第三章 函数的概念与性质 单元测试-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章　函数的概念与性质（单元测试） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则f(2x＋1)的定义域为(　　) A.(－1，1) B. C.(－1，0) D. 2.下列各组函数表示相等函数的是(　　) A.y＝与y＝x＋3 B.y＝－1与y＝|x|－1 C.y＝|x|－1与y＝1 D.y＝与y＝ 3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 4.长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为(　　) A. B.1 C. D.2 5.已知函数f(x＋1)＝3x－1，则f(x)的解析式是(　　) A.f(x)＝3x－1 B.f(x)＝3x－4 C.f(x)＝3x－2 D.f(x)＝3x＋2 6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 7.已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图象，已知α取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　) A.－2，－，，2 B.2，，－，－2 C.－，－2，2， D.2，，－2，－ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9.已知f(x)＝则下列叙述中正确的有(　　) 　 　 　 10.函数f(x)的图象是折线段ABC，如图所示，其中点A，B，C的坐标分别为(－1，2)，(1，0)，(3，2)，以下说法正确的是(　　) A.f(x)＝ B.f(x－1)的定义域为[－1，3] C.f(x＋1)为偶函数 D.若f(x)在[m，3]上单调递增，则m的最小值为1 11.定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，则下列不等式中成立的是(　　) A.f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b) B.f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) C.f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a) D.f(a)＋f(－b)＞g(b)－g(－a) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上． 12.若，则实数m的取值范围为____________ 13.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[2.3]＝2，[－0.5]＝－1，当x∈(－1.5，2)时，函数y＝[x]x的值域为________ 14.设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知函数f(x)＝－． (1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：函数f(x)在定义域上是减函数． 16.（14分）已知幂函数y＝f (x)经过点． (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间． 17.（16分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 18.（16分）已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x2＋2x． (1)求函数f(x)在R上的解析式； (2)若函数f(x)在区间[－1，m－1]上单调递增，求实数m的取值范围． 19.（18分）已知f (x)是二次函数，且满足f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝2x＋3． (1)求函数f (x)的解析式； (2)设h(x)＝f (x)－2tx，当x∈[1，3]时，求函数h(x)的最小值． 参考答案及解析： 一、单选题 1.B 解析：由题意，令－x2＋2x＋3≥0，即x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，所以函数的定义域为[－1，3]．故选B． 2.B　解析：对于A，y＝的定义域为{x|x≠3}，y＝x＋3的定义域为R，两个函数的定义域不同，不是相等函数．故A错误；对于B，y＝－1＝|x|－1，其定义域为R，y＝|x|－1的定义域为R，两个函数定义域相同且对应法则相同，所以是相等函数，故B正确；对于C，y＝|x|－1与y＝1对应法则不同，不是相等函数．故C错误；对于D，y＝的定义域为{x|x≥1}，y＝的定义域为{x|x≤－1或x≥1}，两个函数的定义域不同，不是相等函数，故D错误．故选B． 3.B　解析：由题意可得－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加，得2g(1)＝6，所以g(1)＝3． 4.B　解析：由题意，S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12，∴当x＝1时，S最大． 5.B　解析：令x＋1＝t，则x＝t－1．由于f(x＋1)＝3x－1，所以f(t)＝3(t－1)－1＝3t－4，所以f(x)＝3x－4．故选B． 6.A　解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10．令2mx－10m＝16m，解得x＝13．故选A． 7.A　解析:当x＜0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，则≥0，解得a≥0；当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤．所以0≤a≤． 8.B　解析：令x＝2，则22＞＞＞2－2，故相对应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，，－，－2．故选B． 二、多选题 9.ACD　解析：作出函数f(x)的图象如图．将f(x)的图象向右平移一个单位长度即可得到f(x－1)的图象，A正确；因为f(x)＞0，所以|f(x)|＝f(x)，图象不变，B错误；y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，C正确；f(|x|)关于y轴对称，当x≥0，f(|x|)＝f(x)，D正确．故选ACD． 10.ACD　 解析：由图可得当－1≤x＜1时，图象过(1，0)，(－1，2)两点，设f(x)＝kx＋b，∴解得f(x)＝－x＋1，当1≤x≤3时，根据图象过点(1，0)，(3，2)，同理可得f(x)＝x－1，∴f(x)＝A正确；由图可得f(x)的定义域为[－1，3]，关于x＝1对称，∴f(x－1)的定义域为[0，4]，f(x＋1)为偶函数，即B错误，C正确；当f(x)在[m，3]上单调递增，则1≤m＜3，故m的最小值为1，D正确．故选ACD． 11.AC　解析：由g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合得，当a＞b＞0时，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)．又由f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，得f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．[f(b)－f(－a)]－[g(a)－f(－b)]＝f(b)－f(－a)－g(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝f(b)＋f(a)－f(a)＋f(b)＝2f(b)＜2f(0)＝0，即f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)，A正确，B错误；[f(a)＋f(－b)]－[g(b)－g(－a)]＝f(a)＋f(－b)－g(b)＋g(－a)＝f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝f(a)－f(b)－f(b)＋f(a)＝2[f(a)－f(b)]＜0，即f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a)，C正确，D错误．故选AC． 三、填空题 12.答案：　 解析：因为幂函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，所以解得－1≤m＜． 13.答案：[0，2)∪(2，3)　 解析：依题意，当－1.5＜x＜－1时，[x]＝－2，则y＝－2x∈(2，3)；当－1≤x＜0时，[x]＝－1，则y＝－x∈(0，1]；当0≤x＜1时，[x]＝0，则y＝0；当1≤x＜2时，[x]＝1，则y＝x∈[1，2)．所以当x∈(－1.5，2)时，函数y＝[x]x的值域为[0，2)∪(2，3)． 14.答案： 解析：由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又因为f(3)＝1，所以不等式f(x)＋f(－2)＞1，即为f(－2x)＞f(3)．因为f(x)是定义在R上的增函数，所以－2x＞3，解得x＜－．故不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为． 四、解答题 15.(1)解：由x＋1≥0，解得x≥－1， 所以函数f(x)的定义域为[－1，＋∞)． (2)证明：任取x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝(－)－(－)＝－＝ ． 因为－1≤x1＜x2，所以＋＞0，x2－x1＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在[－1，＋∞)上单调递减． 16.解：(1)设幂函数f (x)＝xα，由题意，得f (2)＝2α＝，即α＝－3，故函数解析式为f (x)＝x－3． (2)∵f (x)＝x－3＝， ∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵f (－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f (x)，∴该幂函数为奇函数． 当x＞0时，根据幂函数的性质可知f (x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数， ∵函数f (x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 17.解：(1)设月产量为x台，则总成本为(20 000＋100x)元， 从而f(x)＝ (2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000， 所以当x＝300时，f(x)max＝25 000． 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x单调递减， f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000． 所以当x＝300时 ，f(x)max＝25 000， 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元． 18.解：(1)y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x2＋2x， 所以当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝x2－2x＝－f(x)． 所以f(x)＝－x2＋2x． 故f(x)＝ (2)当x＜0时，可得f(x)在[－1，0]上单调递增； 当x≥0时，f(x)在[0，1]单调递增． 则f(x)在[－1，1]单调递增． 因为函数f(x)在区间[－1，m－1]单调递增，可得－1＜m－1≤1，解得0＜m≤2， 故实数m的取值范围是(0，2]． 19.解：(1)设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f (0)＝c＝2， ∵f (x＋1)－f (x)＝2x＋3， ∴[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2x＋3，即2ax＋a＋b＝2x＋3， ∴∴a＝1，b＝2，∴f (x)＝x2＋2x＋2． (2)由(1)知h(x)＝x2＋(2－2t)x＋2，x∈[1，3]， ∴h(x)的对称轴为x＝t－1， 当t－1≤1，即t≤2时，h(x)在[1，3]单调递增， ∴h(x)min＝h(1)＝5－2t， 当1<t－1<3，即2<t<4时，h(x)在(1，t－1)递减，在(t－1，3)递增， ∴h(x)min＝h(t－1)＝－t2＋2t＋1， 当t－1≥3，即t≥4时，h(x)在[1，3]单调递减， ∴h(x)min＝h(3)＝17－6t． 综上：当t≤2时，h(x)min ＝5－2t；当2<t<4时，h(x)min＝－t2＋2t＋1； 当t≥4时，h(x)min＝17－6t． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$