【高考领航】2025年高考数学模拟试题精编卷（新课标）(2)

高考数学模拟试题精编(二) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|x2≥9，x∈R}，B＝{0，1，e，π}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{0，1，e} B．{0，1，e，π} C．{0，1，π} D．{1，e，π} 2．设i为虚数单位，i(1－z)＝1，则|z|＝(　　) A．1 B． C． D．2 3．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为(　　) A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77 4．图1是南北方向、水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26′)在某地利用一表高为2 dm的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98 dm，则该地的纬度约为北纬(　　) (参考数据：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.49) 　　 图1　　　　　　　　　　　图2　　 A．23°26′ B．32°34′ C．34° D．56° 5．已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为(　　) A．8π B．16π C．8π D．4π 6．已知正实数x，y满足x＋＋y＋＝5，则x＋y的最小值与最大值的和为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 7．设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M(4，0)的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，记△BCF与△ACF的面积分别为S△BCF，S△ACF，则＝(　　) A． B． C． D． 8．若正实数a，b满足a＞b，且ln a·ln b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．logab＜0 B．a－＞b－ C．2ab+1＜2a＋b D．ab-1＜ba-1 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法错误的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b B．若ma＝mb，m∈R，则a＝b C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．若ma＝0，m∈R，则m＝0或a＝0 10．已知(ax2＋)10(a＞0)展开式的各项系数和为1024，则下列说法正确的是(　　) A．展开式中偶数项的二项式系数和为512 B．展开式中第6项的系数最大 C．展开式中存在含x6的项 D．展开式中第3项的系数为45 11．创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉．为支持中小企业创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是(　　) A．年收入在[500，600)(单位：万元)的中小企业约有16家 B．样本的中位数大于400万元 C．估计当地中小企业年收入的平均数为376万元 D．样本在区间[500，700]内的频数为18 12．已知函数f(x)＝ex，则(　　) A．当x＜－时，f(x)＜0 B．∀a∈R，方程f(x)＝a有实根 C．方程f(x)＝a有3个不同实根的一个必要不充分条件是“a＜0” D．若a1＞0，a2＜0且方程f(x)＝a1有1个实根，方程f(x)＝a2有2个实根，则a1a2＝－1 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若sin ＝，则＝________． 14．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F关于它的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为________． 15．已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，当－1＜x＜0时，f(x)＝2x，则f(2＋log25)的值为________． 16．已知三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠A1AC＝∠A1AB＝60°，∠BAC＝90°，则四面体A1BB1C1的体积为________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)从①b sin C＝c cos B，②b2＋ac＝a2＋c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答． 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．(填写①或②，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答) (1)求B； (2)若b＝2，△ABC的面积为，求a. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．(本小题满分12分)已知数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3，a1＝1，a2＝2. (1)记bn＝a2n－1，求数列{bn}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和为Sn，求S30. 19.(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点． (1)求证：B，E，D1，F四点共面； (2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长；若不存在，说明理由． 20．(本小题满意12分)某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占. (1)请根据以上数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析能否认为市民对交通的满意度与是否为“上班族”有关联； 满意 不满意 合计 上班族 非上班族 合计 (2)为了改善市民对交通的满意度，该机构欲随机抽取部分市民进一步调查．规定：抽样的次数不超过n(n∈N*)，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束．抽样结束时，记抽样的总次数为随机变量Xn，以频率代替概率． (ⅰ)若n＝5，写出X5的分布列和数学期望； (ⅱ)请写出Xn的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明Xn的数学期望的实际意义． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1). (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：y＝k·x＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同的点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若·＝1，求证：直线l经过定点． 22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若(ex1)x2＝(ex2)x1(e是自然对数的底数)，且x1＞0，x2＞0，x1≠x2，证明：x＋x＞2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考数学模拟试题精编(二) 1．A　由A＝{x|x2≥9，x∈R}得，A＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，所以∁RA＝(－3，3)，又B＝{0，1，e，π}，所以(∁RA)∩B＝{0，1，e}．故选A. 2．B　因为i(1－z)＝1，所以1－z＝＝＝－i， 则z＝1＋i，所以|z|＝＝.故选B. 3．D　由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%， 记事件A1，A2，A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 所以P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1， 又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%， 记事件B为“选到绑带式口罩”，则P(B|A1)＝0.9， P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4 所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为 P(B)＝0.7×0.9＋0.2×0.5＋0.1×0.4＝0.77. 故选D. 4．B　由图1可得tan α＝≈0.67， 又tan 34°≈0.67， 所以α＝34°，所以由图2可得∠MAN＝90°－34°＝56°， 　 图1　　　　　　　　　　　　图2 所以β＝56°－23°26′＝32°34′， 该地的纬度约为北纬32°34′. 故选B. 5．C　设圆锥的母线长为l(l＞0)，底面圆半径为r(r＞2)，高为h(h＞0)，则l·2＝hr，解得h＝，又l2＝r2＋h2，所以l2＝r2＋，即l2＝＝. 令＝t，则0＜t＜. 令f(t)＝t－4t2＝－4＋，则当t＝时，f(t)取得最大值，即l2取得最小值16，所以l的最小值为4，此时r＝h＝2，圆锥的侧面积S＝πrl＝8 π.故选C. 6．B　因为正实数x，y满足x＋＋y＋＝5，所以(x＋y)·＝5(x＋y)，所以5(x＋y)＝(x＋y)2＋＋＋2≥(x＋y)2＋4，当且仅当x＝y时等号成立，所以(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，所以x＋y的最小值与最大值的和为5.故选B. 7．C　由题意可知，抛物线E的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，y3).由题意可知，直线AB的斜率一定存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(x－4)，k≠0，联立得，消去y得k2(x－4)2＝8x，即k2x2－(8k2＋8)x＋16k2＝0，显然Δ＞0，所以x1x2＝16. 因为|BF|＝x2＋＝x2＋2＝3，所以x2＝1，所以x1＝16. 设点F到直线AB的距离为d， 则＝＝＝＝＝.故选C. 8．D　因为ln a·ln b＞0，a＞b，所以a＞b＞1或0＜b＜a＜1.对于A，因为a＞b＞1或0＜b＜a＜1，所以logab＞0，所以选项A错误．对于B，当a＝，b＝时，满足0＜b＜a＜1，但a－＝－10＝－，b－＝－2＝－，则此时a－＜b－，所以选项B错误．对于C，因为a＞b＞1或0＜b＜a＜1，所以ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0，即ab＋1＞a＋b，因为函数y＝2x为单调递增函数，所以2ab+1＞2a＋b，所以选项C错误．对于D，构造函数f(x)＝(x＞0且x≠1)，则f′(x)＝＝，令g(x)＝1－－ln x(x＞0)，则g′(x)＝－＝－，令g′(x)＝0，得x＝1，当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时，函数g(x)取最大值，且最大值为g(1)＝0，则当x＞0且x≠1时，g(x)＜0，即1－－ln x＜0，所以f′(x)＜0在x＞0且x≠1时恒成立，所以函数f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递减，因为a＞b＞1或0＜b＜a＜1，所以f(a)＜f(b)，即＜. 当a＞b＞1或0＜b＜a＜1时，(a－1)(b－1)＞0，则(b－1)·ln a＜(a－1)ln b，即ln ab-1＜ln ba-1， 所以ab-1＜ba-1，所以选项D正确．综上，选D. 　9.ABC　10.ABD　11.CD　12.ACD 9．ABC　对于A，当a＝(1，1)，b＝时，满足|a|＝|b|，但a≠±b，故A错误；对于B，当a＝(1，1)，b＝(1，2)，m＝0时，满足ma＝mb＝0，但a≠b，故B错误；对于C，当a＝(1，1)，b＝0，c＝(1，2)时，满足a∥b，c∥b，但不满足a∥c，故C错误；对于D，由ma＝0，得m＝0或a＝0，故D正确．综上所述，选ABC. 10．ABD　令x＝1，则由题意得(a＋1)10＝1024，解得a＝1，展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2)10-r·＝C·x20－r.因为展开式中二项式系数和为C＋C＋…＋C＝210＝1024，展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中偶数项的二项式系数和为512，A正确；因为本题中二项式系数与项的系数一样，且展开式有11项，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确；由20－r＝6，得r＝∉N，所以展开式中不存在含x6的项，故C不正确；第3项的系数为C＝45，故D正确．综上所述，选ABD. 11．CD　由频率分布直方图，得(0.001＋0.002＋0.0026＋0.0026＋x＋0.0004)×100＝1，解得x＝0.0014.年收入在[500，600)(单位：万元)的中小企业约有0.0014×100×100＝14(家)，故A不正确；因为(0.001＋0.002)×100＝0.3＜0.5，(0.001＋0.002＋0.0026)×100＝0.56＞0.5，所以样本的中位数小于400万元，故B不正确；由题图知，全国中小企业年收入的平均数为[0.001×150＋0.002×250＋0.0026×(350＋450)＋0.0014×550＋0.0004×650]×100＝376(万元)，所以估计当地中小企业年收入的平均数为376万元，故C正确；样本在区间[500，700]内的频数为(0.0014＋0.0004)×100×100＝18，故D正确．综上所述，选CD. 12．ACD　对于A选项，函数f(x)＝ex＝xex，所以当x＜－时，f(x)＜0，所以A选项正确；对于B选项，函数f(x)的定义域为R，令f′(x)＝ex＝0，得x＝±，当x＜－或x＞时，f′(x)＜0；当－＜x＜时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递减，在(－，)上单调递增， f()＝e(－1)，f(－)＝e－ (－－1)，且当x→＋∞时，f(x)→－∞；当x→－∞时，f(x)→0，作出f(x)的大致图象如图所示，由图可知，当a＞e (－1)时，方程f(x)＝a无实根，所以B选项不正确；对于C选项，由图可知，若方程f(x)＝a有3个不同的实根，则e－ (－－1)＜a＜0，所以C选项正确；对于D选项，由a1＞0，方程f(x)＝a1有1个实根，结合图象得a1＝e(－1)，由a2＜0，方程f(x)＝a2有2个实根，结合图象得a2＝e－(－－1)，所以a1a2＝－1，所以D选项正确．故选ACD. 13．解析：因为sin ＝，所以sin cos θ－cos sin θ＝，即cos θ－sin θ＝，又＝＝＝cos θ－sin θ， 所以＝. 答案： 14．解析：设双曲线的左焦点为F1，右焦点F关于渐近线y＝x的对称点为F′，则由题意可知F′在渐近线y＝－x上，记直线FF′与直线y＝x的交点为A，则∠FOA＝∠F′OA(其中O为坐标原点)，又∠FOA＝F1OF′，所以∠FOA＝∠F′OA＝∠F1OF′＝60°，所以＝tan 60°＝，所以e2＝1＋＝4，所以离心率e＝2. 答案：2 15．解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则由f(x)＋f(2－x)＝0，得f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(x)， 所以函数f(x)是周期为2的周期函数． 因为log25＝log2＝log24＋log2＝2＋log2＝2－log2，所以f(2＋log25)＝f＝f＝－f，且－1＜log2＜0， 所以f(2＋log25)＝－2log2＝－. 答案：－ 16．解析：解法一　如图，连接A1C，在三角形A1AB中，AB＝1，AA1＝2，∠A1AB＝60°，由余弦定理得A1B2＝22＋12－2×1×2×cos 60°＝3，即A1B＝，同理A1C＝，则AB2＋A1B2＝A1A2，所以A1B⊥AB，同理A1C⊥AC，所以△A1AB≌△A1AC.过点B作BD⊥A1A，垂足为D，连接CD，则CD⊥A1A，又BD∩CD＝D，所以A1A⊥平面BCD，所以BD＝CD＝＝，又AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，所以BC＝.取BC的中点为E，连接DE，则DE⊥BC，且DE＝ ＝，所以S△BCD＝×BC×DE＝××＝. 则V四面体A1BB1C1＝VB­A1B1C1＝VA1­ABC＝VA1­BCD＋VA­BCD＝·S△BCD·A1A＝××2＝. 解法二　如图，连接A1C，在三角形A1AB中，AB＝1，AA1＝2，∠A1AB＝60°，由余弦定理得A1B2＝22＋12－2×1×2×cos 60°＝3，即A1B＝，同理A1C＝，则AB2＋A1B2＝A1A2，所以A1B⊥AB，同理A1C⊥AC.设A1在平面ABC内的射影为O，连接A1O，AO，OB，OC，则A1O⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以A1O⊥AB，又A1B∩A1O＝A1，所以AB⊥平面A1OB，又OB⊂平面A1OB，所以AB⊥OB，同理OC⊥AC，且△A1OB≌△A1OC，所以OB＝OC，则点O在∠BAC的平分线上． 设AO交BC于点E，连接A1E，则AE＝，A1E＝＝，在△A1AE中，cos ∠A1AE＝＝， 则∠A1AE＝45°，则A1O＝A1A sin 45°＝，V四面体A1BB1C1＝VB­A1B1C1＝VA1­ABC＝·S△ABC·A1O＝××1×1×＝. 答案： 17．解：选条件①b sin C＝c cos B. (1)由正弦定理得，sin B sin C＝sin C cos B，　　(3分) 因为sin C≠0，所以sin B＝cos B，所以tan B＝.　　(5分) 又B∈(0，π)，故B＝.　　(6分) (2)S△ABC＝ac sin B＝，所以ac＝4.　　(7分) 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B及b＝2， 得4＝a2＋c2－2×4×cos ， 所以a2＋c2＝8.　　(9分) 由ac＝4，a2＋c2＝8得a＝2.　　(10分) 选条件②b2＋ac＝a2＋c2. (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，知cos B＝，　　(3分) 又B∈(0，π)，故B＝.　　(5分) (2)解法同选条件①.　　(10分) 18．解：(1)an＋2＋(－1)nan＝3， 令n取2n－1，则a2n＋1－a2n－1＝3，　　(3分) 即bn＋1－bn＝3，b1＝a1＝1， 所以数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以bn＝3n－2.　(6分) (2)令n取2n，则a2n＋2＋a2n＝3， 所以S3n＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30) 由(1)可知，a1＋a3＋…＋a29＝b1＋b2＋…＋b15＝330， a2＋a4＋…＋a30＝a2＋(a4＋a6)＋…＋(a28＋a30)＝2＋21＝23.　　(11分) 所以S30＝330＋23＝353.　　(12分) 19．解：(1)证明：如图，连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME，因为E为AA1的中点，所以EM∥A1B1∥C1D1，且EM＝A1B1＝C1D1， 所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1，又F为CC1的中点，所以BM∥C1F，且BM＝C1F，所以四边形BMC1F为平行四边形，　　(3分) 所以BF∥MC1. 所以BF∥D1E， 所以B，E，D1，F四点共面．　　(5分) (2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G(0，0，t)，由已知B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)，则＝(－1，1，0)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，t－1)，　　(7分) 设平面BEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 取x1＝1，则y1＝1，z1＝1，n1＝(1，1，1). 设平面GEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则即 取x2＝t－1，则y2＝t－1，z2＝1，n2＝(t－1，t－1，1).　　(10分) 因为平面GEF⊥平面BEF，所以n1·n2＝0， 所以t－1＋t－1＋1＝0，所以t＝， 所以存在满足题意的点G，使得平面GEF⊥平面BEF，且DG的长为.　　(12分) 20．解：(1)由题意可知 满意 不满意 合计 上班族 15 40 55 非上班族 35 10 45 合计 50 50 100 零假设为H0：市民对交通的满意度与是否为“上班族”独立， χ2＝＝≈25.253＞10.828.　　(3分) 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为市民对交通的满意度与是否为“上班族”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.　　(4分) (2)(ⅰ)当n＝5时，X5的取值为1，2，3，4，5， 由题可知市民的满意度和不满意度均为. 所以P(X5＝1)＝，P(X5＝2)＝，P(X5＝3)＝， P(X5＝4)＝，P(X5＝5)＝， 所以X5的分布列为 X5 1 2 3 4 5 P 　　(7分) 所以E(X5)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.　　(8分) (ⅱ)E(Xn)＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·＝2－， 当n趋向于正无穷大时，E(Xn)趋向于2，此时E(Xn)恰好为不满意度的倒数； 也可以理解为平均每抽取2位市民，就会有一位市民不满意．　　(12分) 21．解：(1)根据题意，设椭圆焦距为2c， 则得(或写成)，　　(3分) 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.　　(4分) (2)证明：根据题意，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由消去y， 整理得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，　　(5分) 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－， x1x2＝. 由点A(0，1)与点P(x1，y1)可得直线AP的方程为 y＝·x＋1，　　(7分) 令y＝0，得x＝－，所以M，　　(8分) 同理可得N. 又·＝1，所以＝1，　　(9分) 整理得x1x2－y1y2＋(y1＋y2)－1＝0， 所以(1－k2)x1x2＋(k－kt)(x1＋x2)－t2＋2t－1＝0，　　(10分) 将x1＋x2，x1x2的表达式代入上式得(1－k2)·＋(k－kt)·－t2＋2t－1＝0， 化简得＝0， 因为t≠±1，所以t＝－3， 所以直线l的方程为y＝kx－3，直线l经过定点(0，－3).　　(12分) 22．解：(1)由f(x)＝， 得f′(x)＝. 令f′(x)＝0，得x＝1，　　(2分) 当a＞0时，若x∈(0，1)，则f′(x)＞0； 若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＜0. 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．　　(3分) 当a＜0时，若x∈(0，1)，则f′(x)＜0； 若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＞0. 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．　　(4分) 综上，当a＞0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a＜0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．　　(5分) (2)证明：由(ex1)x2＝(ex2)x1，两边取对数， 得x2ln (ex1)＝x1ln (ex2)，　　(6分) 即x2(ln x1＋1)＝x1(ln x2＋1)， 所以＝， 即当a＝1时，存在x1＞0，x2＞0，x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2). 证法一　由(1)可知，当a＝1时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 不妨令x1＜x2，所以x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞).　　(7分) ①若x2∈[2，＋∞)，则x＋x＞x≥4＞2显然成立．　　(8分) ②若x2∈(1，2)，则2－x2∈(0，1)， 记g(x)＝f(x)－f(2－x)＝＋－－，0＜x＜1， 所以g′(x)＝－－＞－－＝ －＞0，　　(9分) 所以g(x)在(0，1)上单调递增，所以g(x)＜g(1)＝0， 即f(x)＜f(2－x)， 所以f(2－x1)＞f(x1)＝f(x2).　　(10分) 因为x1∈(0，1)，所以2－x1＞1，又x2＞1， f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 所以2－x1＜x2，即x1＋x2＞2.　　(11分) 又x＋1＞2＝2x1，x＋1＞2＝2x2，以上两式左、右两端分别相加， 得x＋1＋x＋1＞2(x1＋x2)， 即x＋x＞2(x1＋x2)－2＞2. 综合①②，证得x＋x＞2.　　(12分) 证法二　由(1)可知，当a＝1时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)≤f(1)＝1. 当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝＞0， 由于f＝0，故f(x)在上恒有f(x)＞0.　　(7分) 不妨令x1＜x2，记f(x1)＝f(x2)＝m，则m∈(0，1)，且ln x1＋1＝mx1，ln x2＋1＝mx2， 以上两式相减得，ln ＝m(x2－x1)， 记t＝，由x1＜x2，知t∈(1，＋∞)， x1＝，x2＝，故x1＋x2＝.　　(8分) 记g(t)＝ln t－(t＞1)，则g′(t)＝＝，　　(9分) 又m∈(0，1)，t＞1，所以t2－2(2m－1)t＋1＞12－2(2m－1)×1＋1＝4－4m＞0，所以g′(t)＞0.　　(10分) 所以g(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)＞g(1)＝0， 所以ln t－＞0，可知x1＋x2＝＞2.　　(11分) 则x＋x＞＞＝2.　　(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$