第2周检测(高一30%+第一章70%)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2周检测(高一30%+第一章70%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|y=},N={x|-1<x<2},则M∩N=(　　) A.(-1,1) B.(-1,1] C.(1,2) D.[1,2) 2.设z=,则在复平面内z的共轭复数对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知a=1.20.2,b=log0.21.2,c=0.81.2,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 4.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是棱OA,CB的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用向量表示向量是(　　) A. B. C. D. 5.设x∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,-2,1),c=(3,-6,3),且a⊥c,则|a+b|=(　　) A.2 B.2 C.4 D.3 6.向量a=(1,3,1),b=(3,m,3),已知a∥b,则m的值是(　　) A.1 B.3 C.6 D.9 7.已知向量a=(2,0,2),向量b=,0,,则向量a在向量b上的投影向量为(　　) A.(,0,3) B.(-,0,1) C.(1,0,) D.,0, 8.定义a􀱋b=|a|2-a·b,若向量a=(1,-2,2),向量b为单位向量,则a􀱋b的取值范围是(　　) A.[0,6] B.[6,12] C.[-1,5] D.[0,12] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sin2x-,则下列结论正确的是(　　) A.直线x=是f(x)图象的对称轴 B.点,0是f(x)图象的对称中心 C.f(x)在区间上单调递减 D.f(x)的图象向右平移个单位长度得y=cos 2x的图象 10.设{a,b,c}是空间的一个基底,则(　　) A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c B.a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面 C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc D.a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底 11.下列说法正确的是(　　) A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有=0 B.在空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3) C.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面 D.任意空间向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.棱长为a的正四面体中,=　　　　　.  13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是棱AB,CC1的中点,则点D1到直线FG的距离为　　　　　.  14.所有棱长都为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若M为A1C1与B1D1的交点,∠BAD=60°,∠DAA1=∠BAA1=30°,则||的值为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin(A+C)=2asin C,且a=b. (1)求sin B; (2)若△ABC的面积为,求△ABC的周长. 16.(15分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2AB=2BC=2,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点. (1)求点A1到直线B1E的距离; (2)求直线FC1到直线AE的距离; (3)求点A1到平面AB1E的距离. 17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为梯形,BC∥AD,AB⊥AD,E为侧棱PA上一点,且AE=2PE,AP=3,AB=BC=2,AD=4. (1)证明:PC∥平面BDE; (2)求平面PCD与平面BDE夹角的余弦值. 18.(17分) 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,CD=CC1=1,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示并求出的长度; (2)求异面直线A1C与DA所成角的余弦值. 19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1.点E为棱PC的中点,点F为棱AD的中点. (1)证明:BE⊥DC; (2)求直线BD与平面FBE所成角的正弦值. 参考答案 1.B　由y=得1-x≥0,解得x≤1,即M={x|x≤1}.而N={x|-1<x<2},所以M∩N=(-1,1].故选B. 2.D　复数z=i, 所以z的共轭复数i, 所以在复平面内z的共轭复数对应的点位于第四象限. 故选D. 3.D　因为a=1.20.2>1,b=log0.21.2<0,0<c=0.81.2<1,所以a>c>b.故选D. 4.C　∵)=)=, ∴.故选C. 5.D　因为a⊥c,所以3x-6+3=0,解得x=1. 则a+b=(2,-1,2),故|a+b|==3.故选D. 6.D　因为a∥b,则b=λa,所以解得m=9.故选D. 7.A　向量a在向量b上的投影向量为|a|cos<a,b>·b=·b=2,0,=(,0,3).故选A. 8.B　由题可得|a|==3,|b|=1,设<a,b>=θ, 则a􀱋b=|a|2-a·b=|a|2-|a||b|cos θ=9-3cos θ. 又θ∈[0,π],所以cos θ∈[-1,1],所以a􀱋b∈[6,12].故选B. 9.BCD　因为f=sin2×=sin 2π=0≠±1, 所以直线x=不是函数f(x)图象的对称轴,故A错误; 因为f=sin2×=sin π=0, 所以点,0是函数f(x)图象的对称中心,故B正确; 当x∈时,2x-∈,π⊆,π, 所以f(x)在区间上单调递减,故C正确; f(x)的图象向右平移个单位长度得y=sin2x--=sin2x-=cos 2x的图象,故D正确.故选BCD. 10.BCD　由{a,b,c}是空间一个基底知, 对A选项,若a⊥b,b⊥c,向量a,c夹角不一定是,故A选项错误;易知BC正确; 对D选项,由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面. 假设a+b,b+c,c+a共面,设a+b=x(b+c)+(1-x)(c+a),化简得xa=(x-1)b+c,即c=xa+(1-x)b,所以a,b,c共面,这与已知矛盾,所以a+b,b+c,c+a不共面,可以作为基底,故D选项正确.故选BCD. 11.ABC　A,B,C,D是空间任意四点,则=0,故A正确; 由题可知,点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故B正确; 因为,则满足=1,故P,A,B,C四点共面,故C正确; (a·b)·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,二者不一定相等,故D错误.故选ABC. 12.-　因为正四面体的各个面是正三角形,且的夹角为的夹角均为, 由题意,原式=·() = =a·acos+a·acos-a·acos =-a2+a2-a2=-a2. 13.　以D为坐标原点,AD,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),G(0,2,1),F(1,1,0),所以=(-1,-1,2),=(-1,1,1), 所以点D1到直线FG的距离为 d=. 14.　因为)=-, 所以=-2 = =×1+×1+1-×1×1×cos 60°-1×1×cos 30°+1×1×cos 30°=, 所以||=. 15.解(1)∵bsin(A+C)=2asin C,则bsin B=2asin C, 由正弦定理可得b2=2ac. ∵a=b,则b=2c,即a=b=2c, ∴cos B=. ∵B∈(0,π),故sin B=. (2)∵△ABC的面积为S=acsin B=×2c×c×,则c=2, ∴a=b=4,故△ABC的周长为a+b+c=10. 16. 解以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),B(1,1,0),E(0,0,1),A1(1,0,2),C1(0,1,2),B1(1,1,2),F(1,1,1), =(-1,-1,-1),=(0,1,0),=(-1,0,1),=(-1,0,1),=(1,1,0). (1)设点A1到直线B1E的距离为d1, ∴d1=, 即点A1到直线B1E的距离为. (2)∵=(-1,0,1),=(-1,0,1),故. ∵=(1,1,0),设直线FC1到直线AE的距离为d2,则d2即为F到直线AE的距离, ∴d2=, 即直线FC1到直线AE的距离为. (3)设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z), 由 令x=1,则y=-2,z=1,所以n=(1,-2,1). 设点A1到平面AB1E的距离为d3, ∴d3=, 即点A1到平面AB1E的距离为. 17.(1)证明连接AC,设AC∩BD=O,连接OE. ∵BC∥AD,则, 由题意可知,则OE∥PC. ∵OE⊂平面BDE,PC⊄平面BDE, ∴PC∥平面BDE. (2)解如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),E(0,0,2), ∴=(0,4,-3),=(-2,2,0),=(-2,4,0),=(0,-4,2), 设平面PCD的法向量n=(x,y,z), 则 令y=3,则x=3,z=4,则n=(3,3,4). 设平面BDE的法向量m=(a,b,c), 则 令b=1,则a=2,c=2,则m=(2,1,2). 则cos<n,m>=, ∴平面PCD与平面BDE的夹角的余弦值为. 18.解(1)因为=a+b+c,所以=-(a+b+c). ||= = = =. (2)由(1)可知,=-(a+b+c),=b, 则|cos<>|= = =, 故异面直线A1C与DA所成角的余弦值为. 19. (1)证明取棱DC中点H,连接EH,BH. ∵AD⊥AB,AB∥DC, ∴AD⊥DC. ∵PA⊥底面ABCD,DC⊂底面ABCD, ∴PA⊥DC. 又PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD, ∴DC⊥平面PAD. ∵PD⊂平面PAD, ∴DC⊥PD. 在△PDC中,点E,H分别为棱PC,DC的中点, ∴PD∥EH. 又DC⊥PD, ∴DC⊥EH. ∵H为棱DC中点, ∴DH=DC=1. ∵AB=1,AB∥DC, ∴四边形ABHD为平行四边形,故AD∥BH. ∵AD⊥DC, ∴BH⊥DC. ∵BH∩EH=H,BH⊂平面BEH,EH⊂平面BEH, ∴DC⊥平面BEH, ∵BE⊂平面BEH, ∴DC⊥BE. (2)解如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,2,0),E(1,1,1),F(0,1,0), =(0,1,1),=(-1,2,0),=(-1,1,0). 设平面FBE的法向量为m=(x,y,z), 则 令x=1,则y=1,z=-1,所以m=(1,1,-1), 设直线BD与平面FBE所成角为θ,则sin θ=|cos<,m>|=. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$