【高考领航】2025年高考数学模拟试题精编卷（新课标）(1)

高考数学模拟试题精编(一) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{0，3，4，5} B．{0，1，3，4，5} C．{0，4，5} D．{0，1，4，5} 2．已知复数z的共轭复数＝，则复数z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝x sin πx B．f(x)＝(x－1)sin πx C．f(x)＝x sin π(x＋1) D．f(x)＝(x－1)cos πx 4．天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用M＝m－5lg 近似表示绝对星等M、目视星等m和观测距离d(单位：光年)之间的关系．已知织女星的绝对星等为0.58，目视星等为0.04，大角星的绝对星等为－0.38，目视星等为－0.06，则观测者与织女星和大角星间的距离的比值约为(　　) A．10-2.2 B．100.172 C．10-0.044 D．10-0.172 5．已知函数f(x)的定义域为R，f(1－x)＝f(x)，且f(x)在上单调递减，则关于x的不等式f(x＋1)＞f(2－3x)的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪ B． C．∪(1，＋∞) D． 6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过x轴负半轴上的动点A作C的一条切线，切点B在第一象限，若M为线段AB的中点，则·的取值范围是(　　) A．(1，2] B．(1，2) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 7．以ABC为底的两个正三棱锥P­ABC和Q­ABC内接于同一个球，并且正三棱锥P­ABC的侧面与底面ABC所成的角为45°，记正三棱锥P­ABC和正三棱锥Q­ABC的体积分别为V1和V2，则＝(　　) A．1 B． C． D． 8．已知f(x)＝－x2－cos x，若a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．如图是国家统计局发布的2021年8月至2022年8月全国工业生产者出厂价格同比与环比的涨跌幅(同比＝×100%，环比＝×100%)，则(　　) A．2022年1～8月，工业生产者出厂价格最高的是8月 B．2022年1～8月，工业生产者出厂价格每月平均比去年同期上涨约6.2% C．2021年8月至2022年8月，工业生产者出厂价格最低的是2021年10月 D．2021年8月至2022年8月，工业生产者出厂价格同比数据的中位数是1.7% 10．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AB，CC1的中点，则(　　) A．直线AD1与直线EF共面 B．A1E⊥AF C．直线A1E与直线BF所成的角为60° D．三棱锥C1­ADF的体积为 11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则(　　) A．椭圆C的离心率的取值范围是(，1) B．当椭圆C的离心率为时，|QF1|的取值范围是[2－，2＋] C．存在点Q使得·＝0 D．＋的最小值为2 12．已知函数f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x，则下列说法正确的是(　　) A．g(ex)在(0，＋∞)上是增函数 B．∀x＞1，不等式f(ax)≥f(ln x2)恒成立，则正实数a的最小值为 C．若f(x)＝t有两个零点x1，x2，则x1＋x2＞0 D．若f(x1)＝g(x2)＝t(t＞2)，且x2＞x1＞0，则的最大值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在的展开式中，xy7的系数为________． 14．已知圆O1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆O2：(x＋n)2＋(y＋2)2＝1内切，则m2＋n2的最小值为________． 15．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________． ①定义域为R；②值域为(－∞，1)；③对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有＞0. 16．菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD∈，点E，F分别是线段AD，CD上的动点(包括端点)，AE＝CF，则·＝________，·的最小值为________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任意两个不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 3 第二行 4 6 5 第三行 9 12 8 (1)写出a1，a2，a3，并求数列{an} 的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝an＋(－1)nlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C－a sin C＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值． 19．(本小题满分12分)第31届全国中学生生物学奥林匹克竞赛决赛在山西省太原市举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩(单位：分)，经统计，这50名学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数； (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]这三组中抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望； (3)转化为百分制后，规定成绩在[90，100]的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其他为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛决赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为η，记B等级的人数为k的概率为P(η＝k)，写出P(η＝k)的表达式，并求出当P(η＝k)最大时k的值． 20.(本小题满分12分)如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝CD＝AB，平面PAD⊥平面PAB，PA⊥PB. (1)求证：△PAD为直角三角形； (2)若AD＝PB，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值． 21．(本小题满分12分)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)过点P(2，2)，且P与E的两个顶点连线的斜率之和为4. (1)求E的方程； (2)过点M(1，0)的直线l与双曲线E交于A，B两点(异于点P).设直线BC与x轴垂直且交直线AP于点C，若线段BC的中点为N，证明：直线MN的斜率为定值，并求该定值． 22．(本小题满分12分)已知f(x)＝a sin x－x＋(x＞－1)，且0为f(x)的一个极值点． (1)求实数a的值； (2)证明：①函数f(x)在区间(－1，＋∞)上存在唯一零点； ②－＜sin ＜1，其中n∈N*且n≥2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答 案 与 精 析 高考数学模拟试题精编(一) 1．B　由题可得∁RA＝{x|x≤1或x≥3}，则(∁RA)∩B＝{0，1，3，4，5}．故选B. 2．D　＝＝＝＝＋i，故z＝－i，在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选D. 3．B　对于A，f(－x)＝－x sin (－πx)＝x sin πx＝f(x)，对于C，f(x)＝x sin (πx＋π)＝－x sin πx，均是偶函数，故排除A，C；对于D，f(0)＝－1，所以排除D.故选B. 4．D　设观测者与织女星和大角星间的距离分别为d1，d2，则有两式相减得5lg ＝－0.86，所以lg ＝－0.172，＝10-0.172.故选D. 5．C　因为f(1－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又f(x)在上单调递减，所以f(x)在上单调递增，故不等式f(x＋1)＞f(2－3x)等价于＜，两边同时平方后整理得4x2－5x＋1＞0，解得x＞1或x＜.故选C. 6．D　由题意可设切线AB的方程为x＝ty＋m(t＞0)，则A(m，0)，由得y2－4ty－4m＝0，由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2，所以A(－t2，0)，B(t2，2t)，所以M(0，t).结合F(1，0)，得＝(t2－1，2t)，＝(－1，t)，所以·＝－(t2－1)＋2t2＝t2＋1＞1.故选D. 7．D　如图，正三棱锥P­ABC和正三棱锥Q­ABC内接于同一个球，设P到底面ABC的距离为h1，Q到底面ABC的距离为h2，则＝，取AB的中点M，连接PM，CM，PQ，记PQ与平面ABC的交点为R，由两个正三棱锥P­ABC和Q­ABC内接于同一个球，可得PQ一定为球O的直径，记其中点为O，且由题意可知，R为正三角形ABC的中心，因此，PR，QR分别为正三棱锥P­ABC和正三棱锥Q­ABC的高h1，h2，由PA＝PB，QA＝QB，CA＝CB，且M为AB的中点，可得PM⊥AB，QM⊥AB，CM⊥AB， 则∠PMR为正三棱锥P­ABC的侧面与底面ABC所成的角为45°，∴MR＝PR＝h1，RC＝2MR＝2h1，记球的半径为r，于是OR＝r－h1，在Rt△ORC中，由勾股定理可得，OC2＝r2＝OR2＋RC2＝(r－h1)2＋4h，解得r＝h1，于是QR＝PQ－PR＝2r－h1＝5h1－h1＝4h1＝h2，则＝.∴＝＝.故选D. 8．D　因为f(x)＝－x2－cos x，x∈R，定义域关于原点对称， f(－x)＝－(－x)2－cos (－x)＝－x2－cos x＝f(x)， 所以f(x)为R上的偶函数， 当x≥0时，f′(x)＝－2x＋sin x，设g(x)＝－2x＋sin x， 则g′(x)＝－2＋cos x，∵－1≤cos x≤1，∴g′(x)＜0， 所以g(x)即f′(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以f′(x)≤f′(0)＝0， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为偶函数， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递增， 又ln ＜0，－＜0， b＝f＝f＝f， c＝f＝f，又e－＞e-1＝＞， 因为＝ln e，＝e，≈2.4＜e，所以e＞， 所以ln e＞ln ，即＞ln ，所以e－＞＞ln ， 所以f＜f＜f，即a＜c＜b. 故选D. 　9.ABD　10.BD　11.ABC　12.ABD 9．ABD　由图可知，2022年1～8月，工业生产者出厂价格的环比均大于0，故A正确；2022年1～8月，工业生产者出厂价格每月平均比去年同期上涨≈6.2%，B正确；2021年8月至2022年8月，工业生产者出厂价格的环比均不小于0，故2021年8月至2022年8月，工业生产者出厂价格最低的是2021年8月，C错误；将2021年8月至2022年8月工业生产者出厂价格同比的13个数据从小到大排列，1.7%为第7个数，所以同比数据的中位数是1.7%，D正确．故选ABD. 10．BD　对于A，如图，连接D1F，假设直线AD1与直线EF共面，则A，E，F，D1四点共面，又平面AEFD1∩平面CDD1C1＝D1F，平面AEFD1∩平面ABB1A1＝AE，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以AE∥D1F，又AE∥CD，所以CD∥D1F，显然不成立，所以直线AD1与直线EF不共面，所以选项A错误．对于B，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，E，A(1，0，0)，F，所以＝，＝，所以·＝0×(－1)＋×1＋(－1)×＝0，所以⊥，即A1E⊥AF，所以选项B正确． 对于C，B(1，1，0)，＝，设直线A1E与直线BF所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝≠，所以选项C错误． 对于D，VC1­ADF＝VA­C1FD＝×S△C1FD×AD＝×××1×1＝，所以选项D正确．综上，选BD. 11．ABC　由题意得a＝2，又点P(，1)在椭圆C外，则＋＞1，解得0＜b＜，所以椭圆C的离心率e＝＝＞，即椭圆C的离心率的取值范围是，故A正确；当e＝时，c＝，b＝＝1，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－，2＋]，故B正确；设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由于·＝b2－c2＝2b2－a2＜0，所以存在点Q使得·＝0，故C正确；＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，所以＋≥1，故D不正确．故选ABC. 12．ABD　对于A，当x＞0时，ex＞1，令t＝ex， 则t＞1，g(t)＝t－ln t， ∵g′(t)＝1－＝， ∴当t＞1时，g′(t)＞0恒成立， ∴g(t)在(1，＋∞)上单调递增； ∵t＝ex在(0，＋∞)上单调递增， ∴根据复合函数单调性可知：g(ex)在(0，＋∞)上为增函数，A正确； 对于B，当x＞1时，ln x2＞ln 1＝0，又a为正实数， ∴ax＞a＞0， ∵f′(x)＝ex－1，∴当x＞0时，f′(x)＞0恒成立， f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则由f(ax )≥f(ln x2)得：ax≥ln x2，即a≥， 令h(x)＝(x＞1)，则h′(x)＝， ∴当x∈(1，e)时，h′(x)＞0；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)＜0； ∴h(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， ∴h(x)max＝h(e)＝， ∴a≥，则正实数a的最小值为，B正确； 对于C，∵f′(x)＝ex－1，∴当x＜0时，f′(x)＜0； 当x＞0时，f′(x)＞0； f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； ∴f(x)min＝f(0)＝1，则t＞1； 不妨设x1＜x2，则必有x1＜0＜x2， 若x1＋x2＞0，则x2＞－x1＞0，等价于f(x2)＞f(－x1)； 又f(x2)＝f(x1)，则等价于f(x1)＞f(－x1)； 令F(x)＝f(x)－f(－x)(x＜0)，则F′(x)＝ex＋e－x－2， 由x＜0，∴0＜ex＜1，e－x＞1， ∴ex＋e－x＞2＝2， 即F′(x)＞0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴F(x)＜F(0)＝0， 即f(x)＜f(－x)， ∴f(x1)＜f(－x1)，可知x1＋x2＞0不成立，C错误； 对于D，由f(x1)＝g(x2)＝t(t＞2)，x2＞x1＞0得： ex1－x1＝x2－ln x2＝eln x2－ln x2＝t(t＞2)， 即f(x1)＝f(ln x2)＝t(t＞2)， 由C知：f(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增； f(1)＝e－1＜2， ∴x1＞1，则x2＞x1＞1，∴ln x2＞0， ∴x1＝ln x2，即ex1＝x2， ∴＝＝＝； 令φ(t)＝(t＞2)，则φ′(t)＝， ∴当t∈(2，e)时，φ′(t)＞0； 当t∈(e，＋∞)时，φ′(t)＜0； ∴φ(t)在(2，e)上单调递增， 在(e，＋∞)上单调递减，∴φ(t)max＝φ(e)＝， 即的最大值为，D正确． 故选ABD. 13．解析：对于， 其通项公式为Tr＋1＝C(－y)r， 令r＝7，则有T8＝C(－y)7， 对于， 其通项公式Tk＋1＝Cx3-k＝Cx3-2k， 令3－2k＝1，所以k＝1， 所以xy7的系数为C×(－1)7×C＝－360. 答案：－360 14．解析：圆O1的圆心为(m，－2)，半径为r1＝3， 圆O2的圆心为(－n，－2)，半径为r2＝1， ∴两圆的圆心距d＝|m＋n|， ∵两圆内切，∴|m＋n|＝2，可得m2＋n2＋2mn＝4， 解得m2＋n2≥2. 当且仅当m＝n＝1时，取得最小值，m2＋n2的最小值为2. 故答案为2. 答案：2 15．解析：因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有＞0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，1)， 所以可取f(x)＝1－或f(x)＝等． 答案：1－(或等，答案不唯一) 16．解析：设＝λ，＝λ(λ∈[0，1])，则(＋)·＝(λ＋λ)·(－)＝λ2－λ2＝λ||2－λ||2＝0.·＝(1－λ)·(－)＝(1－λ)·(－λ)＝(1－λ)·－λ(1－λ)·2＝(1－λ)||·||cos ∠BAD－λ(1－λ)||2＝(1－λ)cos ∠BAD－λ(1－λ)＝λ2－(1＋cos ∠BAD)λ＋cos ∠BAD.因为∠BAD∈，所以cos ∠BAD∈.设t＝cos ∠BAD，则t∈，·＝f(λ)＝λ2－(1＋t)λ＋t(λ∈[0，1])，f(λ)图象的对称轴为直线λ＝，∈，所以f(λ)min＝f＝－(t－1)2≥－，所以·的最小值为－. 答案：0　－ 17．解：(1)①若a1取第一列的数字3，则 或显然此时a1，a2，a3不构成等比数列．　　(1分) ②若a1取第二列的数字2，则此时a1，a2，a3构成等比数列； 或此时a1，a2，a3不构成等比数列．　　(2分) ③若a1取第三列的数字3， 则或显然此时a1，a2，a3不构成等比数列． 综上，a1＝2，a2＝4，a3＝8.　　(3分) 设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝2.　　(4分) 所以an＝2×2n-1＝2n.　　(5分) (2)bn＝an＋(－1)nlog2an ＝2n＋(－1)nlog22n　　(6分) ＝2n＋(－1)nn. 当n为偶数时，Sn＝＋＝2n+1＋.　　(8分) 当n为奇数时，Sn＝＋＝2n+1－.　　(9分) 综上所述，当n为偶数时，Sn＝2n+1＋； 当n为奇数时，Sn＝2n+1－.　　(10分) 18．解：(1)因为a cos C－a sin C＝b， 所以sin A cos C－sin A sin C＝sin B．　　(2分) 因为A＋B＋C＝π， 所以sin A cos C－sin A sin C＝sin (A＋C)＝ (sin A cos C＋cos A sin C)，　　(4分) 所以－sin A sin C＝cos A sin C， 因为sin C＞0， 所以tan A＝－. 因为A∈(0，π)，所以A＝.　　(6分) (2)解法一　在△ABC中， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ， 所以4＝b2＋c2＋bc，① 因为AD为BC边上的中线， 所以＝(＋)， 所以||2＝2＝(＋)2＝(c2＋b2－bc)，②　　(8分) 由①得b2＋c2＝4－bc，③ 代入②得||2＝1－bc，④　　(9分) 由③得4－bc＝b2＋c2≥2bc， 所以bc≤， 当且仅当即b＝c＝时取等号，　　(11分) 代入④得||2＝1－bc≥，所以AD≥，AD长度的最小值为.　　(12分) 解法二　在△ABD中，有余弦定理cos ∠ADB＝，① 在△ADC中，有余弦定理 cos ∠ADC＝，② 因为BD＝CD，∠ADC＋∠ADB＝π， 所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝0. ①＋②可得＝0， 整理得2AD2＋2＝AB2＋AC2.③　　(8分) 在△ABC中，cos ∠BAC＝＝－， 整理得AC2＋AB2－BC2＝－AB·AC，即AC2＋AB2＋AB·AC＝BC2.　　(9分) 又BC＝a＝2，所以4＝AC2＋AB2＋AB·AC≤(AC2＋AB2)，即AC2＋AB2≥，④ 当且仅当AB＝AC时，等号成立．　　(11分) 由③④可得2AD2＋2＝AB2＋AC2≥，所以AD2≥，AD长度的最小值为.　　(12分) 19．解：(1)由(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，得m＝0.012，　　(1分) 前两组的频率之和为0.04＋0.22＝0.26＜0.50， 前三组的频率之和为0.04＋0.22＋0.30＝0.56＞0.50， 设中位数为x0，则x0∈[60，70)，所以0.26＋(x0－60)×0.030＝0.50，解得x0＝68，所以估计这50名学生成绩的中位数为68.　　(3分) (2)因为50名学生中成绩在[70，80)的人数为0.28×50＝14，成绩在[80，90)的人数为0.12×50＝6，成绩在[90，100]的人数为0.04×50＝2，所以抽取的11人中，成绩在[70，80)的有7人，[80，90)的有3人，[90，100]的有1人． 易知ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝＝， P(ξ＝2)＝＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 　　(7分) 解法一　数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.　　(8分) 解法二　因为ξ～H(11，3，3)，所以E(ξ)＝n·＝3×＝.　　(8分) (3)成绩在[70，90)的频率为0.28＋0.12＝0.4，由题意知η～B(100，0.4)，　　(9分) 所以P(η＝k)＝C×0.4k×0.6100-k(0≤k≤100，k∈N).　　(10分) 解法一　由＝ ＝×＞1，得k＜39.4. 解法二　由P(η＝k＋1)－P(η＝k)＝C×0.4k+1×0.699-k－C×0.4k×0.6100-k ＝×(39.4－k)＞0，得k＜39.4. 所以，当k≤39时， P(η＝k＋1)＞P(η＝k)， 即P(η＝40)＞P(η＝39)＞…＞P(η＝0)， 当k≥40时， P(η＝k＋1)＜P(η＝k)， 即P(n＝40)＞P(η＝41)＞…＞P(η＝100)，　　(11分) 所以P(η＝k)max＝P(η＝40)， 所以当k＝40时，P(η＝k)最大．　　(12分) 20．解：(1)证明：因为平面PAD⊥平面PAB，且平面PAD∩平面PAB＝PA，PA⊥PB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥平面PAD， 又AD⊂平面PAD，所以PB⊥AD.　　(2分) 如图，在等腰梯形ABCD中， 过D作DH⊥AB，垂足为H，连接BD， 则AH＝(AB－CD)＝AB， 又AD＝AB，所以AH＝AD， 故∠DAB＝60°. 在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos ∠DAB＝3AD2，BD＝AD， 所以AD2＋BD2＝AB2，故AD⊥BD.　　(4分) 又PB∩BD＝B，PB，BD⊂平面PBD， 所以AD⊥平面PBD. 又PD⊂平面PBD，所以AD⊥PD， 所以△PAD为直角三角形．　　(5分) (2)以P为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系P­xyz，设AD＝PB＝1，则P(0，0，0)，B(1，0，0)，A(0，，0)，＝(1，0，0).在Rt△ADP中，AD＝1，AP＝，故PD＝＝，作DE⊥AP，垂足为E，易得DE＝.在Rt△DEP中，易得PE＝＝.又平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝AP，所以DE⊥平面PAB，则D，所以＝. 又＝＝(1，－，0)， 故C， 所以＝.　　(8分) 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 解得 令z＝－1，得n＝(0，2，－1).　　(10分) 设直线PD与平面PBC所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为.　　(12分) 21．解：(1)双曲线的两顶点为(±a，0)， 所以＋＝＝4，即a2＝2， 将P(2，2)代入E的方程可得， b2＝4，故E的方程为－＝1.　　(3分) (2)依题意，可设直线l：y＝k(x－1)(k≠2)，A(x1，y1)， B(x2，y2). y＝k(x－1)与－＝1联立，整理得(k2－2)x2－2k2x＋k2＋4＝0，　　(4分) 所以k2≠2，Δ＝(－2k2)2－4(k2－2)(k2＋4)＞0，解得k2＜4且k2≠2， x1＋x2＝，x1x2＝，所以3(x1＋x2)－2x1x2＝4.(*)　　(5分) 又AP：y＝(x－2)＋2，所以C的坐标为 ，　　(7分) 由y1＝k(x1－1)可得， (x2－2)＋2＝， 从而可得N的纵坐标 yN＝ ＝，　　(9分) 将(*)式代入上式，得yN＝， 即N.　　(10分) 所以，kMN＝＝，　　(11分) 将(*)式代入上式，得kMN＝＝2.　　(12分) 22．解：(1)f′(x)＝a cos x－1－， 因为0为f(x)的一个极值点，所以f′(0)＝a－2＝0， 所以a＝2.　　(2分) (2)证明：①当－1＜x≤0时，f′(x)≤2－1－1＝0， 所以f(x)单调递减，所以对∀x∈(－1，0]， 有f(x)≥f(0)＝1，此时函数f(x)无零点； 当0＜x＜时，f″(x)＝－2sin x＋， f″(x)在上单调递减， 又f″(0)＝2＞0，f″＝－2＋＜0， 由零点存在定理，存在x0∈，使得f″(x)＝0， 且当x∈(0，x0)时，f″(x)＞0，即f′(x)单调递增， 当x∈时，f″(x)＜0，即f′(x)单调递减．　　(3分) 又f′(0)＝0，所以∀x∈(0，x0)，f′(x)＞0，f(x)在(0，x0)单调递增； 因为f′(x0)＞0，f′＝－1－＜0， 所以存在x1∈， 当x∈(x0，x1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 所以，当x∈(0，x1)时，f(x)单调递增，f(x)＞f(0)＝1； 当x∈时，f(x)单调递减，f(x)＞f＝2－＋＞0，此时f(x)在上无零点；　　(5分) 当x∈时，f′(x)＝2cos x－1－＜0， 所以f(x)在单调递减，又f＞0，f(π)＝0－π＋＜0，由零点存在定理，函数f(x)在上存在唯一零点；　　(6分) 当x≥π时，f(x)＝2sin x－x＋＜2－π＋1＜0，此时函数无零点；　　(7分) 综上，f(x)在区间(－1，＋∞)上存在唯一零点．　　(8分) ②因为f′＝－1－＞0， 由①中f(x)在上的单调性分析，知x1＞， 所以f(x)在单调递增，所以对∀x∈， 有f(x)＞f(0)＝1， 即2sin x－x＋＞1，所以sin x＞.　　(10分) 令x＝(k≥2)，则sin ＞＞＞＝－ 所以sin ＞＋＋…＋＝－ 因为sin x＜x，x∈， 所以sin ＜＜＝－， 所以sin ＜＋＋…＋＝1－＜1， 所以－＜sin ＜1.　　(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$