精品解析：重庆市第八中学校2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

重庆市第八中学2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 在3，﹣2，0，﹣1这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A. 3 B. ﹣2 C. 0 D. ﹣1 2. 如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对我市辖区内清潩河水质情况的调查 B. 对乘坐高铁的旅客是否携带违禁物品的调查 C. 对某学校每天丢弃塑料袋数量的调查 D. 中央电视台“新闻联播”栏目收视率的调查 4. 如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则可取的整数值有（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 7或8 6. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 用一样长的小木棒按下图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，……，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（ ） A. 36 B. 41 C. 42 D. 46 8. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中为中点为上一点，连接交于点，，取的中点连接则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有8种不同的结果． 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 计算：的值是______． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围为_____． 13. 有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是______． 14. 如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为，则关于x、y的方程组的解是______． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是_________． 16. 若关于x的一元一次不等式组的解集的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为_____． 17. 如图，在中，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点M，且M为的中点，连接交于点N，若，，则点B到的距离为 ____________________． 18. 如果一个四位自然数M各数位上数字互不相等，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和差数”．若将M的千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则．若为“和差数”，且，则______________．若将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定．若“和差数”，且满足为整数，则满足条件的M的最大值为______________． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. （1）； （2）． 20. 在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）已知在中，，用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接并延长，在射线上截取，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作图形中，求证：． 证明：∵垂直平分， ∴点是的中点． ∴_____． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵_____， ∴四边形是_____． ∴_____． ∵， ∴_____． 21. 清明是二十四节气之一，古人为什么要把这个节气命名为“清明”？为什么二十四节气中只有清明节是节假日？清明节又有哪些习俗？……为继承和弘扬中国优秀传统文化，学校“雾星”文学社联合校团委一起开展了清明传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（单位：分），进行整理和分析（竞赛成绩均为整数，满分为12分，9分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：抽取的七年级学生的竞赛成绩：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12． 抽取七、八年级学生的竞赛成绩统计表： 年级 七年级 八年级 平均数 8.75 8.75 中位数 9 众数 9 优秀率 % 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中、、的值； （2）根据以上数据分析，请从一个方面评价该校哪个年级参加知识竞赛的学生的竞赛成绩更优异； （3）该校七年级有300名学生参加知识竞赛，八年级有400名学生参加知识竞赛，请估计两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数． 22. 某儿童服装店从厂家购进了甲、乙两种品牌的服装，已知每套甲品牌服装比每套乙品牌服装的进价贵30元，用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌服装数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌服装的进价分别是多少； （2）在销售过程中，乙品牌服装每套售价是80元，且很快全部售出；甲品牌服装每套按进价加价销售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的甲品牌服装．这两种品牌的服装全部售完后共获利润2200元，求有多少套甲品牌服装打九折售出． 23. 如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接EC，BF，已知F点的速度且，令，运动时间为x． 请回答下列问题： （1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质； （3）根据图形直接估计当时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 24. 如图，五边形是某公园游览步道，把公园的五个景点连接起来，为方便游览，增设了步道．经勘测，，景点在景点的东北方向，且在景点的南偏东方向的800米处，景点在景点的正南方向500米处，．（参考数据：） （1）求景点与景点的距离：（结果精确到1米） （2）甲、乙两人同时从景点出发，选择相反的路线依次游览其余四个景点，最后回到景点，两人在各景点处停留时间忽略不计．其中甲的游览路线是，甲游览的平均速度是100米/分，乙游览的平均速度是80米/分．请通过计算说明在游览过程中，甲、乙谁先到达景点？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点，连接． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，将直线沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作轴交于点M，交于点H，过点M作于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将绕点C逆时针旋转得到，此时点恰好落到直线上，已知点F是抛物线上的一个动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在△ABC中，90°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A逆时针旋转120°得到线段AD，连接CD． （1）如图1，若AB＝8，∠ABC＝45°，BA⊥CD，延长BA，CD交于点K，求四边形ABCD的面积； （2）如图2，点E是CA延长线上一点，点G是AE的中点，连接BE，BG，点F在线段AC上，点H在线段BG上，连接HF，若BG＝GF，HF＝BE，GA＝GH，2∠ACB＝∠EBG+∠ABC，求证：BC+CD＝AC； （3）如图3，在（1）的条件下，点P是线段BC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转45°得到线段DP'，连接AP'，BP'，点M是△ABP'内任意一点，点P在运动过程中，AM+BM+P'M是否存在最小值；若存在，请直接写出：AM+BM+P'M的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市第八中学2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 在3，﹣2，0，﹣1这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A. 3 B. ﹣2 C. 0 D. ﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出这四个数的绝对值，再找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵3，-2，0，-1的绝对值分别是3，2，0，1， ∴绝对值最小的数是0； 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的大小比较和绝对值，用到的知识点是绝对值、有理数的大小比较，关键是先求出这四个数的绝对值． 2. 如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图判断即可； 【详解】由题可知主视图如下图所示： ； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，准确分析判断是解题的关键． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对我市辖区内清潩河水质情况的调查 B. 对乘坐高铁的旅客是否携带违禁物品的调查 C. 对某学校每天丢弃塑料袋数量的调查 D. 中央电视台“新闻联播”栏目收视率的调查 【答案】B 【解析】 【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查；据此逐一判断，即可求解． 【详解】解：A、无法进行普查，故此项不符合题意； B、要求每位旅客都不能携带违禁品，需要普查，故此项符合题意； C、调查范围广适合抽样调查，故此项不符合题意； D、调查范围广适合抽样调查，故此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了抽样调查和普查的区别，理解根据所要考查的对象的特征灵活选用调查方式是解题的关键． 4. 如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．由此即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的周长之比为， 两个相似三角形的相似比是， 这两个三角形的面积之比为． 故选：C． 5. 若，则可取的整数值有（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 7或8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 7. 用一样长的小木棒按下图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，……，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（ ） A. 36 B. 41 C. 42 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中规律，后面一个图形都比前面一个图形多5根小棒，即可求解， 【详解】解：由规律可知，后面一个图形都比前面一个图形多5根小棒， 因为图①一共6根小棒， 所以图⑧需要小木棒的根数是（根）， 故选B． 【点睛】本题考查了图形规律题，解题关键是发现图形变化规律． 8. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，由圆周角定理可以求得的度数，再由是的直径可得是直角三角形，再由直角三角形的性质即可得到的度数，熟练掌握圆周角的性质和定理、直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由圆周角定理可得：， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴， 故选． 9. 如图，正方形中为中点为上一点，连接交于点，，取的中点连接则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的性质与已经条件可求得，再求得，最后结合三角形面积公式与勾股定理即可求得的长度． 【详解】∵，，（正方形各边均相等，各角均为直角）， ∴ ∴，F为的中点，． ∵， ∴由勾股定理得，． 由得， ∵， ∴． ∴，即． 又 ∴， ∴, ∴， 所以． ∵G为BH中点， ∴． ∵， ∴． 在中，． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积的运用，勾股定理的计算．本题的综合性较强，熟练掌握勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的全等判定，是解题的关键． 10. 对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有8种不同的结果． 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确． 详解】解：∵ ∴①说法正确 ∵ 又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号 ∴②说法正确 ③第1种：结果与原多项式相等； 第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n； 第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n； 第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n； 第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n； 第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n； 第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n； 第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意； ∴共有8种情况 ∴③说法正确 ∴正确的个数为3 故选D． 【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 计算：值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先算乘方，再把的余弦值代入算乘法，最后算加减． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数、零指数幂的意义及特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故答案为：． 13. 有数学4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的相关知识，根据题意，画出图形即可，再根据数据进行分析． 【详解】解： ， 三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645； 三位数是5的倍数的概率为：； 故答案为：． 14. 如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为，则关于x、y的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题，把代入，得出，则两个一次函数的交点；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：把代入， 解得， 函数和的图象交于点， 即，同时满足两个一次函数的解析式， 所以关于，的方程组的解是． 故答案为：． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是_________． 【答案】18+18π 【解析】 【分析】作FH⊥BC于H，连接AE，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出，通过Rt△ABE≌△EHF得∠AEF=90°，然后利用图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆-S△ABE-S△AEF进行计算． 【详解】解：作FH⊥BC于H，连接AE，如图， ∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点， ∴BE=CE=CH=FH=6， ， 易得Rt△ABE≌△EHF， ∴∠AEB=∠EFH， 而∠EFH+∠FEH=90°， ∴∠AEB+∠FEH=90°， ∴∠AEF=90°， ∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆-S△ABE-S△AEF =18+18π． 【点睛】本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积． 16. 若关于x的一元一次不等式组的解集的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组合一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能． 利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的一个取值范围，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：． 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ． 解关于的分式方程得：． 由题意：． ． ． 关于的分式方程有非负整数解， ，，1，3． 但时，是原方程的增根，舍去． 或1或3． 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：1． 17. 如图，在中，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点M，且M为的中点，连接交于点N，若，，则点B到的距离为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的折叠，勾股定理，由三角形中线求三角形面积，由M是的中点，可知，再由折叠可知，可求，再求出，，则，可求，在中，，再由折叠可知，设B到的距离为h，由，即可求点B到的距离． 【详解】解：由折叠可知，， 是的中点， ， ， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 设B到的距离为h， ， ， ， ∴点B到的距离为， 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和差数”．若将M的千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则．若为“和差数”，且，则______________．若将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定．若“和差数”，且满足为整数，则满足条件的M的最大值为______________． 【答案】 ①. 10 ②. 9162 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算是解题的关键． 根据“和差数”定义，得，，则，再根据为“和差数”，得，求出m、n的值，即可求解； 根据，，，则，再根据为整数，即可求出a、b值，然后由M各数位上的数字互不相等且均不为零，且M取最大值，求出c、d值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为“和差数”， ∴， ∴， 把代入， 解得：， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴ ∵为整数，即为整数 ∴，，d为任数字， ∵当a最大时M最大， ∴， ∵M是“和差数”， ∴ ∴ ∵M各数位上的数字互不相等且均不为零，且M取最大值， ∴，， ∴ 故答案为：10；9162． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则，完全平方和公式计算，即可解答． （2）根据分式的计算法则计算，即可解答． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了整式的化简，异分母分式的加减法则，熟练运用计算法则是解题的关键． 20. 在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）已知在中，，用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接并延长，在射线上截取，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵垂直平分， ∴点是的中点． ∴_____． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵_____， ∴四边形是_____． ∴_____． ∵， ∴_____． 【答案】（1）图形见解析； （2）；；矩形；， 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的判定，矩形的判定等知识， （1）根据要求作出图形； （2）证明四边形ABCD是矩形，可得结论； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：∵垂直平分， ∴点是的中点． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． 故答案为：；；矩形；，． 21. 清明是二十四节气之一，古人为什么要把这个节气命名为“清明”？为什么二十四节气中只有清明节是节假日？清明节又有哪些习俗？……为继承和弘扬中国优秀传统文化，学校“雾星”文学社联合校团委一起开展了清明传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（单位：分），进行整理和分析（竞赛成绩均为整数，满分为12分，9分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：抽取的七年级学生的竞赛成绩：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12． 抽取的七、八年级学生的竞赛成绩统计表： 年级 七年级 八年级 平均数 8.75 8.75 中位数 9 众数 9 优秀率 % 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中、、的值； （2）根据以上数据分析，请从一个方面评价该校哪个年级参加知识竞赛的学生的竞赛成绩更优异； （3）该校七年级有300名学生参加知识竞赛，八年级有400名学生参加知识竞赛，请估计两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1）9，10，35 （2）八年级更优秀，众数与优秀率都高于七年级 （3）305 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图以及中位数的定义可知，八年级的中位数在组，众数在组，根据七年级的成绩数据，9分以上有7人，进而即可求得优秀率； （2）根据众数与优秀率进行判断即可求解； （3）根据两个年级的优秀率乘以人数即可求解． 【小问1详解】 根据扇形统计图以及中位数的定义可知，八年级的中位数在组，众数在组，七年级的成绩数据，9分以上有7人， 故答案：9，10，35 【小问2详解】 八年级更优秀，八年级成绩的众数与优秀率都高于七年级，故八年级更优秀， 【小问3详解】 两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数为：（人） 【点睛】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图，统计表中得到必要的信息是解决问题的关键． 22. 某儿童服装店从厂家购进了甲、乙两种品牌的服装，已知每套甲品牌服装比每套乙品牌服装的进价贵30元，用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌服装数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌服装的进价分别是多少； （2）在销售过程中，乙品牌服装每套的售价是80元，且很快全部售出；甲品牌服装每套按进价加价销售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的甲品牌服装．这两种品牌的服装全部售完后共获利润2200元，求有多少套甲品牌服装打九折售出． 【答案】（1）甲种品牌服装每套进价是80元，乙种品牌服装每套进价是50元 （2）有20套甲品牌服装打九折售出 【解析】 【分析】（1）设甲种品牌服装每套的进价是元，则乙种品牌服装每套的进价是元，根据用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌服装数量的倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设有套甲品牌服装打九折售出，则有套甲品牌服装原价销售，根据这两种品牌的服装全部售完后共获利润2200元，列出一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设甲种品牌服装每套的进价是元，则乙种品牌服装每套的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程解，且符合题意， ， 答：甲种品牌服装每套的进价是80元，乙种品牌服装每套的进价是50元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，甲品牌服装有（套，乙品牌服装有（套， 设有套甲品牌服装打九折售出，则有套甲品牌服装原价销售， 由题意得：， 解得：， 答：有20套甲品牌服装打九折售出． 【点睛】本题考查了分式方程的应用原价一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 23. 如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接EC，BF，已知F点的速度且，令，运动时间为x． 请回答下列问题： （1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质； （3）根据图形直接估计当时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）画图像见解析，当时，的值随x的增大而减小；时，的值随x的增大而增大； （3）或 【解析】 【分析】（1）分类讨论：①当F点在上运动时，即，连接．由正方形的性质结合题意易证，即得出，，再由三角形的面积公式求解即可；②当F点在上运动时，即，连接，．由①同理易证，得出，从而得出，再由三角形的面积公式求解即可； （2）根据函数解析式画图即可；由图象即得出其性质； （3）由求时x的取值范围，即求函数的图像在函数的图像上方时（包括交点），x的取值范围，再结合图象即得出结果． 【小问1详解】 分类讨论：①当F点在上运动时，即，如图，连接． ∵正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； ②当F点在上运动时，即，如图，连接，． 由①同理可证， ∴， ∴， ∴， ， 综上可知，； 【小问2详解】 在直角坐标系中画出的图像，如图， 由图像可知当时，的值随x的增大而减小；时，的值随x的增大而增大； 【小问3详解】 联立两函数解析式，解得：， ∴与的交点坐标为． 求时x的取值范围，即求函数的图像在函数的图像上方时（包括交点），x的取值范围， 由图像可知当时，函数的图像在函数的图像上方， ∴x的取值范围是或． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用，求两直线的交点坐标，利用图像法解不等式等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 24. 如图，五边形是某公园的游览步道，把公园的五个景点连接起来，为方便游览，增设了步道．经勘测，，景点在景点的东北方向，且在景点的南偏东方向的800米处，景点在景点的正南方向500米处，．（参考数据：） （1）求景点与景点的距离：（结果精确到1米） （2）甲、乙两人同时从景点出发，选择相反的路线依次游览其余四个景点，最后回到景点，两人在各景点处停留时间忽略不计．其中甲的游览路线是，甲游览的平均速度是100米/分，乙游览的平均速度是80米/分．请通过计算说明在游览过程中，甲、乙谁先到达景点？ 【答案】（1）359米 （2）乙先到达景点 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，求出，再求出即可解答； （2）利用（1）的结论再在中，利用勾股定理可求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， 由题意得： ，米，,米 在中，，米 米， （米， ∵ 米， ∵ ∴四边形为矩形 ， ∵米 米 ∵ ∴ 在中，，米 米 （米） 答：景点与景点的距离约为359米 【小问2详解】 在中，，米 ∴米 甲的路程米， 乙的路程 （米， 乙的速度为80米分钟， 乙所用的时间（分钟）， 甲所用的时间（分钟）， ∴ 乙先到达景点 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点，连接． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，将直线沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作轴交于点M，交于点H，过点M作于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将绕点C逆时针旋转得到，此时点恰好落到直线上，已知点F是抛物线上的一个动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、、F、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）求出坐标，代入可得答案； （2）是定值，取最大值即是取最大值，设坐标表示出长度即可得到答案； （3）求出坐标，设、坐标，用平行四边形两条对角线的中点重合分类列方程即可得答案． 【小问1详解】 解：点，， ， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 【小问2详解】 由得，， ， 设解析式为，将、代入得：， 解得， 解析式为， 将直线沿轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于、两点， 解析式为， 过点作轴交于点，交于点， ， 、， ，， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， 取最大值即是取最大值， 设，则， ， 当时，最大值为：， 此时， 最大值为，； 【小问3详解】 将绕点逆时针旋转得到，此时点恰好落到直线上， ， 而、， 设，则， 解得或（此时旋转角大于舍去）， ， 点是抛物线上的动点，在直线上，设，， 以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况： ①、为对角线，中点为，中点为， 中点与中点重合， ， 解得（此时与重合舍去）或， ， ②、为对角线，同理可得， 解得或， 或， ③、为对角线，则， 解得：（此时与重合舍去）或， ， 总上所述，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，或，或，或． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，平行四边形性质，旋转的性质求解，求二次函数解析式，函数的平移，坐标与图形，解直角三角形的相关计算等知识，难点较大，设相关点坐标，表示出线段长度，再根据已知列方程是解题的难点． 26. 在△ABC中，90°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A逆时针旋转120°得到线段AD，连接CD． （1）如图1，若AB＝8，∠ABC＝45°，BA⊥CD，延长BA，CD交于点K，求四边形ABCD的面积； （2）如图2，点E是CA延长线上一点，点G是AE的中点，连接BE，BG，点F在线段AC上，点H在线段BG上，连接HF，若BG＝GF，HF＝BE，GA＝GH，2∠ACB＝∠EBG+∠ABC，求证：BC+CD＝AC； （3）如图3，在（1）的条件下，点P是线段BC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转45°得到线段DP'，连接AP'，BP'，点M是△ABP'内任意一点，点P在运动过程中，AM+BM+P'M是否存在最小值；若存在，请直接写出：AM+BM+P'M的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）S四边形ABCD＝72﹣8 （2）证明见解析 （3）AM+BM+P'M的最小值为：8+6﹣2 【解析】 【分析】（1）解直角三角形ADK，求得AK和DK，进一步求得结果； （2）证明△BGE≌△FGH，从而得出GH⊥AE，进而得出AB＝BE，从而得出∠ABG＝∠EBG，进而得出∠ACB＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转120°至△ADC′，连接CC′，作AN⊥C′C于N，可推出点C、D、C′共线，进一步得出结论； （3）将△PDC绕点D逆时针旋转45°至△P′DE，可推出点P′运动轨迹，将△ABM绕点B逆时针旋转60°至△A′BM′，连接A′P′作A′P″⊥EP′于P″，推出当AM+BM+P'M取最小时点P′位置，进一步求得结果． 【小问1详解】 解：∵BA⊥CD， ∴∠K＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BCK＝90°﹣∠ABC＝45°， ∴∠ABC＝∠BCK， ∴BK＝CK， 在Rt△AKD中，∠KAD＝180°﹣∠BAD＝60°， ∴∠ADK＝30°， ∴AK＝， ∴DK＝＝4， ∴S△AKD＝＝＝8， ∵， ∴S四边形ABCD＝72﹣8； 【小问2详解】 证明：如图1， ∵点G是AE的中点， ∴EG＝AG， ∵GA＝GH， ∴EG＝GH， ∵BG＝GF，HF＝BE， ∴△BGE≌△FGH（SSS）， ∴∠BGE＝∠FGH， ∵∠BGE+∠FGH＝180°， ∴∠BGE＝∠FGH＝90°， ∴GH⊥AE， ∴BE＝AB， ∴∠EBG＝∠ABG， ∵2∠ACB＝∠EBG+∠ABC， ∴2∠ACB＝∠ABG+∠ABC＝∠CBG， ∵∠ACB+∠CBG＝90°， ∴∠BCG＝30°， 将△ABC绕点A逆时针旋转120°至△ADC′，连接CC′，作AN⊥C′C于N， ∴∠AC′D＝∠BCG＝30°，BC＝C′D， ∵AC＝AC′， ∴∠CC′A＝∠ACC′＝＝＝30°，C′N＝ ∴∠∠AC′D＝∠CC′A， ∴C、D、C′在同一条直线上， ∴C′N＝AC， ∴CC′＝， ∵CC′＝CD+C′D＝BC＝CD， ∴BC+CD＝AC； 【小问3详解】 解：如图2， 将△PDC绕点D逆时针旋转45°至△P′DE， ∴∠CDE＝45°，∠E＝∠C＝45°，DE＝CD＝12﹣4， ∴∠DFE＝90°， ∴DF＝EF＝DE＝6﹣2， ∴KF＝KD+DF＝4+6﹣2， ∴点P′在与CK垂直且到BK的距离为4+6﹣2的直线上运动， 将△ABM绕点B逆时针旋转60°至△A′BM′，连接A′P′作A′P″⊥EP′于P″， ∴A′M′＝AM，BM′＝BM，∠M′BM＝60°， ∴△BMM′为等边三角形 ∴MM′＝BM， ∴AM+BM+P'M＝A′M′+MM′+P′M≥A′P′， ∴AM+BM+P'M的最小值为A′P′的长， 当A′P′垂直于与CK垂直且到BK的距离为4+6﹣2的直线时， A′P′最小为图中A′P″， ∵AG＝A′B＝＝4，GP″＝KF＝4+6﹣2， ∴A′P″＝AG+GP″＝8+6﹣2， ∴AM+BM+P'M的最小值为：8+6﹣2． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，旋转性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$