第5周检测(高一30%+第一章20%+直线的交点坐标与距离公式50%)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第5周检测(高一30%+第一章20%+直线的交点坐标与距离公式50%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列函数是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.y=x B.y=-x2 C.y=|x| D.y= 2.已知直线l经过点A(0,4),且与直线2x-y-3=0垂直,则直线l的方程是(　　) A.2x-y+4=0 B.x+2y+8=0 C.2x-y-4=0 D.x+2y-8=0 3.设A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,2)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是(　　) A.(-∞,-1]∪[5,+∞) B.[-5,1] C.[-1,5] D.(-∞,-5]∪[1,+∞) 4.设a∈R,则“a<0”是“a3<a2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若直线ax+y-a+1=0与直线(a-2)x-3y+a=0垂直,则实数a的值为(　　) A.-1或3 B.1或-3 C.-1或-3 D.1或3 6.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量在向量上的投影向量为(　　) A. B.,- C.-,- D.- 7.函数f(x)=的图象大致是(　　) 8.已知点M(1,-2),N(4,4),H是直线l:2x-y+1=0上的动点,则|HM|+|NH|的最小值为(　　) A. B.3 C. D.6 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知直线l1:4x-3y+4=0,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则(　　) A.直线l2过定点(-3,-1) B.当m=1时,l1⊥l2 C.当m=2时,l1∥l2 D.当l1∥l2时,两直线l1,l2之间的距离为1 10.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x-2y+2=0与l2:x-2y+8=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离可能为(　　) A. B.2 C.2 D. 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则(　　) A.BC1⊥DA1 B.BC1⊥CA1 C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为60° D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,F,G分别是AB,CC1的中点,则点A1到平面BGF的距离为　　　　　.  13.已知点A(-1,2),B(1,4),若直线l过点M(-2,-3),且A,B到直线l的距离相等,则直线l的一般式方程为　　　　　　　　　.  14.若A(2,5),B(4,1),则直线AB的方程为　　　　　　;点P(x,y)在线段AB上,则xy的最大值为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中,顶点B(3,4),C(5,2),AC边所在直线方程为x-4y+3=0,AB边上的高所在直线方程为2x+3y-16=0. (1)求AB边所在直线的方程; (2)求△ABC的面积. 16.(15分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A是锐角,且b=2asin B. (1)求A; (2)若b+c=13,△ABC的面积为10,求a的值. 17.(15分) 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M为线段AB的中点. (1)证明:BC1∥平面A1CM; (2)求点B1到平面A1CM的距离. 18.(17分)某地积极开展中小学健康促进行动,决定在今年体育中考中再增加一定的分数,规定:考生须参加游泳、长跑、一分钟跳绳三项测试,其中一分钟跳绳满分20分.某校在初三上学期开始要掌握全年级学生一分钟跳绳情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如图所示的频率分布直方图,且规定计分规则如下表: 　 每分钟跳绳个数 [155,165) [165,175) [175,185) [185,215] 得分 17 18 19 20 (1)根据频率分布直方图估计样本数据的25%分位数(保留2位小数). (2)已知在该样本中,得分为17分的同学中恰有两名男生.现从得分为17分的同学中任取2名同学调查平时锻炼时间分配情况,求所抽取的2名同学中至少有1名男生的概率. 19.(17分)已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:-4x+2y+1=0,且直线l1与直线l2的距离是. (1)求a的值; (2)若点P同时满足下列条件: ①P是第一象限的点; ②点P到直线l1的距离是点P到直线l2的距离的; ③点P在直线x-2y+4=0上,求点P的坐标. 参考答案 1.C　y=x是奇函数,故A错误; y=-x2是偶函数,在(0,+∞)上单调递减,故B错误; y=|x|为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故C正确; y=是奇函数,在(0,+∞)上单调递减,故D错误. 故选C. 2.D　因为直线2x-y-3=0的斜率为2,直线l与该直线垂直,所以直线l的斜率k1=-. 又直线l经过点A(0,4),所以直线l的方程为y-4=-x,即x+2y-8=0.故选D. 3.D　由题可得,kPA==-5,kPB==1. 因为直线l过点P(1,2),且与线段AB相交,则k≤-5或k≥1.故选D. 4.A　由a3<a2,得a2(a-1)<0,即a<1且a≠0. 若a<0,可推出a3<a2. 取a=,满足a3<a2,但不满足a<0. 故选A. 5.A　∵直线ax+y-a+1=0与直线(a-2)x-3y+a=0垂直, ∴a(a-2)+1×(-3)=0, 解得a=-1或a=3.故选A. 6.D　∵A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5), ∴=(2,2),=(-1,3),||=, 则向量上的投影向量为 ||cos<=-.故选D. 7.A　令f(x)>0,得x>4或x<0,令f(x)<0,得0<x<4,故排除C,D; 当x→+∞时,f(x)=→0,故排除B. 故选A. 8. C　如图所示,设点M(1,-2)关于直线l的对称点为M'(x0,y0), 则 解得 即M'(-3,0), 所以(|HM|+|NH|)min=(|HM'|+|NH|)min=|NM'|=. 故选C. 9.ACD　l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),化为m(x-y+2)+(2x-y+5)=0, 由解得 所以直线l2过定点(-3,-1),故A正确; 当m=1时,直线l1:4x-3y+4=0,l2:3x-2y+7=0,则4×3+(-3)×(-2)≠0,所以两直线不垂直,故B错误; 当m=2时,直线l1:4x-3y+4=0,l2:4x-3y+9=0,所以两直线平行,故C正确; 当l1∥l2时,,解得m=2,此时直线l1:4x-3y+4=0,l2:4x-3y+9=0,直线l1与l2之间距离为=1,故D正确.故选ACD. 10.ACD　设点M(x,y),则 由题意可得将这两个等式相加可得(x1+x2)-2(y1+y2)+10=0,即2x-4y+10=0,整理得x-2y+5=0,故点M的轨迹方程为x-2y+5=0. 因为原点到直线x-2y+5=0的距离为d=,所以线段AB的中点M到原点的距离的最小值为, 因此线段AB的中点M到原点的距离可能为,2.故选ACD. 11. ABD　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,AD1⊥A1D,则BC1⊥A1D,故A正确; 因为BC1⊥A1D,BC1⊥DC,A1D∩DC=D,A1D,DC⊂平面A1DC,BC1⊄平面A1DC,故BC1⊥平面A1DC. 又CA1⊂平面A1DC,所以BC1⊥CA1,故B正确; 设正方体的棱长为1,过点C1作C1H⊥B1D1于点H,连接BH,则∠C1BH即为直线BC1与平面BB1D1D所成角,sin∠C1BH=,则∠C1BH=30°,故C错误; 易知∠C1BC即为直线BC1与平面ABCD所成的角,则∠C1BC=45°,故D正确.故选ABD. 12.　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A1(2,0,2),G(0,2,1),F(2,1,0),B(2,2,0),=(0,2,-2),=(2,-1,-1),=(0,1,0). 设平面BGF的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=0,z=2,得n=(1,0,2),故点A1到平面BGF的距离d=. 13.x-y-1=0或3x-y+3=0　由题知,使过点M(-2,-3)的直线l到点A(-1,2),B(1,4)的距离相等,则直线l与直线AB平行或直线l过线段AB的中点. ①当直线l与直线AB平行时, 则直线l的斜率等于直线AB的斜率,所以直线l的斜率为=1. 故直线l的方程为y+3=x+2,整理得x-y-1=0. ②当直线l过线段AB的中点时, 由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为=(0,3), 故直线l的方程为,即3x-y+3=0. 故直线l的一般式方程为x-y-1=0或3x-y+3=0. 14.2x+y-9=0　　由两点式得,整理为2x+y-9=0. 又P(x,y)在线段AB上, ∴x>0,y>0, ∴xy=·2x·y≤2=×2=,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立, ∴xy的最大值为. 15.解(1)AB边上的高所在直线方程为2x+3y-16=0,即斜率为-, ∴AB边所在直线的斜率为. 又B(3,4),则AB边所在直线的方程为y-4=(x-3),整理得3x-2y-1=0. (2)联立方程解得即A(1,1). ∵B(3,4), ∴|AB|=. 又点C(5,2)到直线AB的距离d=,所以△ABC的面积S=|AB|·d==5. 16.解(1)由正弦定理得sin B=2sin Asin B. ∵sin B≠0, ∴sin A=. 又A为锐角, ∴A=60°. (2)由三角形面积公式,得S=bcsin A=bc=10,则bc=40. 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=49, ∴a=7. 17.(1)证明连接AC1交A1C于点N,则N为线段AC1中点,连接MN. ∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M为线段AB的中点, ∴BC1∥MN. ∵BC1⊄平面A1CM,MN⊂平面A1CM, ∴BC1∥平面A1CM. (2)解∵AC⊥AB,AC⊥AA1,AB∩AA1=A, ∴AC⊥平面A1B1M, ∴×2×2×2=. 在△A1CM中,CM=A1M=,A1C==2,N为线段A1C中点,则MN⊥A1C,MN=. 设点B1到平面A1CM的距离为h, 由, 得·h=×2h=, 解得h=. 18.解(1)前两组的频率为(0.006+0.012)×10=0.18, 前三组的频率为(0.006+0.012+0.034)×10=0.52, 所以样本数据的25%分位数为175+≈177.06. (2)得分为17分的同学共有100×0.006×10=6名,其中男生2名,女生4名. 记2名男生分别为x1,x2,4名女生分别为y1,y2,y3,y4, 则从6名同学中抽取2名的样本空间 Ω={(x1,x2),(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3),(x1,y4),(x2,y1),(x2,y2),(x2,y3),(x2,y4),(y1,y2),(y1,y3),(y1,y4),(y2,y3),(y2,y4),(y3,y4)},共15个样本点. 记事件A=“所抽取的2名中至少有1名男生”, 则A={(x1,x2),(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3),(x1,y4),(x2,y1),(x2,y2),(x2,y3),(x2,y4)},共9个样本点,所以所抽取的2名同学中至少有1名男生的概率为P(A)=. 19.解(1)由题意得直线l2的方程为2x-y-=0,则直线l1和l2的距离为d=,解得a=3或a=-4. 又a>0,则a=3. (2)设点P(x0,y0),x0>0,y0>0,因为点P到直线l1的距离是点P到直线l2的距离的,则P在与直线l1,l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且,解得c=或c=,所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0. 因为P在直线x-2y+4=0上,联立方程组解得P-3,,不符合题意,舍去; 联立方程组解得P,符合题意. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$