精品解析：模型6 命题及其否定问题模型(第1章 集合与常用逻辑用语)

模型6 命题及其否定问题模型 【模板探究】 母题呈现 模板引入 设命题p：，，则为（ ） A， B.， C.， D.， 本模板解决的是“求全称量词命题（存在量词命题）p的否定”的问题. 解析：因为命题p为存在量词命题， 量词为“”，结论为“”， 所以命题：，. 故选C. 答案：C 第一步 确定命题p为存在量词命题. 第二步 找出命题p的量词“”和结论“”. 第三步 变换量词“”为“”，否定结论“”为“”，得到：，. 【必备知识】 1 全称量词和存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题叫做全称量词命题. ②符号表示：通常，将含有变量x的语句用，，，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个x，成立”可用符号简记为，. （3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （4）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. ②符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，成立”可用符号简记为，. （名师点拨：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.） 2 全称量词命题和存在量词命题的否定 （1） （2） （3）全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题. 3 判断全称量词命题、存在量词命题的真假 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，证明成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能找出集合M中的一个元素，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素，使成立即可.如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题. （3）一个命题和它否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 【解决方法】 【典例1】（2024天津河西高二下期期末）命题，，则为（ ） A.， B.， C， D.， 【答案】C 【套用模板】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题意得，命题，为全称量词命题 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词，原结论为对于任意 第三步：变换原量词，并否定原结论 ∴为存在使， 即，. 故选：C. 【典例2】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【套用模板】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题可得，题目原命题是假命题，且为全称量词命题 ∴原命题否定应是真命题，且为存在量词命题 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词，原命题结论为对于任意均成立 第三步：变换原量词，并否定原结论 ∴由原命题可得，“，”既是对原命题的否定，也是真命题 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A. 【典例3】（2024四川乐山高一下期期中）命题“，”的否定为（ ） A.， B.， C， D.， 【答案】D 【套用模板】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题意得，命题“，”，为全称量词命题 由全称量词命题的否定是存在量词命题， 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词， 原命题结论为对于任意，均有， 第三步：变换原量词，并否定原结论 可知命题，的否定为，. 故选：D （2024吉林高三第四次考试） 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. （2024山东青岛高二下期6月月考） 2. 已知全集为，集合为非空集合，满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 （2024山东日照高一下期期末） 4. 若命题：“，”，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 设命题p：所有正方形都是平行四边形，则p的否定为（ ） A. 所有正方形都不是平行四边形 B. 有的平行四边形不是正方形 C. 有的正方形不是平行四边形 D. 不是正方形的四边形不是平行四边形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型6 命题及其否定问题模型 【模板探究】 母题呈现 模板引入 设命题p：，，则为（ ） A.， B.， C.， D.， 本模板解决的是“求全称量词命题（存在量词命题）p的否定”的问题. 解析：因为命题p为存在量词命题， 量词为“”，结论为“”， 所以命题：，. 故选C. 答案：C 第一步 确定命题p为存在量词命题. 第二步 找出命题p的量词“”和结论“”. 第三步 变换量词“”为“”，否定结论“”为“”，得到：，. 【必备知识】 1 全称量词和存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题叫做全称量词命题. ②符号表示：通常，将含有变量x的语句用，，，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M中任意一个x，成立”可用符号简记为，. （3）存量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （4）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. ②符号表示：存在量词命题“存在M中元素x，成立”可用符号简记为，. （名师点拨：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.） 2 全称量词命题和存在量词命题的否定 （1） （2） （3）全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题. 3 判断全称量词命题、存在量词命题的真假 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，证明成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能找出集合M中的一个元素，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素，使成立即可.如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题. （3）一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 【解决方法】 【典例1】（2024天津河西高二下期期末）命题，，则为（ ） A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【套用模板】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题意得，命题，为全称量词命题 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词，原结论为对于任意 第三步：变换原量词，并否定原结论 ∴为存在使， 即，. 故选：C. 【典例2】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【套用模板】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题可得，题目原命题是假命题，且为全称量词命题 ∴原命题的否定应是真命题，且为存在量词命题 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词，原命题结论为对于任意均成立 第三步：变换原量词，并否定原结论 ∴由原命题可得，“，”既是对原命题的否定，也是真命题 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A. 【典例3】（2024四川乐山高一下期期中）命题“，”的否定为（ ） A.， B.， C.， D.， 【答案】D 【套用模板】 第一步：判断命题为全称量词命题还是存在量词命题 由题意得，命题“，”，为全称量词命题 由全称量词命题的否定是存在量词命题， 第二步：观察题目，找出命题的量词和结论 观察可得，原量词为全称量词， 原命题结论为对于任意，均有， 第三步：变换原量词，并否定原结论 可知命题，的否定为，. 故选：D （2024吉林高三第四次考试） 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A （2024山东青岛高二下期6月月考） 2. 已知全集为，集合为非空集合，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合之间的运算求解即可. 【详解】集合为非空集合，满足， 故. 所以. 故选：A 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. （2024山东日照高一下期期末） 4. 若命题：“，”，则（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知， 若命题：“，”，则为“，”， 故选：C. 5. 设命题p：所有正方形都是平行四边形，则p的否定为（ ） A. 所有正方形都不是平行四边形 B. 有的平行四边形不是正方形 C. 有的正方形不是平行四边形 D. 不是正方形的四边形不是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，把所有改为存在，把结论否定 【详解】p的否定为“有的正方形不是平行四边形”. 故选：C. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$