【高考领航】2025年高考数学(文科)模拟试题精编卷(2)

高考文科数学模拟试题精编(二) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U＝{x∈Z|0≤x≤4}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{0，2，4}，则∁U(A∩B)＝(　　) A．{1，3} B．{0，1，3} C．{0，4} D．{0，1，2，3，4} 2．在复平面内，复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最大值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 4．下列关于函数f(x)＝2sin (x－)的说法中，正确的是(　　) A．函数f(x－)是奇函数 B．其图象关于直线x＝对称 C．其图象关于点(，0)对称 D．函数f(x)在区间(－，)上单调递增 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　) A．y＝(x－1)f(x－1) B．y＝(x＋1)f(x＋1) C．y＝xf(x)＋1 D．y＝xf(x)－1 6．已知[x]表示不超过x的最大整数，如[2.7]＝2，[－1.6]＝－2，执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是(　　) A．31 B．34 C．35 D．38 7.四色定理，又称四色猜想，是世界三大数学猜想之一.1976年数学家借助计算机证明了四色定理．四色定理的内容是：任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丢失．若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的所有概率可能值中，最大的一个是(　　) A． B． C． D． 8.商后母戊鼎(也称司母戊鼎)是迄今世界上出土最大、最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉．某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品，已知工艺品四足均为圆柱形，圆柱的高为20 cm，底面半径为4 cm，中间容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器，该长方体壁厚3 cm，外面部分的长、宽、高的尺寸分别为50 cm，35 cm，30 cm，两耳的总体积与其中一足的体积近似相等，则该工艺品所耗费原材料的体积约为(　　) A．(1600π＋18 048)cm3 B．(1600π＋20 080)cm3 C．(1800π＋18 048)cm3 D．(1800π＋20 080)cm3 9．为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某一天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45°的方向航行了60海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的方向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC为(　　) A．10 海里 B．30 海里 C．40 海里 D．60 海里 10．已知正实数x，y满足x≠1，y≠1，xy＝yx，logyx＋＝，则x＋y＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，△PF1F2的面积为3b2，tan ∠PF1F2＝，则该双曲线的离心率e为(　　) A． B． C． D． 12．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x－sin x，若存在x1，x2∈[1，π](x1≠x2)，使得|f(x1)－f(x2)|＜k|g(x1)－g(x2)|成立，则实数k的取值范围是(　　) A．(，) B．(0，) C．(，＋∞) D．(，＋∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若向量m＝(2k，k＋1)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝________． 14．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且△ABF是等腰三角形，则椭圆C的离心率为________． 15．曲线y＝x3－3x的一条切线的方程为y＝ax＋16，则实数a＝________． 16．交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、最大限速、停车距离有关．经过安全数据统计，驾驶员反应距离s1(单位：m)关于车速v(单位：m/s)的函数模型为s1＝0.758 4v，刹车距离s2(单位：m)关于车速v(单位：m/s)的函数模型为s2＝0.072v2，反应距离与刹车距离之和称为停车距离．某个十字路口标示小汽车最大限速为50 km/h(约14 m/s)，路口宽度为30 m，如果只考虑小汽车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速下，离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口的时间，那么黄灯至少要亮________s(保留两位有效数字). 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)已知{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，a1＝1，an＋1＝xan＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n，求数列{bn}的前10项和S10. 18．(12分)某银行对某市最近7年住房贷款发放情况进行了统计调查，得到如下数据： 年份x 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 住房贷款y/亿元 20 40 50 60 70 80 100 将上表数据进行处理(令t＝x－2015，z＝)，得到如下数据： t 1 2 3 4 5 6 7 z 0 2 3 4 5 6 8 (1)试求z与t的线性回归方程＝t＋；(，用分数表示) (2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2025年住房贷款发放数额．(结果精确到整数位) 参考公式：回归方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝＝，＝－. 19.(12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M为棱AA1的中点，BM∩平面A1B1C1＝N. (1)试确定点N的位置，并证明C1N∥平面B1CM； (2)若△ABC是等边三角形，AB＝AA1＝2，∠AA1B1＝60°，且平面ABC⊥平面ABB1A1，求四面体A1MNC1的体积． 20．(12分)已知直线l与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，M是线段AB的中点． (1)若直线AB的斜率为1，求点M的横坐标； (2)若|AB|＝8，求点M纵坐标的最小值． 21．(12分)已知函数f(x)＝x＋－(a－2)·ln x(a∈R)，g(x)＝(b－1)x－－xex. (1)判断函数f(x)的单调性； (2)当a＝1时，关于x的不等式f(x)＋g(x)≤－1恒成立，求实数b的取值范围． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝. (1)若α＝，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)设点P在直角坐标系下的坐标为(0，1)，直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝4，求直线l的倾斜角． 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知a，b，c均为正数，且满足2a＋3b＋4c＝9. (1)证明：(a＋1)(b＋1)(c＋1)≤9； (2)证明：4a2＋9b2＋16c2≥27. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考文科数学模拟试题精编(二) 1．B　因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{0，2，4}，所以A∩B＝{2，4}，又全集U＝{x∈Z|0≤x≤4}＝{0，1，2，3，4}，所以∁U(A∩B)＝{0，1，3}，故选B. 2．C　＝＝－－i，其在复平面内对应的点为(－，－)，位于第三象限，故选C. 3．A　画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z＝2x＋y可化为y＝－2x＋z，所以z的几何意义是斜率为－2的直线在y轴上的截距，画出直线y＝－2x，并平移，可知当平移后的直线过点B(2，1)时，直线在y轴上的截距最大，即目标函数z取得最大值，此时z＝2×2＋1＝5，即目标函数的最大值为5，故选A. 4．C　解法一：对于A，f(x－)＝2sin (x－－)＝2sin (x－)＝－2cos x，为偶函数，故A不正确；对于B，令x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋kπ(k∈Z)，所以直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故B不正确；对于C，令x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以函数f(x)的图象关于点(，0)对称，故C正确；对于D，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以函数f(x)在(－，)上有增有减，故D不正确．故选C. 解法二：对于A，f(x－)＝2sin (x－－)＝2sin (x－)＝－2cos x，为偶函数，故A不正确；对于B，因为f()＝2sin (－)＝2sin ＝≠2，所以直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故B不正确；对于C，因为f()＝2sin (－)＝2sin 0＝0，所以函数f(x)的图象关于点(，0)对称，故C正确；对于D，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以函数f(x)在(－，)上有增有减，故D不正确．故选C. 5．B　设g(x)＝xf(x)，因为f(x)为偶函数，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，其图象关于点(0，0)对称．对于A中函数，其图象由y＝g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，其图象关于点(1，0)成中心对称；对于B中函数，其图象由y＝g(x)的图象向左平移1个单位长度得到，其图象一定关于点(－1，0)成中心对称；对于C中函数，其图象由y＝g(x)的图象向上平移1个单位长度得到，其图象关于点(0，1)成中心对称；对于D中函数，其图象由y＝g(x)的图象向下平移1个单位长度得到，其图象关于点(0，－1)成中心对称．故选B. 6．B　根据[x]的意义可得，当1≤n＜4时，[]＝1，当4≤n＜9时，[]＝2，当9≤n＜16时，[]＝3，…，执行程序框图，则输出的S＝1×3＋2×5＋3×7＝34，故选B. 7．C　由题意可知，题图中共有小正方形30个，若求取在标记为1的区域的概率的最大值，则区域A(1个小正方形)标记为2，区域B(8个小正方形)标记为1即可满足题意，此时，标记为1的区域的小正方形的个数为10，所以恰好取在标记为1的区域的所有概率可能值中，最大的一个是＝. 8．A　该工艺品的体积可分为三部分：工艺品四足的体积为4×42×20π＝1280π(cm3)，工艺品两耳的体积为42×20π＝320π(cm3)，工艺品中间容器部分的体积为50×35×30－(30－3)×(50－6)×(35－6)＝18 048(cm3).所以该工艺品所耗费原材料的体积约为1280π＋320π＋18 048＝(1600π＋18 048)(cm3).故选A. 9．D　如图，由题意可知，在△ABC中，∠BAC＝30°＋15°＝45°，∠ABC＝75°＋45°＝120°，BC＝60海里，由正弦定理＝，可得＝，所以AC＝60××＝60(海里)，故选D. 10．C　由xy＝yx，得y lg x＝x lg y，即＝.由logyx＋＝，得＋＝，所以＋＝，解得＝或＝2.当＝时，＝2，即x＝y2， 联立方程组，解得，所以x＋y＝6；当＝2时，＝，即y＝x2，联立方程组， 解得，所以x＋y＝6.综上，x＋y＝6，故选C. 11．A　设|PF1|＝m，则|PF2|＝m－2a，设∠PF1F2＝θ(θ∈(0，))，由|F1F2|＝2c，△PF1F2的面积为3b2，得m×2c×sin θ＝3b2，所以m＝.在△PF1F2中，由余弦定理得(m－2a)2＝m2＋4c2－2m×2c×cos θ，化简得m(c cos θ－a)＝b2，则(c cos θ－a)＝b2，得＝cos θ－.由tan θ＝及0＜θ＜，得sin θ＝，cos θ＝，所以＝－×＝，则e＝，故选A. 12．C　易知f(x)，g(x)在[1，π]上均单调递增，且f(x)≥0，g(x)＞0.不妨设1≤x2＜x1≤π，则|f(x1)－f(x2)|＜k|g(x1)－g(x2)|⇒f(x1)－f(x2)＜k[g(x1)－g(x2)]⇒f(x1)－kg(x1)＜f(x2)－kg(x2)，设h(x)＝f(x)－kg(x)＝ln x－k(x－sin x)，因为存在x1，x2∈[1，π]，使得|f(x1)－f(x2)|＜k|g(x1)－g(x2)|成立，即h(x1)＜h(x2)成立，所以h(x)在[1，π]上存在单调递减区间，即h′(x)＜0在[1，π]内有解．h′(x)＝－k(1－cos x)，令h′(x)＝－k(1－cos x)＜0，则＜k(1－cos x)，由于当x∈[1，π]时，1－cos x＞0，因此可转化为k＞在[1，π]内有解，即k＞[]min(x∈[1，π]).又y＝x(1－cos x)在[1，π]上单调递增， 所以当x∈[1，π]时，[]min＝，所以k＞，故选C. 13．解析：因为向量m与向量n共线，所以2k＝4(k＋1)，解得k＝－2.所以m＝(－4，－1)，所以m·n＝－4×4＋(－1)×1＝－17. 答案：－17 14．解析：显然|AB|＞|BF|，|AF|＞|BF|，故|AB|＝|AF|，即＝a＋c， 即2a2－c2＝a2＋c2＋2ac，即2c2＋2ac－a2＝0，故2e2＋2e－1＝0，解得e＝(舍去负根). 答案： 15．解析：设切点为(x0，y0)，f(x)＝y＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3.因为切线y＝ax＋16的斜率为a，所以f′(x0)＝3x－3＝a，又y0＝x－3x0，所以(3x－3)x0＋16＝x－3x0，解得x0＝－2，所以a＝3×(－2)2－3＝9. 答案：9 16．解析：因为黄灯亮的时间是允许最大限速下，离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口的时间，停车距离为(s1＋s2)m，路口宽度为30 m，小汽车的最大限速为50 km/h(约14 m/s)，所以黄灯至少要亮＝≈3.9(s). 答案：3.9 17．解：(1)因为an＋1＝xan＋1(x≠0)， 所以an＋2＝xan＋1＋1(x≠0)， 两式相减可得d＝xd， 因为d≠0，所以x＝1，则an＋1＝an＋1，所以d＝1. 因为a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n. (2)因为an＝n，bn＝(－1)n， 所以bn＝(－1)n＝(－1)n(＋)， 则S10＝(－1－)＋(＋)＋(－－)＋(＋)＋…＋(＋)＝－1＋＝－. 18．解：(1)数据处理结果如下． t 1 2 3 4 5 6 7 ＝4 z 0 2 3 4 5 6 8 ＝4 ti－ －3 －2 －1 0 1 2 3 zi－ －4 －2 －1 0 1 2 4 (ti－)·(zi－) 12 4 1 0 1 4 12 (ti－) (zi－)＝34 (ti－)2 9 4 1 0 1 4 9 (ti－)2＝28 因为＝4，＝4， (ti－)(zi－)＝34， (ti－)2＝28， 所以＝＝＝， ＝－＝4－×4＝－， 故z＝t－. (2)当x＝2025时，t＝10， 所以z＝×10－＝. 因为z＝＝， 所以y＝≈133. 故估计2025年住房贷款发放数额为133亿元． 19．解：(1)证明：如图，延长BM，交B1A1的延长线于点N. ∵N∈直线A1B1，A1B1⊂平面A1B1C1， ∴N∈平面A1B1C1. 又N∈直线BM， ∴点N即为所求． 连接C1N，连接C1B交直线B1C于点O，连接OM. ∵A1M∥B1B，∴△NA1M∽△NB1B. 又M为线段AA1的中点， ∴＝＝，即M为线段NB的中点． 在三棱柱ABC­A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形， ∴O为线段C1B的中点， ∴OM为△BNC1的中位线，∴C1N∥OM. 又OM⊂平面B1CM，C1N⊄平面B1CM， ∴C1N∥平面B1CM. (2)取线段A1B1的中点为G，连接C1G，C1M. 由条件知，△A1B1C1为等边三角形， ∴C1G⊥A1B1，且C1G＝. ∵平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，平面A1B1C1∩平面ABB1A1＝A1B1，C1G⊂平面A1B1C1， ∴C1G⊥平面A1B1BA，即C1G是三棱锥C1­A1MN的高． ∵∠AA1B1＝60°，∴∠NA1M＝120°. 由(1)知，NA1＝A1B1＝2，A1M＝AA1＝1， ∴S△NA1M＝×2×1×sin 120°＝， ∴四面体A1MNC1的体积V＝·S△NA1M·C1G＝××＝. 20．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则kAB＝＝＝＝. 由直线AB的斜率为1，得＝1， ∴x0＝2，即点M的横坐标为2. (2)设直线l的方程为y＝kx＋b，由，得x2－4kx－4b＝0， 由Δ＝(－4k)2－4×(－4b)＞0， 得k2＋b＞0，① 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， 由|AB|＝8，得 |AB|＝ ＝ ＝4＝8， ∴(1＋k2)(k2＋b)＝4.② 由x1＋x2＝4k，得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝4k2＋2b， 故点M的坐标为(2k，2k2＋b)， 由①②得2k2＋b＝(k2＋1)＋(k2＋b)－1≥2－1＝3，当且仅当1＋k2＝k2＋b，即b＝1时取等号， 故点M纵坐标的最小值为3. 21．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1－－＝＝， 若a≤0，则f′(x)＞0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a＞0，则当0＜x＜a时，f′(x)＜0，f(x)在(0，a)上单调递减； 当x＞a时，f′(x)＞0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． (2)当a＝1时，f(x)＋g(x)＝bx＋ln x－xex，f(x)＋g(x)≤－1恒成立，即b≤ex－－在(0，＋∞)上恒成立． 令h(x)＝ex－－，则h′(x)＝ex－＋＝， 令u(x)＝x2ex＋ln x，则u′(x)＝(x2＋2x)ex＋＞0(x＞0)，所以u(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又u(1)＝e＞0，u()＝－ln 2＜0，所以u(x)在(，1)上有唯一的零点x0. 当x∈(0，x0)时，u(x)＜0，则h′(x)＜0，所以h(x)在(0，x0)上单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，u(x)＞0，则h′(x)＞0，所以h(x)在(x0，＋∞)上单调递增． 所以h(x)min＝h(x0)＝ex0－－. 由u(x0)＝0，得x0ex0＝－. 令k(x)＝xex，x∈(，1)，则x0ex0＝－，即k(x0)＝k(－ln x0)， 又易知k(x)在(，1)上单调递增，所以x0＝－ln x0，即ex0＝， 所以h(x)min＝h(x0)＝ex0－－＝－－＝1. 所以b≤1，即实数b的取值范围是(－∞，1]. 22．解：(1)当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)， 所以直线l的普通方程为x－y＋＝0. 因为ρ＝，所以ρ＝，所以ρ2cos2θ＝2ρsinθ， 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝2y(x≠0). (2)显然点P在直线l上． 将代入x2＝2y(x≠0)中， 得t2cos2α－2t sinα－2＝0. 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝. 因为|PA|·|PB|＝4，所以|t1t2|＝＝4，所以cosα＝±， 因为α∈[0，π)，所以α＝或α＝， 所以直线l的倾斜角为或. 23．证明：(1)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝≤()3＝×216＝9，当且仅当a＝2，b＝1，c＝时等号成立， 即(a＋1)(b＋1)(c＋1)≤9得证． (2)由柯西不等式得， (4a2＋9b2＋16c2)(1＋1＋1)≥(2a＋3b＋4c)2＝81， 故4a2＋9b2＋16c2≥27， 当且仅当a＝，b＝1，c＝时等号成立， 即4a2＋9b2＋16c2≥27得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$