【高考领航】2025年高考数学模拟试题精编卷（新课标）(3)

高考数学模拟试题精编(三) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝x2－1}，则A∩B＝(　　) A．[－2，2] B．[－1，2] C．{－2，－1，0，1，2} D．{－1，0，1，2} 2．“α是锐角”是“sin ＞1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为(　　) A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648 4．欧拉恒等式eiπ＋1＝0(i为虚数单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式eix＝cos x＋isin x的特例：当自变量x＝π时，eiπ＝cos π＋isin π＝－1，得eiπ＋1＝0.根据欧拉公式，复数z＝ei在复平面上所对应的点在第________象限．(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 5．函数y＝sin x·ln 中的图象可能是(　　) 　　　　　　 　 A　　 　　　　　　B　　　 　　　　　C　　　　　　　　D 6．已知点A，B为椭圆＋y2＝1上两点，且OA⊥OB，其中O为坐标原点，则|OA|·|OB|的最小值为(　　) A． B．2 C． D．3 7．与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球．若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为(　　) A．－2 B．＋2 C．6－4 D．6＋4 8．已知函数f(x)＝(e是自然对数的底数)，若存在x1≤0，x2＞0，使得f(x1)＝f(x2)，则x1f(x2)的取值范围是(　　) A．[－4e2，0] B． C． D．[0，4e2] 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中最小值为6的是(　　) A．y＝ln x＋ B．y＝6|sin x|＋ C．y＝3x＋32-x D．y＝ 10．已知·＝||＝||＝1，点P满足＝x＋y(x，y∈R)，则下列说法中正确的是(　　) A．当x＋y＝1时，||的最小值为1 B．当x2＋y2＝1时，||＝1 C．当x＝时，△ABP的面积为定值 D．当y＝时，||＝|| 11．一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球，依次从中抽取两个球，规定：若第一次取到的是白球，则不放回，继续抽取下一个球；若第一次取到的是红球，则放回后继续抽取下一个球．下列说法正确的是(　　) A．第二次取到白球的概率是 B．“取到两个红球”和“取到两个白球”互为对立事件 C．“第一次取到红球”和“第二次取到红球”互为独立事件 D．已知第二次取到的是红球，则第一次取到的是白球的概率为 12．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)，若f(0)＋f＝0，且f(x)在上有且仅有三个极值点，则(　　) A．f(x)的最小正周期为 B．f(x)在区间(k∈Z)上单调递增 C．f(x)在区间上的最小值等于－ D．将g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度可得到y＝f的图象 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中x3项的系数为________．(用数字作答) 14．写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝________． ①f(x)＝f(2－x)；②当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减． 15．不过原点的直线l与曲线y＝x3相切于点A(x1，y1)，相交于点B(x2，y2)，则＝________．[参考公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)] 16．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：x＝my－1与C交于A，B两点，若AF⊥BF，则m＝________，|AF|＋|BF|＝__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)为培养学生对传统文化的兴趣，某市从甲、乙两所学校各抽取100名学生参加传统文化知识竞赛，竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级，成绩统计如下表： 优秀 非优秀 合计 甲校 60 40 100 乙校 70 30 100 合计 130 70 200 (1)甲、乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少； (2)能否有95%的把握认为甲校竞赛成绩优秀与乙校竞赛成绩优秀有差异？ 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18.(本小题满分12分)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，－an＋1，an，an＋2成等差数列．等差数列{bn}满足b1＝a2＋1，2b5－3b2＝a3－3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜. 19．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a cos C＋(2b＋c)cos A＝0. (1)求A； (2)若D是线段BC的中点，且AD＝，AC＝3，求△ABC的面积． 20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，E为PD的中点，F，M分别在PC和PB上，且＝＝. (1)若N在PC上，且DN∥平面AEF，求证：MN∥平面ABCD； (2)求二面角F­AE­D的余弦值． 21．(本小题满分12分)已知离心率为的椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：y2＝－2px(p＞0)的焦点． (1)求椭圆C1与抛物线C2的方程； (2)过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.问：是否存在直线l使得S2＝S1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 22．(本小题满分12分)已知＜b＜1，函数f(x)＝ex－x－2b，其中e＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)记x0为函数f(x)在(0，＋∞)上的零点，证明：＜x0＜. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考数学模拟试题精编(三) 1．D　∵A＝{x|4－x2≥0，x∈Z}＝{x|－2≤x≤2，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y|y≥－1}，∴A∩B＝{－1，0，1，2}．故选D. 2．A　若α为锐角，则0＜α＜，∴α＋∈， ∴sin ∈， ∴sin ∈(1，]， 即sin ＞1，充分性成立； 当sin ＞1时，sin ＞， ∴＋2kπ＜α＋＜＋2kπ(k∈Z)， 解得：2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)， 当k≠0时，α不是锐角，必要性不成立． ∴“α是锐角”是“sin ＞1”的充分不必要条件． 故选A. 3．D　由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为0.6×0.6＝0.36，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为：C×0.6×0.4×0.6＝0.288，这两种情况互斥，∴甲最终获胜的概率为P＝0.36＋0.288＝0.648.故选D. 4．C　根据题意z＝ei＝cos ＋isin＝－－i，故复数z＝ei在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限．故选C. 5．D　因为y＝f(x)＝sin x·ln 定义域为{x|x≠0}， 又f(－x)＝sin (－x)·ln ＝－sin x·ln ＝－f(x)，所以y＝sin x·ln 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A，B；又x∈(0，π)时，sin x＞0，＝1＋＞1，所以ln ＞0，所以y＝sin x·ln ＞0，故排除C.故选D. 6．C　由题意得a2＝2，b2＝1， 当点A，B分别是长短轴的一个端点时，OA⊥OB， 此时|OA|·|OB|＝， 当点A，B不是长短轴的端点时，设lOA：y＝kx(k≠0)， 联立整理得(1＋2k2)x2＝2， ∴x＝，y＝， 将k换成－得x＝，y＝， |OA|2|OB|2＝(x＋y)(x＋y)＝ ＝＝＝2－，2k2＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当2k2＝， 即k2＝1时等号成立， ∴≤2－＜2， ∴≤|OA||OB|＜， 综上所述，≤|OA||OB|≤ ， 即|OA|·|OB|的最小值为. 故选C. 7．C　如图，三棱柱S­ABC为正三棱锥，且底面边长AB＝BC＝AC＝2，侧棱SA＝SB＝SC＝3， 设正三棱锥的棱切球球心为O，半径为R，则顶点S在底面的投影为N也为△ABC的中心，取AB的中点M，连接OM，CM，过O点作OH⊥SC垂足为H，则OM＝OH＝R，设ON＝h， 在Rt△CMB中CM＝＝＝3，因为N为△ABC的中心，则NC＝MC＝2， MN＝MC＝， 在Rt△OMN中OM2＝ON2＋MN2即R2＝h2＋2； 在Rt△SNC中，SN2＝SC2－NC2， 即SN＝＝1； 在Rt△ONC中，OC2＝ON2＋NC2，则 OC＝＝； 在Rt△OSH中，SH2＝OS2－OH2， 则SH＝， 在Rt△OCH中，HC2＝OC2－OH2， 则HC＝ ， 又SH＋HC＝SC， 则＋ ＝3， 化简得R＝(1－h)， 由得R2－12R＋24＝0， 解得R＝6－4. 故选C. 8．A　∵f(x1)＝f(x2)，∴x1＋4e＝， ∴x1＝－4e≤0， ∴≤4e， 当x＞0时，f(x)＝， f′(x)＝＝， 由f′(x)＞0得x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2， 所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减， ∴f(x)在x＝2处取得最小值， ∴≤≤4e， ∴x1f(x2)＝＝－4e·， 令t＝，则≤t≤4e， ∴x1f(x2)＝t2－4et＝(t－2e)2－4e2， 当t＝2e时，x1f(x2)取得最小值－4e2， 当t＝4e时，x1f(x2)取得最大值0， 所以x1f(x2)的取值范围是[－4e2，0]. 故选A. 　9.BC　10.AD　11.AD　12.ABD 9．BC　对于A，当x∈(0，1)时，ln x＜0，此时ln x＋＜0，故A不符合题意；对于B，因为|sin x|∈(0，1]，所以6|sin x|＋≥2＝6，当且仅当6|sin x|＝，即|sin x|＝时取等号，故B符合题意；对于C，因为3x＞0，所以y＝3x＋32-x＝3x＋≥2＝6，当且仅当3x＝32-x，即x＝1时取等号，故C符合题意；对于D，因为≥4，所以y＝＝＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即x2＝－7时取等号，无解，故D不符合题意．综上所述，选BC. 10．AD　依题意得，||＝1，||＝2，∠AOB＝60°，∠OAB＝90°.对于A，当x＋y＝1时，点P在直线AB上，则||的最小值为点O到直线AB的距离||＝1，故选项A正确；对于B，由||2＝2＝x22＋y22＋2xy·＝x2＋4y2＋2xy，可知||＝1⇔x2＋4y2＋2xy＝1，故选项B错误；当x＝时，点P在过线段OA中点且平行于直线OB的直线上，△ABP的面积不为定值，故选项C错误；当y＝时，点P在过线段OB中点且平行于直线OA的直线(即线段AB的垂直平分线)上，所以||＝||，故选项D正确．故选AD. 11．AD　设Ai＝“第i次取到白球”，Bi＝“第i次取到红球”．对于A，P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝×＋×＝，所以选项A正确；对于B，取到两个球还可能为一个红球和一个白球，所以“取到两个红球”和“取到两个白球”不是互为对立事件，所以选项B错误；对于C，P(B1)＝，P(B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)·P(B2|B1)＝×＋×＝，P(B1B2)＝P(B1)·P(B2|B1)＝×＝≠P(B1)P(B2)，所以“第一次取到红球”和“第二次取到红球”不是互为独立事件，所以选项C错误；对于D，由选项C知，P(B2)＝，P(A1|B2)＝＝＝＝，所以选项D正确．综上，选AD. 12．ABD　因为f(0)＝－，f(0)＋f＝0，所以f＝sin ＝，所以－＝＋2k1π或－＝＋2k1π(k1∈Z)，所以ω＝＋4k1或ω＝2＋4k1(k1∈Z)，当x∈时，因为ω＞0，所以ωx－∈，要使f(x)在上有且仅有三个极值点，需＜－≤，即＜ω≤，综上，当k1＝1时，ω＝6，所以f(x)＝sin ，其最小正周期为，A正确；令2k2π－≤6x－≤＋2k2π，k2∈Z，则－≤x≤＋，k2∈Z，所以f(x)在区间(k2∈Z)上单调递增，B正确；当x∈时，6x－∈，因为sin ＝－，sin ＝－，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以f(x)在区间上的最小值为－，C错误；将g(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度可得到y＝sin ＝f的图象，D正确．故选ABD. 13．解析：展开式的二项式系数之和为64，即2n＝64，所以n＝6，则展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)6-k＝(－1)kC·26-k·x6-3k，令6－3k＝3，解得k＝1，所以x3项的系数为(－1)1×C×25＝－192. 答案：－192 14．解析：由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，故可考虑二次函数，二次函数的图象应开口向下，如f(x)＝－(x－1)2. 答案：－(x－1)2(答案不唯一) 15．解析：由题意，得y′＝3x2，则曲线y＝x3在点A(x1，y1)处的切线方程为y－y1＝3x(x－x1).因为切线过点B(x2，y2)，且y1＝x，y2＝x，所以代入切线方程得x－x＝3x(x2－x1)，即(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝3x(x2－x1).因为x1≠x2，所以x＋x1x2－2x＝0，即(x2－x1)·(x2＋2x1)＝0，所以x2＋2x1＝0，即＝－2. 答案：－2 16．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线l与抛物线C的方程，得， 整理得y2－4my＋4＝0，Δ＝16m2－16＞0，可得y1＋y2＝4m，y1y2＝4，因为AF⊥BF，所以·＝－1，即y1y2＋x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，可得y1y2＋(my1－1)·(my2－1)－[m(y1＋y2)－2]＋1＝0，即(m2＋1)y1y2－2m(y1＋y2)＋4＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝4代入，可得4(m2＋1)－2m×4m＋4＝0，整理得m2＝2，解得m＝±，又x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2＝6，由抛物线的定义，可得|AF|＝x1＋＝x1＋1(2p＝4，p＝2)，|BF|＝x2＋＝x2＋1，所以|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8. 答案：±　8 17．解：(1)由题表数据得，甲校竞赛成绩优秀的频率是＝0.6，　　(3分) 乙校竞赛成绩优秀的频率是＝0.7.　　(6分) (2)由题意可得， K2＝≈2.198＜3.841，　　(8分) 所以没有95%的把握认为甲校竞赛成绩优秀与乙校竞赛成绩优秀有差异．　　(10分) 18．解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)， 因为－an＋1，an，an＋2成等差数列， 所以2an＝an＋2－an＋1，　　(1分) 所以2an＝an·q2－an·q. 因为an＞0，所以q2－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)， 又a1＝2，所以an＝2n.　　(5分) 设等差数列{bn}的公差为d， 由题意，得b1＝a2＋1＝5， 由2b5－3b2＝a3－3＝5， 得2(b1＋4d)－3(b1＋d)＝－b1＋5d＝－5＋5d＝5， 解得d＝2， 所以bn＝b1＋(n－1)d＝5＋2(n－1)＝2n＋3.　　(6分) (2)证明：＝ ＝×，　　(9分) 则Tn＝ ＝＝－. 因为n∈N*，所以＞0， 所以Tn＜.　　(12分) 19．解：(1)因为a cos C＋(2b＋c)cos A＝0， 所以由正弦定理得sin A cos C＋(2sin B＋sin C)cos A＝0，　　(1分) 即sin A cos C＋cos A sin C＋2sin B cos A＝0， 得sin (A＋C)＋2sin B cos A＝0.　　(2分) 因为A＋C＝π－B， 所以sin (π－B)＋2sin B cos A＝0，即sin B＋2sin B cos A＝0.　　(3分) 因为0＜B＜π，所以sin B≠0.　　(4分) 所以cos A＝－.　　(5分) 因为0＜A＜π，所以A＝.　　(6分) (2)因为D是BC的中点， 所以＝(＋)，　　(7分) 两边同时平方得2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，　　(8分) 得＝[||2＋2||×3×＋9]，　　(9分) 化简得||2－3||－40＝0，解得||＝8或||＝－5(舍去).　　(10分) 所以△ABC的面积S＝·AB·AC·sin ∠BAC＝×8×3×＝6.　　(12分) 20．解：(1)证明：因为DN∥平面AEF，DN⊂平面PCD， 平面PCD∩平面AEF＝EF，所以DN∥EF. 因为E为PD的中点，所以F为PN的中点． 因为＝，所以＝.　　(2分) 因为＝，所以＝＝， 所以MN∥BC.　　(3分) 因为MN⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD.　　(4分) (2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥PA.因为CD⊥AD，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD. 如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系(其中Ax⊥AD)， 则A(0，0，0)，C(2，2，0)，E(0，1，1)，F， 所以＝(0，1，1)，＝.　　(7分) 设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)， 由得 令y＝1，得z＝－1，x＝1， 则平面AEF的一个法向量为m＝(1，1，－1).　　(9分) 易知平面AED的一个法向量为n＝(1，0，0).　　(10分) 设二面角F­AE­D的大小为θ，则|cos θ|＝|cos 〈m，n〉|＝＝.　　(11分) 因为二面角F­AE­D为钝二面角， 所以二面角F­AE­D的余弦值为－.　　(12分) 21．解：(1)由题意得解得 ∴椭圆的方程为＋＝1. 又－＝－c，∴p＝2c＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x.　　(4分) (2)由题意得直线l的斜率不为0，Q(－2，0)， 设直线l的方程为x＝my－2， A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 由得y2＋4my－8＝0， ∴Δ＝(4m)2－4×(－8)＝16m2＋32＞0，y1＋y2＝－4m，y1y2＝－8.　　(6分) ∵S2＝S1， ∴＝＝＝·＝＝. ∵y＝－4x1，∴直线OA的斜率为＝－， 即直线OA的方程为y＝－x，由 得y＝，　　(8分) 同理可得y＝，y·y＝×＝，　　(10分) ∴＝＝＝， 得m＝±1，　　(11分) ∴存在直线l使得S2＝S1，直线l的方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.　　(12分) 22．解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－1， 令f′(x)＞0，得ex＞1，∴x＞0， 令f′(x)＜0，得ex＜1，∴x＜0， 故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0).　　(4分) (2)证明：由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 且当1＜2b＜2时，f(0)＝1－2b＜0，f(2)＝e2－2－2b＞e2－4＞0， ∴由零点存在定理得f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点x0，且x0∈(0，2)，　　(5分) ∴ex0－x0－2b＝0，即2b＝ex0－x0， 要证明的不等式等价于ex0－x0－1＜x＜2(ex0－x0－1). 设h(x)＝ex－x－1－，　　(7分) 则h′(x)＝ex－1－x，令h1(x)＝ex－x－1，则h1′(x)＝ex－1，当0＜x＜2时，h1′(x)＞0， ∴h′(x)＝h1(x)在(0，2)上单调递增， ∴当0＜x＜2时，h′(x)＞h′(0)＝0， ∴h(x)在(0，2)上单调递增， ∴当0＜x＜2时，h(x)＞h(0)＝0， ∴ex－x－1－＞0， ∴当x0∈(0，2)时，2(ex0－x0－1)＞x成立．　　(8分) ∵1＜2b＜2，∴2b－1＜1，∴当x0≥1时，＜x0成立，　　(9分) 因此只需证明：当0＜x0＜1时，ex0－x0－1－x＜0. 设g(x)＝ex－x－1－x2， 则g′(x)＝ex－1－2x，令g1(x)＝ex－2x－1， 则g1′(x)＝ex－2，令g1′(x)＝0，得x＝ln 2. 当x∈(0，ln 2)时，g1′(x)＜0， 当x∈(ln 2，1)时，g1′(x)＞0， ∴当0＜x＜1时，g′(x)＜max{g′(0)，g′(1)}． ∵g′(0)＝0，g′(1)＝e－3＜0， ∴g′(x)＜0， ∴g(x)在(0，1)上单调递减， ∴当0＜x＜1时，g(x)＜g(0)＝0， ∴ex－x－1＜x2， 总之，当x0∈(0，1)时，ex0－x0－1＜x成立． (11分) 综上可得ex0－x0－1＜x＜2(ex0－x0－1)，即＜x0＜.　　(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$