13.4 第2课时 作一个角等于已知角-【指南针·课堂优化】2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

指而针·课堂花化·八年链上册·数学(HS》 【能力提升】 第2课时 作角平分线 10.如图，一块平行四边形的塑料板不慎折断， 现要求在图中用尺规作一条线段，以恢复平 知 识梳 理 行四边形的形状，并且要面积最大，你能解 1.作已知角平分线依据是 决这个问题吗？ 2.过一点作已知直线的垂线的方法：过直 线上一点作已知直线的垂线实质是作■ 角 的角平分线，过直线外一点作已知直线的垂线， 关键是利用这一点作一个等腰三角形 典例精析 考点① 作已知角的平分线 【例1】如图，已知AB∥CD,直线EF交 AB、CD于E、F 核心素养 11.已知：线段a,∠a. 求作：△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠a. (1)在图中找出一组同旁内角，作出它们的 平分线. (2)判定(1)中的两条角平分线的位置关 系，并证明你的结论。 规律与方法：作角的平分线，要抓住作角平 分线的步骤，保留好作图的痕迹 【变式训练1】(1)如 图，在△ABC,∠C=90°， ∠CAB=50按以下步骤作 图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径，画 弧，分别交AB,AC于点E、F;②分别以点E,F 为圆心，大于2E℉的长为半径画弧，两弧相交 于点G;③作射线AG,交BC边与点D,则 ∠ADC的度数为 (2)如图，已知BD平分∠ABF,且交AE于 ·104· 第13幸金爷三角形 点D, 【变式训练2】经过已知直线1外一点M, ①求作：∠BAE的平分线AP(要求：尺规 作直线I的垂线的作法：第一步取一点K,使 作图，保留作图痕迹，不写作法)： ( ②设AP交BD于点O,交BF于点C,连结 A.K不在直线上 CD,当AC⊥BD时，求证：AC和BD互相平分 B.K在直线上 C.K和M在已知直线I两旁 D.K和M在已知直线I同旁 课 后 演练 【基础过关】 1.过直线（外一点A作！的垂线，下列作法中正 确的是 () A,过A作AB⊥I于B,则线段AB为所求 B.过A作AB⊥I于B,则射线AB为所求 C.过A作AB⊥l于B,则线段BA为所求 D.过A作ABLI于B,则直线AB为所求 2.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的 高是 () 考点②作三角形的高 【例2】 如图，作钝角△ABC中BC边上 的高 3.(南宁中考)如图，在△ABC中，BA=BC,∠B =80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE 的度数为 ( A.60° B.65 C.70 D.75° 规律与方法：作三角形的高可转化为过已知 直线外一点作已知直线的垂线这一基本作图，要 注意三角形的高是一线段 D 第3题图 第4题图 ·105· 指而针·课壹花化·八年盘上册，数学(HS》 4.(深圳中考)如图，在△ABC中，AB=AC.在 (4)作 CF,则直线CF即为所求. AB、AC上分别截取AP,AQ,使AP=AQ,再 8.如图，已知∠AOB,OC是∠AOB的平分线. 分别以点P,Q为圆心，以大于PQ的长为半 (1)用圆规和直尺要求作出∠AOC的平分 线OM; 径作弧，两弧在∠BAC内交于点R,作射线 AR,交BC于点D.若BC=6,则BD的长为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 (2)若ON是∠DOB的平分线，且∠AOB 5.(襄阳中考)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°， 120°，∠COD=20°，则∠MON 根据尺规作图的痕迹，判断下列结论错误的 9.(襄阳中考)如图，在△ABC中，AB=AC,BD 是 ( 是△ABC的角平分线。 A.DB=DE B.AB-AE (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺 C.∠EDC=∠BAC D.∠DAC=∠C 规作图，不写作法，保留作图痕迹)： (2)求证：AD=AE. D 第5题图 第6题图 6.(辽宁中考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B =54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB 于点D,分别以点A和点D为圆心，大于AD 长为半径作弧，两弧相交于点E,作直线CE,交 AB于点F,则∠ACF的度数是 7.已知：直线AB和AB外一点C,如图. 求作：AB的垂线，使它经 过点C. 作法： (1)任意取一点K,使K和C在直线AB的 (2)以 为圆心， 为半径作弧 交AB于点D、E: (3)分别以 和 为圆心，以 的长为半径作弧，两弧交于点F; ·106· 第13幸金爷三角形 10.(贵港中考)尺规作图（保留作图痕迹，不要 弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G,作射线 求写出作法)： AG,交BC于点D,点F在AC边上，AF=AB, 如图，已知线段m,n.求作△ABC,使∠A 连结DF,则△CDF的周长为 90°，AB=m,BC=n. 13.(陕西中考)如图，已知△ABC,CA=CB, 月是 ∠ACD是△ABC的一个外角， 请用尺规作图法，求作射线CP,使CP∥ AB.(保留作图痕迹，不写作法) 【能力提升】 0 11.(坊中考)如图，已知∠AOB.按照以下步 骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧， 分别交∠AOB的两边于C,D两点，连 结CD. ②分别以点C,D为圆心，以大于线段CD 核 心素养 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点 E,连结CE,DE 14.数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师 ③连结OE交CD于点M. 用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 下列结论中错误的是 作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE, A.∠CEO=∠DEO 使OD=OE. B.CM=MD ②分别以D,E为圆心，大于DE的长为半 C.∠OCD=∠ECD 径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. D.Sg边形m=2CD·OE ③作射线OC,则OC平分∠AOB. 第11题图 第12题图 12.(葫芦岛中考)如图，在△ABC中，AB=5, 小聪只带了三角板，他发现利用三角板也可 AC=8,BC=9,以A为圆心，以适当的长为 以作角平分线，方法如下： 半径作弧，交AB于点M,交AC于点N.分别 步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB 上分别截取OM、ON,使OM=ON. 以M,N为圆心，以大于MN的长为半径作 ②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于 ·107· 指而针·课壹优化·八年盘上册·数学(HS) 点P 第3课时 作线段的垂直平分线 ③作射线OP,则OP为∠AOB的平分线： 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现 利用刻度尺也可以作角平分线， 知识梳理 根据以上情境，解决下列问题： 画线段垂直平分线的方法是：作以线段为 (1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三 底边的两个等腰三角形.过两个等腰三角形顶 角形全等的判定方法是 点的直线就是线段的垂直平分线. (2)小聪的作法正确吗？请说明理由。 (3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的 典 例精析 方法.（要求：作出图形，写出作图步骤，不予 证明) 考点①作线段的垂直平分线 【例1】如图，两条公路OA和OB相交于 O点，在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建 一个货站P,使货站P为∠AOB的角平分线与 线段DC垂直平分线的交点，用尺规作出货站P 的位置.（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出 结论) .D 规律与方法：此题考查了线段的垂直平分线 和角平分线的作法.这些基本作图要熟练掌握， 注意保留作图痕迹. 【变式训练1】如图，在△ABC中，作 ∠ABC的平分线BD,交AC于D,作线段BD 的垂直平分线EF,分别交AB于E,BC于F,垂 足为O,连结DF,在所作图中，寻找一对全等三 角形，并加以证明.（不写作法，保留作图痕迹） ·108·着南什·课堂代化·八年视上督·段争(H5》 结心素秀 13.3等腰三角形 专避练习七等腰三角形 第2课时线授直平分线 14.(1)888(2》小零的作法正输.理山路 知识棱理 第1深时等慢三角形的性质 1,A2B3A-4D5.5 (8)略 上，线段两个強点的距离 知识镜里 6,127,例略&中证明略〈23 第3深时作线爱的●直平令浅 2.垂直平分线玉一点三个度点 1《1)1等《2)面角平分线能边上的中线张边 13.4尺规作图 课后滴练 课后演连 上的高 LD 2.D 3.C 4.B L,A2,C3B4C5h640 《3)度角的平分线（底边上的中线或庭边上的高 第1课时作一个角等于已知商 玉A B AB M N M N线段AB 7.(1)3570d(273)18.208正明略 所在的庄线 细识校理 最91.☒④系U,图略略1原略 山.证明略1L2如或7矿12.21以明略 2.1)等边三角形2)相等0()一条三笔L及有期度的直尺周现工8S5 练心素养 核心索养 课后演笔 课后演练 11.1)附 14.还明略 (2)△ABEQ△AE:△BDEQ△CDE 1C2.A3D+A5D6.67.40减10 1,D2.月3.B4D 第3课时年平令线 茶0复.110.证明略 5,作射线0A 建择△，ABE白△，ACE进行证明 ,AB=AC,AD⊥C 知识棱W 1L.(1)∠-i,∠ABE-2 以)为图，任延长为半径新氟实州，带于 ZRAE=/CAE. ,角构边的距离2，内边距离相等 (2)∠+∠DC=11',星毫 C.D AE-AE 3同一点三功的E离 以可为国心：第二步的率整为半径腾无，交了A 以3x成r .△AHE2△E. 课后演练 于C“ 1,目2B354B5,46.4t方1s 14.(1)正明略(2)AD⊥，里由略 以C为属心：D长为半径国冤，与前厘交于 13.5逆命题与逆定理 7.证明略8D一4.B 核心素养 过口，D作财线OB 第1深时互逆命对与互递定显 10.1》证明路21AB十AC-2AE I5.(10∠A+∠C=270 6.10或100心下.昂米路 知识镇理 核心索养 ()是，现由略 头，1屏略(2)仪：555全等三角形的对应1条件站论结论条件豆送命题罩命题 11.(1》正明略(2》BE一CF,证明降 第】深时等腰三年彩的料定 角相等 逆命题 第13章意末测试 1电略 玉送命烟反递定厘通定厘玉.通命赐递定理 知识统课 课后高塔 I.A 2.C 3.A 4.D 5.D 6D 7.B 8.B 1.《1)两条边相等2)所对的边也相等 核心素养 11路 1.A2.D5.B4B 9,7015m10,411.B=答案不理一) 2(1D三条边富相等(3)0(3)等履 第2球时作角平分 .如果6一40，那么b 2.12线4144装61长.证训略16.略 课后演练 最果两个三角形的雀积相等，都么这两个三角形7，任明略路 1.C1B3,B4.B5486.行7.州然略 如识楂理 全等餐 生I)△DEF是等艳三角形 1,边边边公理2平 工@苏鞋命题 第14章勾股定理 《2)当∠一0时，△DEF是等边三角形，理山略 保后演练 9.1)使被1整除的数位能技2整除.真角题 1m.D11.H12.4 1.D2.且3B4.B50 (2)如果两个三角那全等，幕么它们的三条边分别 1a10(2∠A=0- 6.18 对成相等（或个等三角形的对校边相等）真舍题 141勾殿定理 7.1》两劳C线投CK长 101)3(2略 第【球叶直角三角形三边的美系 )∠0-∠ACF-90- 结心素秀 (3)DE大于DE(4)直线 1业.边命题：在△AX中，A>C,∠1一∠2，知识被理 柱心素养 8(1)略2150°号，略10略 若∠C=∠B,都么AB=AC+D 【零方和韩边的平方 14.(1)E明略(2》DE+C=BD 11.C121213,略 E明略 2.三边之间两边第三边√@干W2一 4