双曲线E的方程为x2－＝1. (2)证明：设点H(x，y)，M(x1，y1)， N(x2，y2)，则可得 设＝＝λ，则 其中λ≠1， 即 整理可得 所以，x－λ2x＝2(1－λ2)x，y－λ2y＝(1－λ2)y， 将代入y－λ2y＝(1－λ2)y可得2[x－λ2x－(1－λ2)]＝(1－λ2)y， 将x－λ2x＝2(1－λ2)x代入2[x－λ2x－(1－λ2)]＝(1－λ2)y可得 2[(1－λ2)2x－(1－λ2)]＝(1－λ2)y，即4x－y－2＝0， 所以，点H恒在直线4x－y－2＝0上． 学科网（北京）股份有限公司 $$