精品解析：四川省达州市大竹县第二中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟测试题

四川省达州市大竹县第二中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟测试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. -1 B. C. D. 2. 下列数据不能确定物体位置的是（ ） A 4楼8号 B. 北偏东30° C. 希望路25号 D. 东经118°、北纬40° 3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，6，7 B. 6，8，10 C. 7，24，25 D. 9，12，15 4. 100名学生进行20秒钟跳绳测试，测试成绩统计如下表： 跳绳个数x 20<x≤30 30<x≤40 40<x≤50 50<x≤60 60<x≤70 x>70 人数 5 2 13 31 23 26 则这次测试成绩的中位数m满足 ( ) A. 40<m≤50 B. 50<m≤60 C. 60<m≤70 D. m>70 5. 已知在一次函数y＝kx＋3中，当x＝2时，y＝5，则k的值为( ) A. 1 B. －1 C. 5 D. －5 6. 如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解,那么的值是( ) A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 7. 如图，，平分，，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（ ） A. （4，8） B. （5，8） C. （，） D. （，） 10. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最大时点的坐标为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分） 11. 某公司对A应聘者进行创新、综合知识、语言三项测试，A的三项成绩分别为72分、50分、88分，若给这三个分数分别赋予权4、3、1，则A的加权平均分数为_________． 12. 已知是二元一次方程组的解，则m＋3n的值为________． 13. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为_________． 14. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于___ 15. 如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y=x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和y=x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△AnBnCn的面积为_____．（用含正整数n的代数式表示） 三、解答题（本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程组 （1）（消元法） （2）（加减法） 18. 已知，， 求：（1）； （2）． 19. 某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天花去住宿费1 510元，两种客房各租住多少间？ 20. 某中学数学活动小组为了调查居民的用水情况，从某社区的户家庭中随机抽取了户家庭的月用水量，结果如下表所示： 月用水量（吨） 户数 求这户家庭月用水量平均数、众数和中位数； 根据上述数据，试估计该社区的月用水量； 由于我国水资源缺乏，许多城市常利用分段计费的方法引导人们节约用水，即规定每个家庭的月基本用水量为（吨），家庭月用水量不超过（吨）的部分按原价收费，超过（吨）的部分加倍收费．你认为上述问题中的平均数、众数和中位数中哪一个量作为月基本用水量比较合适？简述理由． 21. 如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 22. （1）已知：如图1，，，可推得，理由如下： （已知），且（__________________），（等量代换）， （__________________），∠_________（__________________）.又：（已知），（__________________），（__________________）. （2）已知：如图2，，，那么与相等吗？试说明理由. 23. 已知，建立如图所示的直角坐标系，正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识： （1）求出的面积； （2）判断是什么形状？并说明理由； （3）求直线的函数表达式． 24. （1）已知：是等腰三角形，其底边是，点D在线段上，E是直线上一点，且，若（如图①）．求证：； （2）若将（1）中的“点D在线段上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由； （3）若将（1）中的“若”改为“若”，其它条件不变，则的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程） 25. 如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足． （1）求直线的解析式； （2）若点为直线在第一象限上一点，且是等腰直角三角形，求值； （3）如图3，过点直线交轴负半轴于点，点的横坐标为，过点的直线交于点，若的值不变，请你加以证明和求出其值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省达州市大竹县第二中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟测试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、-1是整数，属于有理数，不符合题意； B、是分数，属于有理数，不符合题意； C、是无限循环小数，属于有理数，不符合题意； D、是开方开不尽的数，属于无理数； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，熟悉无理数和有理数的区别是解题的关键． 2. 下列数据不能确定物体位置的是（ ） A. 4楼8号 B. 北偏东30° C. 希望路25号 D. 东经118°、北纬40° 【答案】B 【解析】 【分析】在同一平面内，确定一点的位置需要两个数据，且这两个数据必须唯一确定一个位置； 例如选项A，4楼只有一个8号，因此可以确定物体的位置，接下来对其它选项进行判断，问题即可得解. 【详解】选项A中，4楼8号可确定物体的位置； 选项B中，只给出了方向为北偏东30°，没有说明距离，因此不能确定物体的位置； 选项C中，希望路25号可确定物体的位置； 选项D中，东经118°，北纬40°是用经度、纬度来确定物体的位置. 故选B. 【点睛】本题考查了坐标确定点位置，要明确，一个有序数对才能确定一个点的位置．要求学生熟练并牢记解此类题型的方法，细心做题，以防出错． 3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，6，7 B. 6，8，10 C. 7，24，25 D. 9，12，15 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系成为解题的关键． 分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理判断能否构成直角三角形即可解答． 【详解】解：A、由，则2、6、7不能构成直角三角形，符合题意． B、由，则6、8、10能构成直角三角形，不符合题意； C、由，则7、24、25能构成直角三角形，不符合题意； D、由，则9、12、15能构成直角三角形，不符合题意． 故选A． 4. 100名学生进行20秒钟跳绳测试，测试成绩统计如下表： 跳绳个数x 20<x≤30 30<x≤40 40<x≤50 50<x≤60 60<x≤70 x>70 人数 5 2 13 31 23 26 则这次测试成绩的中位数m满足 ( ) A. 40<m≤50 B. 50<m≤60 C. 60<m≤70 D. m>70 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定人数的奇偶性，然后确定中位数的位置，最后确定中位数的范围． 【详解】解：∵一共有100名学生参加测试， ∴中位数应该是第50名和第51名成绩的平均数， ∵第50名和第51名的成绩均在50＜x≤60， ∴这次测试成绩的中位数m满足50＜x≤60， 故选B． 【点睛】本题考查了中位数的确定，解题的关键是根据人数的奇偶性确定中位数的位置，进而确定其中位数． 5. 已知在一次函数y＝kx＋3中，当x＝2时，y＝5，则k的值为( ) A. 1 B. －1 C. 5 D. －5 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵一次函数y=kx+3中，当x=2时，y=5， ∴2k+3=5，解得k=1， 故选A． 6. 如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解,那么的值是( ) A 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的解，然后代入可求出a的值． 【详解】解：， 由①+②，可得2x＝4a， ∴x＝2a， 将x＝2a代入①，得 2a-y=a， ∴y＝2a﹣a＝a， ∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解， ∴将代入方程3x﹣5y﹣7＝0，可得6a﹣5a﹣7＝0， ∴a＝7， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 7. 如图，，平分，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，熟练掌握平分线的性质定理是解题的关键． 依据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原式各项化简得到结果，即可做出判断． 【详解】A、原式，正确； B、原式，错误； C、为最简结果，不能合并，错误； D、原式，错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 9. 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（ ） A. （4，8） B. （5，8） C. （，） D. （，） 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到OA=OD，两对角相等，利用HL得到直角三角形BOC与直角三角形BOD全等，利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到OE=EB，在直角三角形OCE中，设CE=x，表示出OE，利用勾股定理求出x的值，确定出CE与OE的长，进而由三角形COE与三角形DEF相似，求出DF与EF的长，即可确定出D坐标． 【详解】解：如图， ∵矩形ABCO中，OA=8，OC=4， ∴BC=OA=8，AB=OC=4， 由折叠得到OD=OA=BC，∠AOB=∠DOB，∠ODB=∠BAO=90°， 在Rt△CBO和Rt△DOB中， ， ∴Rt△CBO≌Rt△DOB（HL）， ∴∠CBO=∠DOB， ∴OE=EB， 设CE=x，则EB=OE=8-x， 在Rt△COE中，根据勾股定理得：（8-x）2=x2+42， 解得：x=3， ∴CE=3，OE=5，DE=3， 过D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE， ∴，即， 解得：， ∴， 则D（，）， 故选：C． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 10. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最大时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点B关于直线对称点C（2，-），当点P在AC直线上时，最大，点C与点B关于对称，可得PC=PB，由，根据两点之间线段最短最大值为|AC|，求出AC的解析式为，点在直线与直线的交点时，即，解方程组即可． 【详解】解： 作点B关于直线对称点C（2，-）， 当点P在AC直线上时，最大， ∵点C与点B关于对称， ∴PC=PB， ， 根据两点之间线段最短最大值为|AC|， 设AC的解析式为代入坐标得： ， 解得， AC的解析式为， 点在直线与直线的交点时，即 ， 解得， ∴点P（4，-4）． 故选择B． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，两直线组成方程组的解法，掌握待定系数法求一次函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，两直线组成方程组的解法是解题关键． 二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分） 11. 某公司对A应聘者进行创新、综合知识、语言三项测试，A的三项成绩分别为72分、50分、88分，若给这三个分数分别赋予权4、3、1，则A的加权平均分数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，即可求出加权平均数，得到答案． 【详解】解：A的加权平均分数为（分）， 故答案为：． 12. 已知是二元一次方程组的解，则m＋3n的值为________． 【答案】3 【解析】 【详解】试题解析：把代入方程组，得 解得： 故答案为 13. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为_________． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据三角形外角性质可得∠3=30°+∠1，由平行线的性质即可得到∠2=∠3=60°，即可解答． 【详解】解：如图， ∵∠3=∠1+30°， ∵， ∴∠2=∠3=60°， ∴∠1=∠3-30°=60°-30°=30°． 故答案为30°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等，同时也利用了三角形外角性质求角度． 14. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于___ 【答案】6 【解析】 【分析】由全等可知：AH＝DE，BH＝BG＋HG，由直角三角形可得，列出方程即可解决问题 【详解】由全等可知：AH＝BG，BH＝BG＋HG=AH+HG， 四边形EFGH是正方形， ， 在中 设 ，则， ， 即， 解得：（舍去）， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质，勾股定理，解一元二次方程，运用勾股定理列出方程是解题的关键． 15. 如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y=x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和y=x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△AnBnCn的面积为_____．（用含正整数n的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y轴交直线y=x于点B1， ∴B1（2，1） ∴A1B1=2﹣1=1，即△A1B1C1面积=×12=； ∵A1C1=A1B1=1， ∴A2（3，3）， 又∵A2B2∥y轴，交直线y=x于点B2， ∴B2（3，）， ∴A2B2=3﹣=，即△A2B2C2面积=×（）2=； 以此类推， A3B3=，即△A3B3C3面积=×（）2=； A4B4=，即△A4B4C4面积=×（）2=； … ∴AnBn=（）n﹣1，即△AnBnCn的面积=×[（）n﹣1]2=． 三、解答题（本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）7；（2）-1 【解析】 【分析】（1）先拆成两项，然后按照二次根式的除法法则分别计算再相加即可； （2）按照平方差公式 计算即可． 【详解】（1）原式= （2）原式= 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则和平方差公式是解题的关键． 17. 解方程组 （1）（消元法） （2）（加减法） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】解： （1）， 由①得：y＝2x－5③， 把③代入②得：3x－2(2x－5)＝8， ∴x＝2， 把x＝2代入③得：y＝﹣1， 则方程组的解为； （2）， ①×12得：3(y+1)＝4(x＋2)， ∴-4x+3y＝5③， ③＋②得：-2x＝6， ∴x＝-3， 把x＝-3代入②得：y＝， 则方程组的解为； 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组是解题的关键. 18. 已知，， 求：（1）； （2）． 【答案】（1）1；（2）7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式的运用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先算出将的值代入两个式子中计算即可； （2）先算出，的值，再代入求解即可． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ． 19. 某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天花去住宿费1 510元，两种客房各租住多少间？ 【答案】租住三人间8间，租住两人13间． 【解析】 【分析】设租住三人间x间，租住两人间y间，就可以得出3x＋2y＝50,3×25x＋2×35y＝1510，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论． 【详解】设租住三人间x间，租住两人间y间， 由题意，得解得 答：租住三人间8间，租住两人13间． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组. 20. 某中学数学活动小组为了调查居民的用水情况，从某社区的户家庭中随机抽取了户家庭的月用水量，结果如下表所示： 月用水量（吨） 户数 求这户家庭月用水量的平均数、众数和中位数； 根据上述数据，试估计该社区的月用水量； 由于我国水资源缺乏，许多城市常利用分段计费的方法引导人们节约用水，即规定每个家庭的月基本用水量为（吨），家庭月用水量不超过（吨）的部分按原价收费，超过（吨）的部分加倍收费．你认为上述问题中的平均数、众数和中位数中哪一个量作为月基本用水量比较合适？简述理由． 【答案】7；（吨）；众数或中位数较合理， 【解析】 【分析】(1)根据加权平均数计算平均数;众数即出现次数最多的数据,中位数应是第15个和第16个数据的平均数； (2)根据样本平均数估计总体平均数，从而计算该社区的月用水量; (3)因为这组数据中，极差较大，用平均数不太合理，所以选用众数或中位数,有代表性. 【详解】这户家庭月用水量的平均数（吨） 出现了次，出现的次数最多，则众数是， ∵共有个数， ∴中位数是第、个数的平均数， ∴中位数是（吨）， ∵社区共户家庭， ∴该社区的月用水量（吨）； 众数或中位数较合理. 因为满足大多数家庭用水量，另外抽样的户家庭用水量存在较大数据影响了平均数． 【点睛】本题主要考查了众数、中位数、平均数的定义，解本题的要点在于掌握平均数的计算方法，理解众数和中位数的概念，能够正确找到众数和中位数，学会运用平均数、众数和中位数解决实际问题. 21. 如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 【答案】（1）40；（2）卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为0.2分钟． 【解析】 【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可； （2）根据题意可知，图中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30°，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可． 【详解】（1）过点A作AD⊥ON于点D， ∵∠NOM=30°，AO=80m， ∴AD=40m， 即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米； （2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m， ∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°， ∴AD=OA=×80=40m， 在Rt△ABD中，AB=50，AD=40， 由勾股定理得：BD==30m， 故BC=2×30=60米， 即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响． ∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即18000÷60=300米/分钟， ∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2（分钟）． 答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为0.2分钟． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理的应用，正确画出图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 22. （1）已知：如图1，，，可推得，理由如下： （已知），且（__________________），（等量代换）， （__________________），∠_________（__________________）.又：（已知），（__________________），（__________________）. （2）已知：如图2，，，那么与相等吗？试说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）根据对顶角性质和已知推出∠2＝∠CGD，推出CE∥BF，根据平行线的性质推出∠BFD＝∠B即可； （2）根据平行线的性质和判定推出∠A＝∠EBC，∠E＝∠EBC，即可得出答案． 【详解】（1）理由如下： （已知），且（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴∠C（两直线平行，同位角相等）. 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）. （2）相等. 理由如下：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）. ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）. ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）. 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行线的性质和判定进行推理和证明，题目比较典型． 23. 已知，建立如图所示的直角坐标系，正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识： （1）求出的面积； （2）判断是什么形状？并说明理由； （3）求直线的函数表达式． 【答案】（1）13； （2）是直角三角形． （3）． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的逆定理．熟知相关性质、方法是正确解决本题的关键． （1）用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出的面积． （2）根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． （3）设直线的函数表达式为，把，代入得出方程组，解方程组即可． 【小问1详解】 解：的面积． 故的面积为13； 【小问2详解】 解：是直角三角形； 理由如下： ∵正方形小方格边长为1， ， ， ， ∵在中，，， ， ∴是直角三角形． 【小问3详解】 解：设直线的函数表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 24. （1）已知：是等腰三角形，其底边是，点D在线段上，E是直线上一点，且，若（如图①）．求证：； （2）若将（1）中的“点D在线段上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由； （3）若将（1）中的“若”改为“若”，其它条件不变，则的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程） 【答案】（1）证明过程见解析；（2）成立；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）作交于F，由平行线的性质得出，，，证明是等边三角形，得出，证出是等边三角形，，得出，由已知条件得出，，由证明，得出，即可得出结论； （2）作交的延长线于F，同（1）证出，得出，即可得出结论； （3）作交于F，同（1）得：，得出，证出是等腰直角三角形，得出，即可得出结果． 【详解】解：（1）作交于F，如图1所示： 则，，， ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴（）， ∴， ∴； （2）成立； 理由如下：作交的延长线于F，如图2所示： 同（1）得：，，，， 又∵， ∴（）， ∴， ∴； （3）； 理由如下：作交于F，如图3所示： 同（1）得：（）， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足． （1）求直线的解析式； （2）若点为直线在第一象限上一点，且是等腰直角三角形，求的值； （3）如图3，过点的直线交轴负半轴于点，点的横坐标为，过点的直线交于点，若的值不变，请你加以证明和求出其值． 【答案】（1） （2）或或 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况：当为直角时；当是直角时；当是直角时，分别求解即可； （3）分别求出、、三点的坐标，再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∴点，， 设直线的表达式为， 将点，代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：当为直角时， ， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把点代入得， 解得：； 当是直角时，同理可得，故； 当直角时， ， 同理可得，故； 综上所述，或或； 小问3详解】 解：∵点在直线上，点的横坐标为， ∴， 联立，解得， ∴， ∵直线交轴负半轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴为常数． 【点睛】本题考查了一次函数综合应用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质、全等三角形、勾股定理等知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$