14.1 第1课时 直角三角形三边的关系-【指南针·课堂优化】2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

敬南针·课堂优化·八年级上·数学(H5 核心素要 第2课时 专题练习七 等三角形 13.3 等暖三角形 线段备平分线 14.(1D888 (2)小酸的作法正确理山路 知识理 1.A 2B 3.A 4D 5.5 第1课时 等三彩的性质 (③略 (2in” 6.17* 7.略 8(1证明略 1.线段两个点的 第3课时 作线段的直平分线 知识理 2.直平分线 3一点 三个项点 课后演5 1.(1)等(2)须角平分线 边上的中线 在边 13.4 尺规作圈 课后演连 1D 2D 3C 4.B 上的高 1.A 2.C 3.1B 4.C 5.B 640 第1课时 作一个角等于已知 5.A B A M M 线段AB (3)项角的平分线(边上的中线或底达上的高) 7.(1)35 70 (2)7 (30 8.20 8 .证明略 知识梳理 6.9 7.②③ 890.1略 9.略 10.略 所在的线 1.证略 11.20或70 12.20 13.注明略 核心素养 1.没有题度的直尺 周规 2.555 2.(1)等过三角形 (2)相等 60 (3)一 三条 核心素养 1.略 课后练 课后演 14.证略 (12)AABEACEABDEACDE 1.D 2.B 3.B 4.D 1C3D+A 5D6.57.405100' 选择ABE△ACE进行运明 第3课时 平分线 5.作射线OA 8.209.1 10.证明略 -AB-AC.AD18C. 知识梳理 11.(BDC-o.乙ABE-2 以0为圈心.任意长为率径画强交0A.0路子 .ZBAE-CAE. 1.角两边的距离 2.两边离相等 0.D 2/C+/C-1.略 AF-AF. 3.同一点 三边的阻离 以(7为园心,第二步的率径为半径概汇,交(3A -.△A△AC 11.813. 课后演连 开C 1.B 2.B 3.B 4B 5.4 6.415.6 13.5 逆命题与逆定现 以C为既心,CD长为径画,与前强空干B 14.(1)证略 (2)AD1MC,理由 7.证明略 8D-12B 核心素养 过0.Dt得oB 第1课时 及送命题与互逆定理 10.(1)证明略 (2)AB+AC-2AE 6.10或100 7.略 8.略 I5.(1A+C-270 知识理 核心素养 9.(1 (2) 888 全等三角形的对应 (2是,理由略 1.条件 结论 结论 条件 互送命题 原命题 11.(1)证明略 (2)BE-CF证明略 角等 送题 第2课时 等腰三形的料定 2.送命题 互送定题 通定理 3.适命题 逆定题 第13章 章末测试 短讽理 16.略 课后演 心素养 1.A 2.C 3.A 4.D 5.D 6D 7.B 8.B 1.(1)两条达等 1 (2)所对的近也相等 1.A 2D 3.B 4.B 11.路 2.(1)三条边都相等(2)60*(3)等题 70° 15 em 10.24 11.CB-C(答案不-) 5.如果占-0.那么 第2课时 非角平分线 课后演域 12.12 13.4 144或 15. 证略 16.略 超识梳理 6.如果两个三角形的积相等,么这两个三角形 17.证明略 18.题 1.C23BB54 6 7.1 8 全等 拉 9.(1)△D距F是等三角形 1.边边边公理 2.平 7. 8. 命 第14章 勾股定理 课后演练 (2)当子一60时,△DEF是等边三角形,理由略 .(1)能被4整除的数位被2整除真命 10. D 11.B 12.4 1.D 2.1 3.14B 5D (2)如果两个三角形全等,题它们的三条边分 618* 对应相等(或全等三角形的对应边相等).直命题 13.(1)60°(2)乙A0G=10-1 14.1 勾殿定理 7.(1)旁(②C 线段CK 10.(1(略 (3)乙B00-乙ACF-90- 核心素 第1课时 直角三形三过的美系 (3D E 大7pE(0直线 11. 这命题:在△ABC中,AB一AC.乙1-乙2.知识梳理 核心素养 8.(1)路 (2150 9.略 10.略 若乙C-:乙B.郡么AB-AC+CD 1.早方和 斜边的平方 证明略 14.(1)明 (2D+C-BD 11.C 12.12 13.路 2.三之间 边 第三边 vv一 1 42 玩赴·说优化·八年烦上将·&学(H5 -V 课后演辉 2.11可用料达的平方等干两直角边的平方和 9.6或vv80 1112m 11.20 12 1.B 2.D 3.C 4.D 3.直三角形 3.三角形面程 直三角形 课后演域 5.假设三角形的三个外角中,有两个铅角 课后演 13.16+24 14.证略 1.B 2.C 3D 4.C 5.C 6.500 6.互补的两个起大于0 15.(1D-3 (218-15 1.B 2.C 3.A 4.D 5(111 (240 7.页 段- 7.北50” 16.这辆汽车能通过大门.理由路 65或7 7.5AD的长为7 8.证明略 9.C 8.图书室E应建在距点A10km处,才能使它到两 ·.△ABE的面积为6c .}11.20 17.探究:证明略 应 所学校的距离相等 10.直 直 乙A十B十C一180” 12.中间小正方形的面积为1( 18.(1)乙A0-5”+.由略 三角形构内角和为180”角 电.走私题C是早在10时41分进入我国幅次 核心素养 (2)线段3B与P之的数量关系:1P 乙A+l+C1s0 10.(32+16) 13.(1)略(213 MB证明略 三形的内角和为阻” 11.(1)A.C两题之间的距离约为14.1lm 第2课时 直角三角形的料定 19.(1B+D-180”(20DE-5 11.证略 知识理 (2)C港在A港北编东15的方河上 核心素养 核心素 第15章 1.十W 直角 2.(1)直 (2平方和 平方 12略 数据的收集与表示 3.正整 12.(1)会受影响,由略 14.2 勾殿定理的应用 (2-200+40-6(小时) 课后演域 第3课映 勾段定理的应用(三) 15.1 数据的收集 1.D 2.C3.D 4.A 5.225 63 第1课对 勾股定理的应图(一) 知识梳理 6.等腰直角三角形 7.w十1 课后演 知识梳理 1.直角 直角 平方和 近的平方 .A;为直角三角是,共用长为12.积为 1.D 2C 3A 4.D 5. B 1.1++-+十r 2.平方和 方 真 95-8 10.25 6.3 7.0.35 815 0.3 3.(31句段定理的逆定理 勾股定理 2+ 11.(1)各组数握有以下共同点,①各组数据均满足 9.(1)8 6.48(2)22人 课后演 &十一,②最小的数。是奇数,其余两个为课后演 (3)近期组织一次家长会,就学生们的顾眠时间 1.B 2.C 3D 4.B 57 6. 连续正整数:①最小数的平方是另两个连续整数 1.C 2.C 3.C 4.25.13cm 调,要求家长监皆好孩子的滩眠时间,要不 7.~?v可 8+ 的和,”-4+5.5-12+13.7-24+25.6.少要25s 少叫 9.△ABC为直三角形 子一铅十4.一以上特廷,可以,开得到 7.能,理暗 .73 A.5 I.(1)-16 (213200(辆 这样的结论,设m为题小的奇数,将*分解成11.项点A铅直线到DC中点0.再沿直线到题点 心 11.D C跳彩最短.长度为10m 1(1AC+C-②+(-+1 两个连续幅数的程,即x一十(w十1).则. 12.(1)9 (2)题量大的选于是最小的选干是B 核心素养 (2)当点C.A.E在一直线上时,AC+CE最小. 1.x十1就构成一组简要的勾股数 (3)五位选干对球介中的率分到是0.55,0.45. 12.(1)2+0 <<1 因为两点之间线段量冠,最小值是10 (2)-220.-221 (2当→_: 0. 6.0.4.0.65 (41E 心素养 (33代数式V十(0一)的最小 核心 为13 12.(1-7--题 ..选择路线?较短: 1.由题意可知三次共填40+235=100(条) ,时. 专题练习八 勾股定理的应用 得鱼的总质量为40×2.5+25×2.2+35× 2.-25(子克). ..选择路线】较 第3课时 反证法 1B 2 3.1n4155.B 6.D 所以呵以估计每条的质量约为23-100一 知识梳理 第2课时 与股定理的应用(二) 3千克). 1.反面 矛盾 知识梳建 第14章 章末测试 泡堵中的题量为10000×0%×2.习-24 2.(1)反 (2)相矛 (3)不成立 正确 1.直角三角形 句股定理 1 D3 C536 7C 0(千克). 1 1第14拿白胶定理 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 第1课时 直角三角形三边的关系 知 识 梳 理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 2.勾股定理揭示了直角三角形 的关系，应用它可由直角三角形 的长，求 出 的长.即设△ABC中，∠C=90°，BC 规律与方法：勾股定理的验证方法非常多， =a,CA=bAB=c,于是：c= ,b= 大都采用面积法，用图形的不同拼法或同一图形 4 的两种面积求法获得勾股定理的表达式，这一思 3.注意：勾股定理应用的前提是 想方法在数学上叫做“无字证明”，望认真体会和 运用 典例精析 【变式训练1】（攀枝花中考）如图是“弦 图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学 考点①勾股定理的验证 家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志 着中国古代的数学成就.它由4个全等的直角三 【例1】一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启 角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正 迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图 方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、 所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到ABC'D'的 b,斜边为c.请你运用此图形证明勾股定理：a2十 位置，连结CC,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四 =c2. 边形BCCD'的面积玛验证勾股定理：a2+仔=2 ·125· 指而针·课堂花化·八年链上册·数学(HS》 考点② 已知直角三角形两边长，求第三 考点③用面积法求直角三角形斜边上的高 边的长 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB 【例2】填空. 90°，∠A、∠B、∠ACB所对边分别为a、b、c.若a (1)已知直角三角形的两直角边长为8和 =6,b=8,求c的长及斜边的高CD 15,则斜边= (2)已知：△ABC中，∠C=90°，a:b=3: 4,c=10,于是a=,b= 规律与方法：勾股定理揭示了直角三角形三 边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性 质，应用勾股定理进行计算，除了掌握公式“a2十 ?=2”(a、b是直角边，c是斜边)外，还应掌握它 的儿种变形，在解题过程中灵活运用. 【变式训练2】(1)直角三角形的一条直角 边与斜边的长分别是8cm和17cm,则另一条 规律与方法：用面积法求斜边上的高是基本 直角边长是 ( 方法，今后注意恒等式ab=ch(a,b为Rt△直角 A.24 cm B.15 cm C.12 cm D.9 cm 边，c为斜边，h是边c上的高)的使用. (2)直角三角形两边长分别为9cm和 【变式训练3】在△ABC中，∠C=90°，AC 12cm,则另一条边长为 =3,CB=4,CD是斜边AB上的高. A.15 cm B.6 cm (1)求△ABC的面积： C.15cm或6cm D.15cm或3√7cm (2)求斜边AB; (3)如图所示，所有的四边形均为正方形， (3)求高CD. 所有的三角形均为直角三角形，其中最大的正 方形的边长为7cm,则正方形A、B、C、D的面 积的和是多少？说说你的理由， 7cm ·126· 第14章白胶定理 7.如图，直线I过正方形ABCD的顶点B,点A、 课后演练 C到直线的距离分别是1和2，则正方形的 边长是 【基础过关】 1.(毕节中考)如图，点E在正方形ABCD的边 AB上，若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD 的面积为 ( 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC A.3 B.3 C.5 D.5 上一点，∠BDC=45°，AB=13,BC=5,求AD D B 的长 人45 D 第1题图 第2题国 2.(荆门中考)数学兴趣小组为测量学校A与河 对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选 取点C,测得AC=30,∠A=45°，∠C=90°，如 图，据此可求得A,B之间的距离为( A.20w3B.60 C.30√2 D.30 9.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm,AD 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9,BC=12, =9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重 则点C到AB的距离是 ( 合，折痕为EF,求△ABE的面积. A.B紧 C. n喱 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,点D在 BC上，∠ADC=2∠B,AD=√5，则BC的长 为 A.3-1 B.3+1 C.w5-1 D.W5+1 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C对 边分别为a、b、c,(1)若a=5,b=12,则c= :(2)若a=9,c=41,则b= 6.若直角三角形的两边长a,b满足(a一4)2+ √b-3=0,则第三边的长是 ·127· 指而针·课堂花化·八年链上册·数学(HS》 赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” 【能力提升】 (如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传 10.如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有 至今 阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直 (1)①请叙述勾股定理： 角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次 ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多 为5、23、10，则正方形D的面积为 种方法，请从下列几种常见的证明方法中任 选一种来证明该定理：（以下图形均满足证 明勾股定理所需的条件) 第10题图 第11题图 图1 图2 11.(雅安中考)对角线互相垂直的四边形叫做 “垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边 形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AD =2,BC=4,则AB2+CD= 12.如图所示，它是由四个相同的直角三角形与 困3 中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大 (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或 正方形的面积为13cm,每个直角三角形两 直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角 直角边的和是5cm,求中间小正方形的 形，这三个图形中面积关系满足S1十S2=S 面积. 的有 个. 5 图4 图5 图6 核心素养 13.(随州中考)勾股定理是人类最伟大的十个 科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯 定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾 三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家 ·128·