5.1.1任意角课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1 任意角 第五章 三角函数 【学习目标】 1. 观察实际生活情境，感受角的概念推广的必要性，理解数学在实际生活中的意义和价值； 2.了解任意角的概念，会用集合来描述具有相同终边的所有角，经历任意角的数学表示的过程，发展直观想象、数学抽象素养； 【重点难点】 重点：理解角的概念和意义； 难点：会用集合来描述具有相同终边的所有角。 学习目标 什么是角？范围是多大？ 定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 顶点 边 边 角的范围：0°～360° 初中定义 情景引入 体操—李小鹏跳 2002年在匈牙利世锦赛上，李小鹏在跳马时做出的“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”获得“李小鹏跳”命名。 逆时针 顺时针 没有 知识回顾 旋转方向相同 不同方向 知识回顾 思考问题 原点 x轴的非负半轴 象限角 坐标轴 知识回顾 思考问题 答案:× 解析:锐角是指大于0°且小于90°的角,故说法错误. 答案:× 一 三 四 思考问题   思考问题 提示:不一定,如 30°角和 390°角,终边相同但不相等. 提示:不一定,相等的两角始边和顶点相同时终边才相同. 思考问题 解析:由于-215°=-360°+145°,而145°角是第二象限角,故-215°角也是第二象限角. 答案:B 解析:与 60°角终边相同的角为α=k·360°+60°, k∈Z,令k=-1,则α=-300°. 答案:A 思考问题 探究一：对任意角的概念的理解 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反数。 探究一：对任意角的概念的理解 -100° 探究一：对任意角的概念的理解 方法规律 变式训练 变式训练 -50° x y o x y o 210° -450° x y o 405° x y o -200° x y o 第四象限角 第一象限角 第三象限角 第二象限角 轴线角 探究二：象限角和终边相同的角的表示 探究二：象限角和终边相同的角的表示 探究二：象限角和终边相同的角的表示 方法规律 方法规律 变式训练 二 探究三：象限角和区间角的表示 探究三：象限角和区间角的表示 方法规律 2. 角的分类：正角、零角、负角； 1. 角的定义； 3. 象限角； 4. 终边相同的角的表示法． 课堂小结 一、任意角的概念 [知识梳理] 1.角的分类 类型 定义 图示 正角 按 方向旋转形成的角 负角 按 方向旋转形成的角 零角 一条射线 做任何旋转,称它形成了一个零角 2.角的加、减法 (1)两角相等:如果两角α,β的 且旋转量相等,就称α=β. (2)角的加法:设α,β是任意两个角,我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β. (3)角的减法: ①把射线OA绕端点O按 旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,角α的相反角记为-α. ②角的减法:α-β=α+(-β). 【思考】 (1)当角的始边和终边确定后,这个角就确定了吗? (2)初中阶段,我们学过对顶角相等.如图,依据现在的知识试判断一下图中角α,β是否相等. 提示:不确定,因为角的旋转量和旋转方向不确定,所以角不确定. 提示:不相等.角α为逆时针方向旋转形成的角,α为正角;角β为顺时针方向旋转形成的角,β为负角 二、象限角 [知识梳理] 1.前提 角的顶点与 重合,角的始边与 重合. 2.分类 [基础测试] 1. 判断 (正确的在括号内画“√”,错误的画“×”) . (1)经过1小时,时针转过了30°. (　　) (2)小于90°的角都是锐角. (　　) 解析:因为时针是按顺时针旋转的,所以时针转过了-30°,故说法错误. 【思考】 锐角属于第几象限角?钝角又属于第几象限角? [基础测试] 2.(1)40°角是第 象限角; (2)219°角是第 象限角; (3)-75°角是第 象限角. 提示:锐角属于第一象限角,钝角属于第二象限角. 三、终边相同的角 [知识梳理] 【思考】 (1)终边相同的角一定相等吗? (2)相等的角终边一定相同吗? [基础测试] 3.-215°角是 (　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 4.下列各角中,与60°角终边相同的角是　 (　　) A.-300° B.-60° C.600° D.1 380° (2)点O为原点,射线OA和x轴的非负半轴重合,射线OA先绕端点O顺时针旋转80°到OB位置,再逆时针旋转250°到OC位置,最后顺时针旋转270°到OD位置,则∠AOD= . 解析:如图所示,∠AOD=(-80°)+250°+(-270°)= -100°. 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧:判断一种说法正确需要有依据地证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可. 易错提醒:角的概念推广后,确定角时要注意旋转的方向是逆时针方向还是顺时针方向. 【跟踪训练】 1.写出下列说法所表示的角. (1)顺时针拧螺丝2圈; (2)将时钟拨慢2小时30分钟,分针转过的角. 解:(1)顺时针拧螺丝2圈,螺丝顺时针旋转了2周,因此所表示的角为-720°. (2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,因此将时钟拨慢2小时30分钟,分针转过的角为900°. 2.如图,写出(1),(2)中的角α,β,γ的度数. (1) (2) 解:题干图(1)中,α=360°-30°=330°. 题干图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°, γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°. 探索点二 终边相同的角的表示及应用 【例2】　(1)将-885°角化为k·360°+α(0°≤α<360°, k∈Z)的形式是 . (2)已知角β的终边在直线y=-x上. ①写出角β的集合S; ②写出S中适合-360°<β<360°的元素. 解析:-885°=-1 080°+195°=(-3)×360°+195°. (-3)×360°+195° 解:①直线y=-x过原点,它是第二、四象限角的平分线所在的直线,故在0°到360°范围内终边在直线y=-x上的角有两个,即135°,315°. 因此,终边在直线y=-x上的角的集合S={β|β=135°+k·360°, k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z} ={β|β=135°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+(2k+1)·180°,k∈Z} ={β|β=135°+n·180°,n∈Z}. ②因为-360°<β<360°,所以-360°<135°+n·180°<360°,n∈Z,解得-<n<,n∈Z.所以n=-2,-1,0,1. 所以集合S中适合不等式组-360°<β<360°的元素有: 135°-2×180°=-225°;135°-1×180°=-45°;135°+0×180°=135°;135°+1×180°=315°. 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地,可以将所给的角α化成k·360°+β(0°≤β<360°,k∈Z)的形式,其中的β就是所求的角. (2)若所给的角的绝对值不是很大,则可以通过如下方法完成:当所给角是负角时,采用连续加360°的方式;当所给角是正角时,采用连续减360°的方式,直到所得结果达到要求为止. 2.运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可以用式子k·360°+α,k∈Z表示,在运用时需注意以下四点: (1)k是整数,这个条件不能漏掉. (2)α是任意角. (3)k·360°与α之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等,但同顶点、同始边的相等的两角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍. 【跟踪训练】 3.写出终边落在x轴上的角的集合S. 解:S={α|α=k·360°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°,k∈Z} ={α|α=2k·180°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°,k∈Z} ={α|α=n·180°,n∈Z}. 探索点三 象限角和区间角的表示 【例3】　(1)-2 021°是第 象限角. (2)如图所示： ①分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合; ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 解析:-2021°=-6×360°+139°,139°是第二象限角,所以-2 021°是第二象限角. 解:①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z}, 终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}. ②由题干图可知, 阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于-30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合, 故可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}. 表示区间角(介于两个角之间的所有角)的三个步骤 (1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间角的集合{x|α<x<β},其中β-α<360°. (3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角的集合. $$