第6周检测(高一30%+第一章20%+第二章50%)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第6周检测(高一30%+第一章20%+第二章50%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合A={x|ln x≥1},B={x|1<x<3},则A∩B=(　　) A.⌀ B.{x|e<x<3} C.{x|e≤x<3} D.{x|x>1} 2.奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-2)=0,则不等式xf(x)>0的解集是(　　) A.(-2,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 3.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-1)2+(y+2)2=1,则圆C1与C2的位置关系是(　　) A.内含 B.相交 C.外切 D.外离 4.在△ABC中,已知a=3,b=4,c=,则角C为(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 5.已知在圆M:x2+y2-4x+2y-4=0内,过点O(0,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 6.圆C1:(x-1)2+y2=4与圆C2:(x+1)2+(y-3)2=9的相交弦所在的直线为l,则直线l被圆O:x2+y2=4截得的弦长为(　　) A. B.4 C. D. 7.已知P为圆M:(x-)2+(y-)2=1上的一动点,O为坐标原点,则|OP|的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切,则ab的最大值为(　　) A.2 B. C. D.4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况,抽出了一个样本量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)内的学生有60人,则下列说法正确的是(　　) A.样本中支出在[50,60)内的频率为0.03 B.样本中支出不少于40元的人数为132 C.n的值为200 D.若该校有2 000名学生,则一定有600人支出在[50,60)内 10.已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=25,直线l:3x-4y+m=0,圆C上恰有3个点到直线l的距离为3,则m的值可以为(　　) A.-13 B.-8 C.12 D.17 11.已知直线l:mx+(m+2)y-2m-2=0(m∈R),圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,点P为圆C上的任意一点,则下列说法正确的有(　　) A.直线l恒过定点(1,1) B.直线l与圆C恒有两个公共点 C.直线l被圆C截得的最短弦长为2 D.当m=-1时,点P到直线l的距离的最大值是5+ 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若向量a,b不共线,且a+mb与-(b-2a)共线,则实数m的值为　　　　　.  13.圆O:x2+y2+2x-2y+1=0关于直线x-y+3=0的对称圆的标准方程是　.  14.直线l:2mx+y-m-1=0与圆C:x2+(y-2)2=4交于A,B两点,则当弦AB最短时,直线l的方程为　　　　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:2x-y-4=0与l2:x-y-1=0的交点为C,以C为圆心作圆,圆C上的点到x轴的最小距离为1. (1)求圆C的标准方程; (2)过点A(0,3)作圆C的切线,求切线的方程. 16.(15分)某校进行一次数学竞赛,从参加竞赛的同学中,选取50名同学将其成绩分成6组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到频率分布直方图(如图).观察图中的信息,回答下列问题: (1)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计本次考试成绩的平均数; (2)利用频率分布直方图估计本次考试成绩的第65百分位数; (3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级,其中成绩不小于90分时为优秀,若从第5组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率. 17.(15分)在如图所示的多面体ABCDFE中,四边形ABCD为菱形,在梯形ABEF中,AF∥BE,AF⊥AB,AB=BE=2AF=2,平面ABEF⊥平面ABCD. (1)证明:BD⊥平面ACF; (2)若二面角F-CD-B的大小为,求直线AC与平面CEF所成角的正弦值. 18.(17分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求点M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求直线l的方程及△POM的面积. 19.(17分)已知直线l经过点P(-2,0),且与圆C:(x-4)2+(y-3)2=9相交于A,B两点. (1)若CA⊥CB,求直线l的斜率; (2)若=λ(λ>0),求λ的取值范围. 参考答案 1.C　由ln x≥1,得x≥e,即A={x|x≥e},则A∩B={x|e≤x<3}.故选C. 2.D　∵奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-2)=0, ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=-f(-2)=0. ∴不等式xf(x)>0等价于 即解得x>2或x<-2. 故选D. 3.D　圆C1:x2+y2=1,圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为C2(1,-2),半径r2=1,由|C1C2|=>2=r1+r2,所以圆C1与C2的位置关系是外离.故选D. 4.B　由a=3,b=4,c=,得cos C=,因为0°<C<180°,所以C=60°.故选B. 5.D　将圆M的方程化成标准形式为(x-2)2+(y+1)2=9,所以圆心为(2,-1),半径为3. 因为点(0,0)到圆心的距离为,小于半径3,所以点(0,0)在圆内,所以过点O(0,0)的最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是O(0,0),且AC⊥BD. |AC|=2×3=6,|BD|=2=4, 则S四边形ABCD=|AC|·|BD|=×6×4=12. 故选D. 6.D　圆C1:(x-1)2+y2=4与圆C2:(x+1)2+(y-3)2=9的方程相减可得直线l的方程2x-3y+2=0, 圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径r=2,圆心O到直线l:2x-3y+2=0的距离为d=, 可得所求弦长为2=2.故选D. 7.D　圆M:(x-)2+(y-)2=1的圆心为M(),半径为r=1, 由题意得|OM|==3>1,故点O在圆外, 所以|OP|的最大值为|OM|+r=4.故选D. 8.A　圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4的圆心为C1(a,-2),半径r1=2, 圆C2:(x+b)2+(y+1)2=1的圆心为C2(-b,-1),半径r2=1, 由圆C1与圆C2外切,得|C1C2|=r1+r2, 即=3, ∴(a+b)2=8,要使ab取得最大值,则a,b同号,不妨取a>0,b>0, 由基本不等式,得ab≤2==2,当且仅当a=b=时,等号成立, ∴ab的最大值为2.故选A. 9.BC　由频率分布直方图,得样本中支出在[50,60)内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误; 样本中支出不少于40元的人数为×60+60=132,故B正确; n==200,故n的值为200,故C正确; 若该校有2 000名学生,则可能有600人支出在[50,60)内,故D错误. 10.BC　因为圆C上恰有3个点到直线l的距离为3, 所以圆心C(2,2)到直线l:3x-4y+m=0的距离为5-3=2, 即=2,解得m=-8或m=12. 故选BC. 11.ABD　对于A,直线l:m(x+y-2)+2y-2=0,令解得 所以直线l恒过定点(1,1),故A正确; 对于B,因为直线l过定点(1,1),且(1-1)2+(1-2)2=1<25,所以定点(1,1)在圆C内,所以直线l与圆C恒有两个公共点,故B正确; 对于C,当直线l与过定点和圆心的直线垂直时,直线l被圆C截得的弦长最短,定点和圆心之间的距离为=1,所以最短弦长为2×=4,故C错误; 对于D,当m=-1时,直线l:x-y=0,圆心到直线l的距离是,所以点P到直线l的距离的最大值是5+,故D正确.故选ABD. 12.-　因为a+mb与-(b-2a)共线,且a,b不共线, 所以存在实数λ(λ≠0)使得-(b-2a)=λ(a+mb)成立,即(2-λ)a=(λm+1)b. 因为向量a,b不共线, 所以所以m=-. 13.(x+2)2+(y-2)2=1　因为圆x2+y2+2x-2y+1=0转化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=1, 所以其圆心为(-1,1),半径为1. 设(-1,1)关于直线x-y+3=0的对称点为(a,b), 则有 解得 故所求圆的圆心为(-2,2),半径为1. 所以所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=1. 14.2x-4y+3=0　根据题意,圆C的圆心C为(0,2),半径r=2,直线l:2mx+y-m-1=0恒过点P,1. 当CP与AB垂直,即P为弦AB的中点时,弦AB最短, kCP==-2,则此时kAB=, 此时-2m=⇒m=-, 此时直线AB的方程为-x+y-=0,变形可得2x-4y+3=0. 15.解(1)根据题意,联立得C(3,2). 设圆C的半径为r,由题意知2-r=1,则r=1, 故圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=1. (2)过点A(0,3)作圆C的切线,切线的斜率必存在. 设切线方程为y=kx+3. 由题意=1,解得k=0或k=-. 故所求的切线方程为y=3或3x+4y-12=0. 16.解(1)由频率分布直方图可知平均数=(45×0.01+55×0.026+65×0.02+75×0.03+85×0.008+95×0.006)×10=66.8. (2)成绩在[40,70)的频率为(0.01+0.026+0.02)×10=0.56,成绩在[40,80)的频率为0.56+0.03×10=0.86, 故第65百分位数位于区间[70,80)内,设其为x, 则0.56+(x-70)×0.03=0.65,解得x=73,故本次成绩的第65百分位数估计为73. (3)第5组的人数为50×0.008×10=4,可记为A,B,C,D;第6组的人数为50×0.006×10=3,可记为a,b,c. 则从中任取2人,有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(A,c),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(B,c),(C,D),(C,a),(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),(b,c),共21种情况, 其中至少1人成绩优秀的情况有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),(b,c),共15种情况, 故至少1人成绩优秀的概率为P=. 17.(1)证明∵平面ABEF⊥平面ABCD,AF⊥AB,AF⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB, ∴AF⊥平面ABCD. 又BD⊂平面ABCD, ∴AF⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形, ∴BD⊥AC. 又AF∩AC=A,AF,AC⊂平面ACF, ∴BD⊥平面ACF. (2)解设AC∩BD=O,以O为原点,OC,OB为x轴、y轴建立空间直角坐标系. 设∠ADB=θ,θ∈0,,则A(-2sin θ,0,0),F(-2sin θ,0,1),C(2sin θ,0,0),D(0,-2cos θ,0),E(0,2cos θ,2). 平面CDB的一个法向量n=(0,0,1), 设平面CDF的法向量m=(x,y,z),=(-4sin θ,0,1),=(2sin θ,2cos θ,0), 则 即 取x=cos θ,则m=(cos θ,-sin θ,4sin θcos θ). 由二面角F-CD-B的大小为,可得cos, 即, 解得sin 2θ=. 又θ∈0,,∴θ=. ∴A(-1,0,0),F(-1,0,1),C(1,0,0),E(0,,2),=(-2,0,1),=(-1,,2),=(-2,0,0). 设平面CEF的法向量i=(x,y,z), 则取x=1,可得i=(1,-,2). 故直线AC与平面CEF所成角的正弦值为|cos<,i>|=. 18.解(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4. 设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y). 由题设知=0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故点O在线段PM的垂直平分线上. 又点P在圆N上,从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3, 所以直线l的斜率为-, 故直线l的方程为y=-x+. 又|OP|=|OM|=2,点O到直线l的距离为,所以|PM|=,所以△POM的面积为. 19.解(1)由题意易知圆心C(4,3),半径r=3,易知直线l存在斜率,设其方程为y=kx+2k,若CA⊥CB,则△ABC为等腰直角三角形, 所以圆心C(4,3)到直线y=kx+2k的距离d=,解得k=1或k=. (2)同上,设直线l的方程为y=kx+2k,圆心到直线l的距离为d=|CD|,则易知|AB|=2=2,|PA|=|PD|-|AB|=,而λ=, 易知d∈[0,3),则9-d2∈(0,9], 则∈[4,+∞), 所以λ=. 故λ的取值范围为,+∞. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$