【高考领航】2025年高考数学模拟试题精编卷（新课标）(7)

高考数学模拟试题精编(七) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A＝{x|log2(x－1)≤1}，B＝，则A∩B＝(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，3] 2．已知α，β∈(0，π)且tan α＝，cos β＝－，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． 3．已知某种垃圾的分解率为v，与时间t(月)满足函数关系式v＝abt(其中a，b为非零常数)，若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过(参数数据：lg 2≈0.3)(　　) A．48个月 B．52个月 C．64个月 D．120个月 4．函数f(x)＝＋sin 2x的图象的大致形状是(　　) 5．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝2，则以下结论错误的是(　　) 　 甲　　　　　　乙　 A．＋＋＝0 B．·＝－2 C．|＋|＝4 D．|＋|＝4＋2 6．已知正实数a，b满足ab＋2a－2＝0，则4a＋b的最小值是(　　) A．2 B．4－2 C．4－2 D．6 7．从编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为(　　) A． B． C． D． 8．若函数f(x)＝ex＋x3－2x2－ax，则a＞e是f(x)在(0，＋∞)上有两个不同零点的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，是z的共轭复数，则下列命题中的真命题是(　　) A．z＋∈R B．z－∈R C．z·∈R D．∈R 10．某市组织2023年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛．比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2022年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组．已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件M1，“乙队分在第一小组”为事件M2，“甲、乙两队分在同一小组”为事件M3，则(　　) A．P(M1)＝ B．P(M3)＝ C．P(M1)＋P(M2)＝P(M3) D．事件M1与事件M3相互独立 11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在C上，则下列说法正确的是(　　) A．若点P(2，1)，则△PAF的周长的最小值为3＋ B．若点P(m，2)是C上的一点，且＋＝，则|AF|，|FP|，|BF|成等差数列 C．若A，F，B三点共线，则y1y2＝－2 D．若|AB|＝8，则AB的中点到y轴距离的最小值为3 12.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是(　　) A．若D1Q∥平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段 B．存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD C．当且仅当Q点落在棱CC1上某处时，三棱锥Q­A1PD的体积最大 D．若D1Q＝，那么Q点的轨迹长度为π 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在二项式的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数a＝________． 14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式f(x)＝________． ①f(x)的最大值为2； ②∀x∈R，f(2－x)＝f(x)； ③f(x)是周期函数． 15．在一次社团活动中，甲、乙两人进行象棋比赛，规定每局比赛胜的一方得3分，负的一方得1分(假设没有平局).已知甲胜乙的概率为0.6，若甲、乙两人比赛两局，且两局比赛结果互不影响，设两局比赛结束后甲的得分为ξ，则E(ξ)＝________． 16．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(x3＋1)为奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝ax＋b.若f(4)＝1，则 ＝________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a－c＝2b cos C． (1)求B； (2)A的角平分线与C的角平分线相交于点D，AD＝3，CD＝5，求AC和BD. 18．(本小题满分12分)已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn＝a＋2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜1. 19．(本小题满分12分)如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，AN∥BM，AN＝AB＝BC＝2，BM＝4，CN＝2. (1)证明：BM⊥平面ABCD； (2)在线段CM(不含端点)上是否存在一点E，使得二面角E­BN­M的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20．(本小题满分12分)人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策．某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表． 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/万件 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：＝x2＋. (1)根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程(的值精确到0.1)； (2)已知该公司的月利润z(单位：万元)与x，y的关系为z＝24－，根据(1)的结果，该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 21．(本小题满分12分)已知f(x)＝ln x＋ax＋1(a∈R)，f′(x)为f(x)的导函数． (1)若对任意x＞0都有f(x)≤0，求a的取值范围； (2)若0＜x1＜x2，证明：对任意常数a，存在唯一的x0∈(x1，x2)，使得f′(x0)＝成立． 22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，其右焦点为F(，0)，点M在圆x2＋y2＝b2上但不在y轴上，过点M作圆的切线交椭圆于P，Q两点，当点M在x轴上时，|PQ|＝. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当点M在圆上运动时，试探究△FPQ周长的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考数学模拟试题精编(七) 1．C　由题意，集合A＝＝{x|0＜x－1≤2}＝{x|1＜x≤3}．集合B＝＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选C. 2．B　因为α∈(0，π)，且tan α＝，所以α∈， 则sin α＝，cos α＝，又β∈(0，π)， 且cos β＝－，所以β∈，则sin β＝， 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 因为α＋β∈，所以α＋β＝.故选B. 3．B　由题意，得解得 所以v(t)＝0.05×，令v(t)＝1，得(2)t＝20，两边同时取对数，得t＝log220＝＝≈＝52.故选B. 4．B　∵函数的定义域为R，f(－x)＝＋sin (－2x)＝－－sin 2x＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项C；当x→＋∞时，→＋∞，sin 2x∈[－1，1]，则f(x)＝＋sin 2x→＋∞，排除选项A；又f＝＋sin ＝＋1，f＝＋sin π＝，显然f＞f，则排除选项D.故选B. 5．D　建立如图所示的平面直角坐标系．因为图形ABCDEFGH为正八边形，所以∠AOH＝＝45°.过点A作AM⊥HD，垂足为M，则OM＝AM.因为OA＝2，所以OM＝AM＝，所以A(－，－).同理可得其余各点坐标，B(0，－2)，E(，)，G(－，)，D(2，0)，H(－2，0).对于A，＋＋＝(0＋＋(－)，－2＋＋)＝0，故A选项正确；对于B，·＝(－)×2＋(－)×0＝－2，故B选项正确；对于C，＝(－2＋，)，＝(－2－，－)，＋＝(－4，0)，所以|＋|＝＝4，故C选项正确；对于D，＝(－2＋，)，＝(－2＋，－)，＋＝(－4＋2，0)所以|＋|＝＝4－2，故D选项错误．故选D. 6．B　由ab＋2a－2＝0，得a＝，所以4a＋b＝＋b＝＋(b＋2)－2≥2 －2＝4－2，当且仅当a＝，＝b＋2，即a＝，b＝2－2取等号．故选B. 7．A　随机取出三个小球共有C＝35(种)情况，任意两个小球编号都不相邻的基本事件有(1，3，5)，(1，3，6)，(1，3，7)，(1，4，6)，(1，4，7)，(1，5，7)，(2，4，6)，(2，4，7)，(2，5，7)，(3，5，7)，共有10种，故所求概率p＝＝.故选A. 8．A　依题意，f(x)＝ex＋x3－2x2－ax在(0，＋∞)上有两个不同零点，所以a＝＋x2－2x在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根．设g(x)＝＋x2－2x，则g′(x)＝＋2x－2＝(x－1)，当0＜x＜1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，1)上单调递减；当x＞1时，g′(x)＞0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＞0时，g(x)min＝g(1)＝e－1，所以当a＞e－1时方程g(x)＝a有两个不等实根，所以a＞e是f(x)在(0，＋∞)上有两个不同零点的充分不必要条件．故选A. 　9.AC　10.ABD　11.ABD　12.ACD 9．AC　因为复数z＝a＋bi，则＝a－bi，b≠0，对于A，z＋＝2a∈R，故A正确；对于B，z－＝2bi为纯虚数，故B不正确；对于C，z·＝a2－(bi)2＝a2＋b2∈R，故C正确；对于D，＝＝＝－i，所以当且仅当2ab＝0，即b＝0时，∈R，故D不正确．综上所述，故选AC. 10．ABD　对于A，甲队被分在第一小组、第二小组为等可能事件，所以P(M1)＝，故A正确；对于B，将8支球队分为两组有C＝70(种)分法，其中甲、乙两队分在同一小组共有CA＝30(种)分法，所以P(M3)＝＝，故B正确；对于C，因为乙队被分在第一小组、第二小组也为等可能事件，所以P(M2)＝，所以P(M1)＋P(M2)＝1≠P(M3)，故C不正确；对于D，因为P(M1M3)＝＝，P(M1)·P(M3)＝×＝，所以P(M1M3)＝P(M1)·P(M3)，所以事件M1与事件M3相互独立，故D正确．综上所述，故选ABD. 11．ABD　由题意知F(1，0)，抛物线C的准线为l：x＝－1.对于A，如图，过点A作AA′⊥l于点A′，则由抛物线的定义，得|AF|＝|AA′|，所以|PA|＋|AF|＋|PF|＝|PA|＋|AA′|＋≥2－(－1)＋＝3＋，当且仅当点P，A，A′三点共线时，等号成立，所以△PAF周长的最小值为3＋，故A正确；对于B，将y＝2代入y2＝4x，解得x＝1，即m＝1，所以P(1，2)，所以|FP|＝2.因为＝(1－x1，－y1)，＝(0，2)，＝(1－x2，－y2)，则由＋＝，得1－x1＋1－x2＝0，所以x1＋x2＝2，则由抛物线的定义得|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝4＝2|FP|，故B正确；对于C，若A，F，B三点共线，设直线AB的方程为x＝my＋1，代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0，因为Δ＝16m2＋16＞0，所以y1y2＝－4，故C不正确；对于D，由|AF|＋|BF|≥|AB|＝8(当且仅当A，F，B三点共线时，等号成立)，即x1＋x2＋2≥8，所以x1＋x2≥6，所以AB的中点到y轴距离d＝≥3，故D正确．综上所述，故选ABD. 12．ACD　对于A，分别取B1C1，C1C的中点E，F，连接D1E，D1F，EF，PF.由PF∥B1C1∥A1D1且PF＝B1C1＝A1D1可知四边形A1PFD1是平行四边形，∴D1F∥A1P.∵D1F⊄平面A1PD，A1P⊂平面A1PD，∴D1F∥平面A1PD，同理可得EF∥平面A1PD. ∵EF∩D1F＝F，∴平面A1PD∥平面D1EF，则Q点的轨迹为线段EF，故A选项正确；对于B，如图，以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，P，D(0，0，1)，设Q(x，1，z)，0≤x≤1，0≤z≤1，则＝(－1，0，1)，＝，＝(x，1，z). 设m＝(a，b，c)为平面A1PD的法向量，则 即解得 取c＝1，则m＝. 若D1Q⊥平面A1PD，则∥m，即存在λ∈R， 使得＝λm， 则解得x＝z＝－2∉[0，1]，故不存在点Q使得D1Q⊥平面A1PD，B选项错误；对于C，∵△A1PD的面积为定值，∴当且仅当点Q到平面A1PD的距离d最大时，三棱锥Q­A1PD的体积最大，d＝＝，①当x＋z≤时，d＝1－(x＋z)，则当x＋z＝0时，d有最大值1；②当x＋z＞时，d＝(x＋z)－1，则当x＋z＝2时，d有最大值.综上，当x＋z＝0，即Q点和C1点重合时，三棱锥Q­A1PD的体积最大，故C选项正确；对于D，∵D1C1⊥平面BB1C1C，∴D1C1⊥C1Q，D1Q＝＝，∴C1Q＝，即Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为π，D选项正确．故选ACD. 13．解析：二项式的展开式的通项为C·x8-k·(ax-1)k＝ak·C·x8-2k.因为前三项的系数a0·C，a1·C，a2·C成等差数列，所以2a1·C＝a0·C＋a2·C，即28a2－16a＋1＝0，解得a＝或a＝. 答案：或 14．解析：由f(x)为周期函数，首先考虑f(x)为正弦型或余弦型函数．因为∀x∈R，f(x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于x＝1对称．又f(x)的最大值为2，所以函数解析式可以为f(x)＝2sin x. 答案：2sin x(答案不唯一) 15．解析：依题意，ξ的所有可能取值为2，4，6.P(ξ＝2)＝0.4×0.4＝0.16，P(ξ＝4)＝C×0.6×0.4＝0.48，P(ξ＝6)＝0.6×0.6＝0.36，所以E(ξ)＝2×0.16＋4×0.48＋6×0.36＝4.4. 答案：4.4 16．解析：解法一　因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)　①，因为f(x3＋1)为奇函数，所以f(x3＋1)＝－f(－x3＋1)，则f(x＋1)＝－f(－x＋1)　②.由②得，f(x)＝－f(－x＋2)，结合①可得，f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x)＝－f(x＋2)＝－[－f(x ＋4)]＝f(x＋4)，即f(x)是以4为周期的周期函数．由②，令x＝0，有f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0，所以a＋b＝0.又f(4)＝f(0)＝1，所以b＝1，所以a＝－1. 所以当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋1， 所以f＝，f＝f ＝－f＝－f＝－， f＝f＝f＝f＝－， f＝f＝f＝f＝.注意到(4m＋1)f＋(4m＋2)f＋(4m＋3)f＋(4m＋4)f＝(4m＋1)f＋(4m＋2)f＋(4m＋3)f＋(4m＋4)f＝2，其中m∈N，故 ＝100÷4×2＝50. 解法二　由f(x＋2)为偶函数，知f(x)的图象关于直线x＝2对称，由f(x3＋1)为奇函数，得f(x＋1)为奇函数，故f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(4)＝f(0)＝1，得b＝1.因为点(1，0)在f(x)的图象上，所以f(1)＝a＋b＝0，所以a＝－1.所以当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋1.所以f＝－＋1＝，由f(x)的图象关于点(1，0)对称可得f＝－f＝－，由f(x)的图象关于直线x＝2对称可得f＝f＝－，f＝f＝.下同解法一． 答案：50 17．解：(1)由余弦定理可得，2a－c＝2b，整理可得a2＋c2－b2＝ac， 则cos B＝＝，且B∈(0，π)，所以B＝.　　(3分) (2)因为AD，CD分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，如图，连接BD，则BD为∠ABC的角平分线，即点D为三角形的内心， 则∠ADC＝180°－ ＝90°＋∠ABC＝90°＋30°＝120°，　　(5分) 又AD＝3，CD＝5， 在△ACD中，由余弦定理可得， AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 120°＝9＋25＋15 ＝49，　　(6分) 则AC＝7，过点D，分别做AC，AB，BC的垂线，垂足为E，G，F， 在△ACD中，S△ACD＝AD×CD×sin 120°＝AC×r， 可得r＝，即DE＝DF＝DG＝r＝，　　(8分) 在直角三角形BDF中，∠DBF＝∠B＝30°， 则BD＝2DF＝.　　(10分) 18．解：(1)当n＝1时，4a1＝a＋2a1＋1，解得a1＝1； 当n≥2时，由4Sn＝a＋2an＋1，得4Sn－1＝a＋2an－1＋1， 两式相减可得4an＝a－a＋2an－2an－1，a－a＝2，又an＞0， 所以an－an－1＝2，即{an}是首项为1，公差为2的等差数列， 因此，{an}的通项公式为an＝2n－1.　　(4分) (2)证明：由(1)可知an＝2n－1，所以bn＝＝－，　　(6分) Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－，　　(8分) 因为＞0恒成立，所以Tn＜1，　　(10分) 又Tn＋1－Tn＝bn＋1＝＞0，所以{Tn}单调递增，所以Tn≥T1＝b1＝，综上可得≤Tn＜1.　　(12分) 19．解：(1)证明：正方形ABCD中，BC⊥AB， ∵平面ABCD⊥平面ABMN，平面ABCD ∩平面ABMN＝AB，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥平面ABMN，　　(1分) 又BM⊂平面ABMN， ∴BC⊥BM，且BC⊥BN，又BC＝2，CN＝2， ∴BN＝＝2， ∵AB＝AN＝2，∴BN2＝AB2＋AN2， ∴AN⊥AB，∵AN∥BM，∴BM⊥AB，　　(3分) 又BC∩BA＝B，BA，BC⊂平面ABCD. ∴BM⊥平面ABCD.　　(5分) (2)如图，以B为坐标原点，BA，BM，BC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，0，2)，D(2，0，2)，N(2，2，0)，M(0，4，0)， 设点E(a，b，c)，＝λ(0＜λ＜1)， ∴(a，b，c－2)＝λ(0，4，－2)， ∴∴E(0，4λ，2－2λ)， ∴＝(2，2，0)，＝(0，4λ，2－2λ)，　　(7分) 设平面BEN的法向量为m＝(x，y，z)， ∴ 令x＝1，∴y＝－1，z＝，∴m＝， 显然，平面BMN的法向量为＝(0，0，2)，　　(9分) ∴|cos 〈，m〉|＝＝＝，　　(10分) 即＝＝， 即|2λ|＝， 即3λ2＋2λ－1＝0， 解得λ＝或－1(舍)， 所以存在一点E，且＝.　　(12分) 20．解：(1)设X＝x2， 则＝＝11， ＝＝7.2.　　(2分) (Xi－)(yi－)＝81.1， (Xi－)2＝374，　　(4分) 所以＝≈0.2，　　(5分) 所以＝－≈5，　　(6分) 所以y关于x的回归方程为＝0.2x2＋5.　　(7分) (2)由(1)得z＝24－＝，　　(8分) 设f(x)＝(x＞0)， 则f′(x)＝　　(9分) ＝＝.　　(10分) 当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，9)上单调递增； 当x＞9时，f′(x)＜0，函数f(x)在(9，＋∞)上单调递减． 所以当x＝9时，函数f(x)取得最大值．　　(11分) 所以该公司9月的月利润预报值最大．　　(12分) 21．解：(1)因为f′(x)＝＋a＝(x＞0)，　　(1分) 所以当a≥0时，f(1)＝a＋1＞0不符合题意；　　(2分) 当a＜0时，令f′(x)＜0，得x＞－； 令f′(x)＞0，得0＜x＜－， 所以f(x)在上单调递增， 在上单调递减，　　(3分) 由题得f(x)max＝f＝ln ≤0， 解得a≤－1，　　(4分) 所以a≤－1. 综上所述，a≤－1.　　(5分) (2)证明：设g(x)＝f′(x)－， 问题转化为g(x)在(x1，x2)上有唯一的零点，　　(6分) 由g(x)＝f′(x)－ ＝＋a－， 易知g(x)在(x1，x2)上单调递减， 故函数g(x)在(x1，x2)上至多有1个零点，　　(7分) 由g(x1)＝f′(x1)－ ＝＋a－ ＝－ ＝， 同理，得g(x2)＝.　　(8分) 由(1)知，当a＝－1时，ln x－x＋1≤0， 当且仅当x＝1时取等号， 因为0＜x1＜x2，所以＞1， 所以ln －＋1＜0.　　(9分) 因为x1－x2＜0， 即＜0，所以g(x1)＞0. 因为0＜x1＜x2，所以0＜＜1， 所以ln －＋1＜0， 即ln ＋－1＞0， 因为x1－x2＜0， 即＜0，所以g(x2)＜0，　　(11分) 由函数零点存在定理知g(x)在(x1，x2)上有唯一的零点，即存在唯一的x0∈(x1，x2)，使得f′(x0)＝成立．　　(12分) 22．解：(1)由题可知c＝， 当点M在x轴上时，|PQ|＝，不妨设P 得解得 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.　　(4分) (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则|PF|＝ ＝ ＝ ＝2－x1. 同理|QF|＝2－x2， |PM|＝＝＝ ＝|x1|. 同理|QM|＝|x2|. 所以△FPQ的周长为 2－x1＋2－x2＋|x1|＋|x2|＝4＋·. ①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为x＝1或x＝－1. 当PQ的方程为x＝1时，不妨设P，Q的坐标分别为，， 此时△FPQ的周长为4； 当PQ的方程为x＝－1时，不妨设P，Q的坐标分别为，， 此时△FPQ的周长为4＋2.　　(7分) ②当直线PQ的斜率存在时， 设PQ的方程为y＝kx＋m， 由直线PQ与圆x2＋y2＝1相切，得圆心到直线PQ的距离d＝＝1， 即m2＝1＋k2.　　(8分) 联立 化简得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 易知Δ＞0恒成立， 则　　(9分) x1x2＝＝＞0， 即x1，x2同号， 当x1＋x2＝－＞0时，即km＜0， 此时点M在y轴右侧，所以x1＞0，x2＞0， 此时△FPQ的周长＝4＋·＝4为定值；　　(10分) 当x1＋x2＝－＜0时，即km＞0， 此时点M在y轴左侧，所以x1＜0，x2＜0. 此时△FPQ的周长＝4＋·＝4－(x1＋x2)＝4＋＝4＋＝4＋.　　(11分) 因为km＞0，所以＋≥2， 当且仅当＝， 即或时取等号． 从而4＜4＋≤8， 所以△FPQ周长的取值范围为(4，8]. 综上所述，△FPQ周长的取值范围为[4，8].　　(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$