重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题

重庆南开中学高2025届高三（上）数学练习 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 设函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设方程的两根为，，则（ ） A. ， B. C. D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 是周期函数 C. 在单调递减 D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称 11. 已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且仅有两个零点 B. 函数有且仅有三个零点 C. 当时，不等式恒成立 D. 在上的值域为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是______． 13. 表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是________． 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数． （1）（t为常数）； （2）． 16. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）对，恒成立，求a的取值范围. 17. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望； （2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率． ①求，，； ②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式． 18. 函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：； （3）盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：． 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 重庆南开中学高2025届高三（上）数学练习 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）递增区间为； （2）. 【17题答案】 【答案】（1）；（2）①，，；②，. 【18题答案】 【答案】（1）当时，在上单增； 当时，在和上单增， 在上单减； （2）证明： ， 所以要证，即证，即证， 也即证（*）成立． 设，函数，由（1）知在上单增，且， 所以时，，所以（*）成立，原不等式得证； （3）证明：由题可得， 因为，，…，， 所以， 又由（2）知，， 取，有， 即，即， 所以． 【19题答案】 【答案】（1）的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． （2）①设点，其中且， 由（1）可知的方程为， 因为，所以， 因此，三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程，得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值1； （法二）设，则有，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值1； 由椭圆定义，得， ， 解得，同理可得， 所以 ． 因为，所以的周长为定值． ；②存在； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $