第9周检测(第一、二章30%+椭圆、双曲线70%)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第9周检测(第一、二章30%+椭圆、双曲线70%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设P为双曲线=1上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若|PF1|=5,则|PF2|=(　　) A.1 B.9 C.3或7 D.1或9 2.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,若经过椭圆C的上顶点和右顶点的直线l经过点(4,-),则椭圆C的短轴长为(　　) A. B.2 C.2 D.4 3.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°,则直线l与平面α所成的角等于(　　) A.130° B.60° C.40° D.50° 4.已知圆O的方程为x2+y2-2mx+4my+4m2+6m+27=0,若圆O的半径小于8,则m的取值范围是(　　) A.(-7,13) B.(-∞,-3)∪(9,+∞) C.(3-2,-3)∪(9,3+2) D.(-7,-3)∪(9,13) 5.椭圆的两个焦点分别为F1(3,0),F2(-3,0),动点P在椭圆上,若△PF1F2的面积的最大值为12,则此椭圆上使得∠F1PF2为直角的点P有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点P(a,b)和点F所连线段的中点在椭圆C上,则椭圆的离心率为(　　) A. B.-1 C. D. 7.已知P是圆F1:(x+3)2+y2=16上的一个动点,点F2(3,0),线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点Q,则点Q的轨迹方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1(x>0) 8.已知P为双曲线C:x2-=1的右支上的一个动点,若点P到直线y=2x+5的距离大于m恒成立,则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.(-∞,] D.(-∞,5] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.渐近线方程为y=±x的双曲线方程可以是(　　) A.-y2=1 B.-y2=1 C.y2-=1 D.=1 10.已知两条直线l1:(a-2)x+3y+2a=0和l2:x+ay+6=0,则下列结论正确的是(　　) A.当a=时,l1⊥l2 B.若l1∥l2,则a=-1或a=3 C.当a=2时,l1与l2相交于点-,- D.直线l1过定点-2,- 11.已知曲线C:x2cos α+y2=1,其中α∈[0,π],则下列结论正确的有(　　) A.方程表示的曲线是椭圆或双曲线 B.若α=,则曲线的焦点坐标为(-1,0)和(1,0) C.若α∈,则曲线的离心率e∈ D.若方程表示的曲线是双曲线,则其焦距的最小值为2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是　　　　 .  13.斜率为的直线与椭圆=1交于A,B两点,M(-2,1)为线段AB的中点,则椭圆的离心率为　　　　　.  14.已知焦点为F1,F2的双曲线C的离心率为,点P为C上一点,且满足2|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为2,则双曲线C的实轴长为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知直线l:y=x-1过圆M的圆心,圆心M在第一象限内,圆M的半径是1,且与直线3x+4y-5=0相切. (1)求圆M的标准方程; (2)过直线m:x+y=0上任意一点P向圆M作切线,切点为点A,求切线长|PA|的最小值. 16.(15分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线C的右支上,且|MF1|-|MF2|=2,离心率e=2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若∠F1MF2=60°,求△F1MF2的面积. 17.(15分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)经过点P(2),焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l与双曲线C相交于A,B两点,M(4,2)是弦AB的中点,求AB的长度. 18.(17分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为8,离心率e=. (1)求双曲线C的方程; (2)直线l与双曲线C相交于P,Q两点,弦PQ的中点坐标为A(8,3),求直线l的方程. 19.(17分)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,已知AB∥CD,AD⊥CD,AB=AD=CD. (1)求证:BF∥平面CDE; (2)求平面BDF与平面CDE所成夹角的余弦值. 参考答案 1.B　根据题意,双曲线的方程为=1, 其中a==2,c=. 又由P是双曲线上一点, 则有||PF1|-|PF2||=2a=4. 又由|PF1|=5,则|PF2|=1或9. 又由|PF2|>c-a=-2,故|PF2|=9. 故选B. 2.C　因为=e=,所以a=2b. 由题意知直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0, 所以x+2y-a=0. 因为直线l经过点(4,-), 所以×4+2×(-)-a=0,解得a=2. 所以2b=×2=2. 所以椭圆C的短轴长为2.故选C. 3.C　∵直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°, ∴它们所在直线的夹角为50°, 则直线l与平面α所成的角等于90°-50°=40°. 故选C. 4.D　因为圆O的方程为x2+y2-2mx+4my+4m2+6m+27=0, 所以圆O的标准方程为(x-m)2+(y+2m)2=m2-6m-27, 故0<m2-6m-27<82,解得-7<m<-3或9<m<13, 所以m的取值范围为(-7,-3)∪(9,13). 故选D. 5.A　当△PF1F2的面积取最大值时,点P在短轴的顶点处,此时·2c·b=12, 即bc=12.由题意可得c=3,所以b=4. 椭圆上使得∠F1PF2最大的点P在短轴顶点处,因为b>c,所以∠F1PO<45°,所以∠F1PF2<90°, 所以此椭圆上使得∠F1PF2为直角的点P一个也没有.故选A. 6.B　由题意,设椭圆的右焦点为F(c,0), 则线段PF的中点为, 代入椭圆方程=1得=1, 整理得c2+2ac-2a2=0, 方程两边同除以a2得,e2+2e-2=0,解得e=-1±, 因为e>0,故e=-1.故选B. 7.C　∵P是圆F1上一动点,点F2的坐标为(3,0),线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点Q, ∴|QP|=|QF2|,||QF1|-|QF2||=|PF1|=4<|F1F2|=6. ∴点Q的轨迹为双曲线,且a=2,c=3,b=, ∴点Q的轨迹方程为=1.故选C. 8.C　双曲线C的渐近线方程为y=±2x,直线y=2x+5与其中一条渐近线y=2x平行,二者之间的距离d=,且直线y=2x+5在直线y=2x的左边, 由题意知点P到直线y=2x+5的距离大于,所以m≤, 所以实数m的取值范围为(-∞,].故选C. 9.BC　-y2=1的渐近线方程为y=±x. -y2=1的渐近线方程为y=±x. y2-=1的渐近线方程为y=±x. =1的渐近线方程为y=±2x.故选BC. 10.ACD　对于A,当a=时,直线l1的斜率为,直线l2的斜率为-2,因为斜率相乘为-1,所以l1⊥l2,故A正确; 对于B,当a=3时,l1与l2重合,故B错误; 对于C,当a=2时,直线l1:3y+4=0,直线l2:x+2y+6=0,联立得所以l1与l2相交于点-,-,故C正确; 对于D,直线l1:(a-2)x+3y+2a=0可化为a(x+2)+(-2x+3y)=0,由解得 即直线l1过定点-2,-,故D正确. 11.BCD　对于A,当α=时,曲线C:y2=1,表示直线y=1或y=-1,故A错误; 对于B,当α=时,曲线方程为+y2=1,可知曲线C为焦点为(-1,0)和(1,0)的椭圆,故B正确; 对于C,当α∈时,曲线方程为+y2=1, 因为cos α∈,可得曲线C为焦点在x轴上的椭圆,a2=,b2=1,则c2=-1, 所以离心率e=,因为cos α∈, 所以e∈,故C正确; 对于D,若方程表示的曲线是双曲线,因为曲线方程为+y2=1,所以<0,即cos α<0, 故α∈,π, 所以b2=-,a2=1, 所以c2=-+1, 因为-1≤cos α<0, 所以-∈[1,+∞), 所以c2=-+1∈[2,+∞),故c2≥2,所以c≥, 故焦距2c≥2,所以其焦距的最小值为2,故D正确. 故选BCD. 12.-2,∪,+∞　∵a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1), ∴|a|=, |b|=, a·b=-3-2(x-1)-3=-2x-4. 设向量a与b的夹角为θ, ∵a与b夹角为钝角, ∴cos θ=<0,且, ∴<0且, ∴x>-2且x≠,即x的取值范围是-2,∪,+∞. 13.　设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2, 则直线AB的斜率kAB=, 即y1-y2=(x1-x2). 因为A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆=1上, 所以两式相减得=0, 因为M(-2,1)为线段AB的中点,所以x1+x2=-4,y1+y2=2, 代入化简得,-4·+2·=0, 由题意知,x1≠x2,x1-x2≠0, 所以化简得, 则a2>b2,显然,椭圆的焦点位于x轴上, 所以椭圆的离心率e=. 14.　∵2|PF1|=3|PF2|, ∴|PF1|>|PF2|. 由双曲线定义可知,|PF1|-|PF2|=2a, ∴|PF1|=6a,|PF2|=4a. ∴cos∠F1PF2=. 又e=, ∴c=a, ∴cos∠F1PF2=. 又∠F1PF2∈[0,π), ∴sin∠F1PF2=. 则|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×24a2×=2, ∴2a2=1. 又a>0,∴a=, 故双曲线C的实轴长为. 15.解(1)设圆心M(a,a-1),则=1,解得a=2或a=(舍去), 故圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. (2)圆心M(2,1)到直线x+y=0的距离d=, 故|PA|=, 当PM与直线m垂直时,切线长|PA|取得最小值. 16.解(1)由题意|MF1|-|MF2|=2a, ∴2a=2⇒a=1. 又e==2⇒c=2, ∴b2=c2-a2=3. 故双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)设|MF1|=m,|MF2|=n, 则由双曲线定义可得m-n=2, ① 由余弦定理得m2+n2-2mncos 60°=4c2=16, ② ①2-②得mn=12, ∴△F1MF2的面积S=mnsin 60°=3. 17.解(1)焦点F(c,0)到渐近线y=x的距离d==b=, 将点P(2)代入双曲线C的方程得=1,解得a=2(负值舍去),故双曲线C的方程为=1. (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 由 得, 得, 从而直线l的方程为y=x-4. 联立 得6x2-48x+76=0,则x1+x2=8,x1x2=, 从而|AB|=|x1-x2| =. 18.解(1)∵实轴长为8,离心率e=, ∴2a=8,e=,又a2+b2=c2,即a=4,c=5,b=3. 故双曲线C的标准方程为=1. (2)设P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), ∵线段PQ的中点为(8,3), ∴x1+x2=16,y1+y2=6. ∵=1,=1, ∴=0, 整理得,即直线l的斜率为, ∴直线l的方程为y-3=(x-8), 即3x-2y-18=0. 19.(1)证明∵AF∥DE,AF⊄平面CDE,DE⊂平面CDE, ∴AF∥平面CDE. 同理,AB∥平面CDE. 又AF∩AB=A,且AF,AB⊂平面ABF, ∴平面ABF∥平面CDE. 又BF⊂平面ABF, ∴BF∥平面CDE. (2)解∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直, 正方形ADEF与梯形ABCD交于AD,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD, ∴CD⊥平面ADEF. 又DE⊂平面ADEF, ∴CD⊥ED. ∵四边形ADEF为正方形, ∴AD⊥DE. ∴AD,CD,ED两两垂直, ∴以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设AD=1,可知AB=DE=1,CD=2, 则D(0,0,0),B(1,1,0),F(1,0,1),C(0,2,0),E(0,0,1),=(1,1,0),=(1,0,1). 设平面BDF的法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,得y=-1,z=-1,则n=(1,-1,-1), =(1,0,0)为平面CDE的一个法向量, 设平面BDF与平面CDE所成夹角为θ, 则cos θ=|cos<,n>|=, ∴平面BDF与平面CDE所成夹角的余弦值为. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$