第10周检测(第一、二章40%+第三章60%)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第10周检测(第一、二章40%+第三章60%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线x2=-4y的准线方程是(　　) A.x= B.x=1 C.y=1 D.y=2 2.若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为(　　) A.y2=4x B.x2=4y C.y2=8x D.x2=8y 3.已知圆C:x2-6x+y2+2ay+7+a2=0关于直线3x+y-1=0对称,则a=(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F,若∠ABF=90°,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 5.已知椭圆=1的左焦点是F1,右焦点是F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|∶|PF2|=(　　) A.5∶3 B.3∶5 C.3∶8 D.5∶8 6.两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,则椭圆=1的离心率为(　　) A. B. C. D. 7.已知点P在抛物线y2=16x上,F为焦点,点A(2,1),则|PA|+|PF|的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 8.已知动点P(x,y)满足5=|3x+4y-7|,则动点P的轨迹是(　　) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.对于抛物线x2=y,下列描述正确的是(　　) A.开口向上,焦点坐标为(0,2) B.开口向上,焦点坐标为0, C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y=-4 10.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,则下列结论正确的有(　　) A.直线l恒过定点(3,1) B.圆C被y轴截得的弦长为4 C.直线l与圆C恒相离 D.直线l被圆C截得最短弦长时,直线l的方程为2x-y-5=0 11.直线y=x-2与抛物线C:y2=2x相交于A,B两点,下列说法正确的有(　　) A.抛物线C的准线方程为y=- B.拋物线C的焦点为 C.若O为原点,则∠AOB=90° D.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在空间直角坐标系中,直线l的一个方向向量为m=(-1,0,3),平面α的一个法向量为n=(1,,2),则直线l与平面α所成的角为　　　　　.  13.已知曲线C:y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B是C上两个不同点,且OA⊥OB,则直线AB过定点　　　　　.  14.已知圆C:x2+y2-6x+8=0,M是圆C上的任意一点,P为直线l:y=x+1上任意一点,点Q(1,-2),则|MP|+|QP|+1的最小值为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知定点A(-4,0),B(2,0),动点P满足|PA|=2|PB|,设动点P的轨迹是曲线T,直线l恒过点Q(2,3). (1)求曲线T的方程; (2)当直线l与曲线T相交于M,N两点,且|MN|=4时,求l的方程. 16.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB,F是PC的中点,AC=2BC=2CD,∠ACB=∠ACD=. (1)证明:PB⊥AF; (2)求直线PB与平面AFD所成角的正弦值. 17.(15分)已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1). (1)求抛物线C的方程; (2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值. 18.(17分)已知直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=4的两支各有一个交点,分别是P,Q. (1)求实数k的取值范围; (2)若△POQ的面积为,求实数k的值. 19.(17分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,|AB|+|CD|=3. (1)求椭圆的标准方程; (2)求以A,B,C,D为顶点的四边形的面积的取值范围. 参考答案 1.C　由x2=-4y,得2p=4,则p=2,=1, 则抛物线x2=-4y的准线方程是y==1. 故选C. 2.D　∵动点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1, ∴动点P到点(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等,根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以F(0,2)为焦点,以直线y=-2为准线的抛物线, 其标准方程为x2=8y.故选D. 3.C　因为圆C:(x-3)2+(y+a)2=2关于直线3x+y-1=0对称,所以圆心(3,-a)在直线3x+y-1=0上,即9-a-1=0,得a=8.故选C. 4.A　椭圆=1(a>b>0)的左顶点为A(-a,0),上顶点为B(0,b),右焦点为F(c,0), 若∠ABF=90°,则BA⊥BF, 可得a2+b2+b2+c2=(a+c)2. 又a2=b2+c2,所以a2-c2=ac, 即e2+e-1=0. 又e∈(0,1),解得e=.故选A. 5.A　∵椭圆=1的左焦点是F1,右焦点是F2, ∴F1(-2,0),F2(2,0). 设点P的坐标为(x,y),则线段PF1的中点为. ∵线段PF1的中点在y轴上, ∴=0, ∴x=2. 又点P在椭圆上, ∴=1,得y=3或-3. 任取一个点P(2,3), ∴|PF1|==5,|PF2|==3, ∴|PF1|∶|PF2|=5∶3. 故选A. 6.C　因为两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b, 则解得所以c=,故e=.故选C. 7.D　点F(4,0)是抛物线y2=16x的焦点,其准线方程为l:x=-4, 作PN⊥l于点N,AB⊥l于点B, 则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|=2-(-4)=6, 当且仅当P为AB与抛物线的交点时,等号成立, 则|PA|+|PF|的最小值为6.故选D. 8.D　由5=|3x+4y-7|,得, 即动点P(x,y)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等, 且点(2,1)不在直线3x+4y-7=0上, 则由抛物线定义知,动点P(x,y)的轨迹为抛物线.故选D. 9.AC　抛物线x2=y,即x2=8y, 可知抛物线的开口向上,焦点坐标为(0,2),焦点到准线的距离为4,准线方程为y=-2.故选AC. 10.AD　将直线l的方程整理为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,由解得 则直线l过定点D(3,1),故A正确; 在圆C:(x-1)2+(y-2)2=25中,令x=0,则(y-2)2=24,解得y=2±2,故圆C被y轴截得的弦长为4,故B不正确; 因为(3-1)2+(1-2)2=5<25,所以点D在圆C的内部,直线l与圆C相交,故C不正确; 圆心为C(1,2),半径为5,|CD|=,当截得的弦长最短时,l⊥CD,kCD=-,则直线l的斜率为2,此时直线l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0,故D正确. 11. BC　由抛物线C:y2=2x,则其焦点为F,准线方程为x=-,故A错误,B正确; 联立直线与拋物线的方程得y2-2y-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2,y1y2=-4,而x1x2==4,由=x1x2+y1y2=0,得,故C正确; 显然直线y=x-2不过焦点F,由拋物线定义有|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AF|+|BF|=x1+x2+1>|AB|,故D错误.故选BC. 12.　设直线l与平面α所成的角为θ0≤θ≤,则sin θ=|cos<m,n>|=,所以θ=. 13.(2p,0)　依题意知,设直线AB的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 由OA⊥OB,得=x1x2+y1y2=0. ① 由得y2-2pty-2pm=0, ∴y1y2=-2pm,x1x2==m2. 代入①式,得m2-2pm=0, ∴m=0或2p. ∵A,B是抛物线上异于O的两点, ∴m=0不合题意,因此m=2p, ∴直线AB:x=ty+2p, ∴直线AB过定点(2p,0). 14. 2　由x2+y2-6x+8=0,可得(x-3)2+y2=1,则圆心C(3,0),半径r=1. 设Q(1,-2)关于直线l:y=x+1对称的点的坐标为Q'(m,n),m≠1, 则解得 点Q'(-3,2)是点Q关于直线l:y=x+1对称的点, 所以|MP|+|QP|+1=|MP|+|PQ'|+|CM|. 要使|MP|+|QP|+1取得最小值,C,M,P,Q'四点共线且M在线段CP上即可, 此时最小值为|CQ'|==2. 15.解(1)设P(x,y),由已知|PA|=2|PB|,得=2, 整理得(x-4)2+y2=16, 所以曲线T的方程为(x-4)2+y2=16. (2)由(1)可知,曲线T表示以点T(4,0)为圆心,以r=4为半径的圆,故当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时满足|MN|=4; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0, 设圆心到直线l的距离为d,则d=, 则d2+=16, 所以d=2,解得k=-, 则直线l的方程为5x+12y-46=0. 综上,直线l的方程为x=2或5x+12y-46=0. 16.(1)证明∵BC=CD,∠ACB=∠ACD=, ∴△ACB≌△ACD, ∴AB=AD. 设AC=2BC=2CD=4a, 在△ACD中,由余弦定理得AD2=4a2+16a2-8a2=12a2, ∴AD=2a, ∴AD2+CD2=AC2, ∴AB⊥BC,AD⊥DC. 连接BD,交AC于点O,分别以OA,OB为x轴、y轴, 过点O作z轴∥PA,建立如图所示的空间直角坐标系, 则O(0,0,0),A(3a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),D(0,-a,0),P(3a,0,2a),F(a,0,a), 则=(-3a,a,-2a),=(-2a,0,a). ∵=6a2+0-6a2=0, ∴PB⊥AF. (2)解由(1)知=(-3a,-a,0),=(-2a,0,a),=(-3a,a,-2a), 设平面AFD的法向量n=(x,y,z), 则 取x=,则n=(,-3,2), 设直线PB与平面AFD所成角为θ, 则直线PB与平面AFD所成角的正弦值为 sin θ=. 17.(1)解由题意抛物线y2=2px过点A(1,1), 所以p=,所以抛物线的方程为y2=x. (2)证明设过点P(3,-1)的直线方程为x-3=m(y+1),即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),x1≠1,x2≠1,则y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1k2==-,所以k1k2为定值. 18.解(1)联立消去y整理得(1-k2)x2+2kx-5=0.由题意知解得-1<k<1,即实数k的取值范围为(-1,1). (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=-. S△POQ=|x1-x2|=,所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2)2,即-2+=20,解得k=0或k=±.又±∉(-1,1),所以k=0. 19.解(1)由题意知,e=,则a=c,b=c. 当直线AB的斜率为0时,|AB|+|CD|=2a+=2c+c=3,∴c=b=1,∴a=, ∴椭圆的标准方程为+y2=1. (2)①当直线AB与CD中有一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,由题意知四边形ADBC的面积S=|AB||CD|=×2=2. ②当两条直线的斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0,则直线CD的方程为y=-(x-1). 将直线AB的方程代入椭圆方程,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,由题意可知Δ>0,∴x1+x2=,x1x2=,∴|AB|=,同理可得|CD|=,∴四边形ADBC的面积S=|AB||CD|==2-. ∵2+1≥2×+1=9, 当且仅当k=±1时,等号成立, ∴四边形ADBC的面积S∈,2. 综上可知,四边形ADBC的面积的取值范围为,2. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$