12.5 因式分解&专题练习四 因式分解-【指南针·课堂优化】2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

第12幸整式畅乘除 12.5 因式分解 C.-xy+2x2y-xy=-xy(x2-2x+y2) 第1课时 提公因式法 n是任-刘 知 识 梳 理 规律与方法：根据因式分解的定义，因式分 1.把一个多项式化为几个 的形 解的等号左边是一个多项式，等号右边是整式乘 式叫做把多项式的因式分解. 法的形式。 2.多项中的 都含有的 【变式训练1】（济宁中考）下面各式从左 称之为公因式 到右的变形，属于因式分解的是 () 3.公因式的找法： (1)系数 各项系数的 A.x2-x-1=x(x-1)-1 (2)字母 各项都含有的 B.x2-1=(x-1)2 (3)指数 相同字母的 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) 4.提公因式法 D.x(x-1)=x2-x 把多项式的 提出来作为多项式 考点②利用提公因式法进行因式分解 的一个因式，原多项式中 【例2】把下列各式分解因式： ,所得的新多项式作为另一个因式， (1)-5.x2+25.x: 从而把多项式化为两个因式的积的形式的方法 叫提公因式法。 注意：(I)当多项式中的某一项作为该多项式的 公因式时，提取公因式后该项应为1，注意不要漏掉 (2)9.x2m+3-27x+1; 了该项：(2)当首项为负时，公因式的系数就提负数， 保证括号内的首项为正，在提取“一”号时应注意括 号内各项都要变号.(3)公因式可以是一个单项式， (3)a(x-2a)3-b(2a-x)2; 也可能是一个多项式，掌握符号的变化规律，对于( 一y)与(y一x)的符号有下面的关系：(x一y)=(y -x)2,(x-y)2+1=-(y-x)2+1 典 例精 析 (4)(m-n)十m(m-n)3+n(n-m)3; 考点① 因式分解的定义 【例1】下列从左到右是因式分解的是 A.(x-1)(x+4)=x2+3.x-4 B.x2-2x+3=x(x-2)+3 ·53· 指而针·课壹花化·八年盘上册，数学(HS》 (5)(a.x+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2. C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 4.如果x一2是多项式x2-6x+m的一个因式， 那么m的值为 () A.8 B.-8 C.2 D.-2 5.使等式52-15x=0成立的x的值为 6.用简便方法计算 规律与方法：提公因式法分解因式的一般步 (1)121×0.13+12.1×0.9-1.21×12= 骤：(1)找出公因式：(2)提出公因式：(3)确定另 一个因式，用原多项式的每一项分别除以公因 (2)(-2)101+(-2)100+29= 式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因 (3)2024-2024×2023= 式 44444 27 【变式训练2】分解因式： (4)2二-2 (1)(湘西州中考)m2+31 7.已知x-y=4,xy=12,则一xy+xy 8.将下列各式分解因式： (2)(广州中考)3a2-21ab (1)4x2+6xy+2.x: (3)(常州中考)x2y+xy2 (4)(镇江中考)3.x+6 课 后 演练 【基础过关】 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是 (2)-25.x2y2+15.x2y2: ( A.a2+4a-21=a(a+4)-21 B.a+4a-21=(a-3)(a+7) C.(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D.a2+4a-21=(a+2)2-25 2.(柳州中考)把多项式a2+2a分解因式得 ( A.a(a+2) B.a(a-2) (3)(2a+b)(2a-3b)+a(2a+b): C.(a+2)2 D.(a+2)(a-2) 3.(河北中考)对于①x-3.xy=x(1-3y),②(x +3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形 表述正确的是 A.都是因式分解 B.都是乘法运算 ·54· 第12幸整式畅乘除 (4)-6(x-y)3+18(y-x)2-24(y-x)3.12.试说明817-27-93能被45整除 9.不解方程组 2m-n=3,求5(2m-n)2-2 4m+3n=1, 核心素养 (n-2m)3的值. 13.阅读题：分解因式 (1+x)+x(x+1)+x(x+1)2 =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)[(1+x)十x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3 (1)本题提取公因式几次？ 【能力提升】 10.(常德中考)若x2十x=1,则3.x十3.x3+3x十 1的值为 11.利用乘法，容易知道(m+n)(a十b)=ma十 mb十a十b,现在问题是如何将多项式@ 十mb+a+b因式分解呢？用你发现的规 (2)若将题目改为1+x+x(x+1)+…+x 律分解：m3一m2n十mm2-n3 (x十1)”应提取公因式多少次？结果是 什么？ ·55· 指而针·课壹优化·八年盘上册，数学(HS) 第2课时 公式法 (3)(丹东中考)因式分解：2a2+4a+2= 知 识 梳 理 考点②综合运用提公因式法和公式法分解因式 1.公式法 【例2】把4ab+4ab+ab分解因式。 将乘法公式反过来用，对多项式进行因式 分解的方法叫公式法. 2.平方差公式： 完全平方公式： 【例3】已知a、b、c分别为△ABC的三边， 典例精析 你能判断(a2+b-c2)2-4a6仔的符号吗？ 考 点① 利用公式法分解因式 【例1】把下列各式分解因式： (1)4.x2-9: (2)-x2+4x-4: (3)(a2+9)2-36a2:(4)16.x-72x2+81. 规律与方法：要判断此式的符号，需把原式 因式分解，然后根据三角形的两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边判断每个因式的符号， 再进行判断. 【变式训练2】分解因式： (1)(常德中考)x3-9.xy2 规律与方法：用公式法进行因式分解时，首 (2)(赤峰中考)2x3+4.x2+2.x 先从多项式的项数上确定选哪种公式，然后再从 形式上判断是否符合公式的特点，进而进行正确 课 练 地分解。 后 演 【变式训练1】(1)（河池中考）多项式x2 【基础过关】 4.x十4因式分解的结果是 A.x(x-4)+4 1.下列因式分解正确的是 B.(x+2)(x-2) A.n2-5n+6=n(n-5)+6 C.(x+2)2 B.4x2-1=(2x-1)2 D.(x-2)2 C.y2-4y-4=(y-2)2 (2)(菏泽中考)分解因式：x2-9y= D.42-4t+1=(21-1)9 ·56· 第12幸整式畅乘除 2.多项式a2+4ab+2,a2-4ab+16,a2+a+ (3)(x2+4)2-16x2: 子，25c-10a6+8中，能用完全平方公式分 解因式的有 A.1个B.2 C.3个 D.4个 3.(河北中考)若9-1)112-山=8×10×12， (4)(a2+6a)2+18(a2+6a)+81; 则k ( A.12 B.10 C.8 D.6 4.若a2+(2-6)a+16是完全平方式，则m的 值为 () A.-5 B.-1 C.7 D.7或-1 【能力提升】 5.已知长方形的周长为16cm,它两邻边长分别 为xcm,ycm,且满足(x-y)2-2.x+2y+1 10.(1)(眉山中考)已知a2+=2a-b-2,则 =0,则该长方形的面积为( )cm2. A号 3a-2b的值为 B婴 C.15 D.16 (2)(菏泽中考)若a+b=2,ab=-3,则代数 6.(广安中考)已知a+b=1,则代数式a2-+ 式a3b+2a+ab的值为 2b+9的值为 (3已知a+6=86=4,则产 -ab= 7.分解因式： (1)(盘锦中考)xy-2xy+y (2)(毕节中考)2m2一8= 山.计算121字)…(1g)10)月 (3)(怀化中考).x2-x 3.x+2y=4, 8.已知x和y满足方程组 则代数 16.x-4y=3, 式9.x2-4y2的值为 9.把下列各式分解因式： (1)a3-2ab+ab: (2)m2(m-1)-4(1-m)2: 核心素养 12.已知(x-y)-2.x+2y+1=0,则x-y= ·57· 指而针·课壹优化·八年盘上册，数学(HS) 专题练习四 因式分解 类型① 提公因式法 类型⑤ 阅读理解题 1.(长春中考)分解因式：m2+3m= 17.阅读并解决问题 2.（百色中考)因式分解：a.x十ay 对于形如x2+2a.x十a2这样的二次三项式， 3.(绍兴中考)分解因式：x2+x= 可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式. 4.(眉山中考)分解因式：2x2-8x= 但对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直 类型②公式法 接运用公式了. 5.(烟台中考)把x2-4因式分解为 此时，我们可以在二次三项式x2+2a.x一3a 中先加上一项a2,使它与x2+2a.x的和成为 6.(株洲中考)因式分解：x2-25 一个完全平方式，再减去a,整个式子的值 不变，于是有：x2+2a.x-3a2=(x2+2a.x+ 7.(衡阳中考)因式分解：x2+2x+1= a2)-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a) (x-a). 8.(连云港中考)分解因式：9x2十6x十1= 像这样，先添一个适当项，使式中出现完全 平方式，再减去这个项，使整个式子的值不 类型③ 提公因式法与公式法结合 变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决 9.(辽宁中考)分解因式：3.x2y-3y= 以下问题 (1)利用“配方法”分解因式：a2-4a一12： 10.(哈尔滨中考)把多项式xy2一9x分解因式 (2)19世纪的法国数学家苏菲热门解决了 的结果是 “把x+4分解因式”这个问题：x+4=x+ 11.(沈阳中考)因式分解：ay+6ay+9a= 4x2+4-4.x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2 (2.x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).请你把 12.分解因式：2024x2-4048.x+2024= x+64y因式分解； 类型④十字相乘法 13.分解因式：x2+6.x-7= 14.(荆门中考)把多项式x3+2x2-3.x因式分 解，结果为 15.(淄博中考)分解因式：x3+5.x2+6.x 16.(内江中考)分解因式：a一3a2-4= ·58·指南针·课堂优化·八年规上哥·我学(H5 4.(105+6(2)号(3)-72y+5y (7-+a 专题练习三 乘法公式 课后演 5. (-+ 1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.10 1.C 2. B 3A 4A 5C C 7.B 8.D 5.(10122-2r-49(2)8-15 7.(1-)(2(+2)(a-2) 9.8 190 11.(1)39 996 (2189401 (3)? 5-+-ry ③+-01-) (31-16+40-25- 112+1 260+10 3.A-B-8 6.8-+? 8.6 14.式-y-200+1000 7.(1-+1(210 7.1式-1+-} 9.(1(-(2)(n-1D-2) 15.原式-1+2 18-+24--+(-” (2)---5 16.(1)+6(2-] 8式-3y+c-平 330+2r-(0+ 8(-D+a'++++--1 1.(1)4 (2)-12 (3028线30 12.4 整式的除法 .c 1n- (②1-1 11. 11. 2-+1 (-++..++2+1--1 12.4.1 准项式除改单项式 核心素养 心素养 1(+y-(n--8a1的整数 12.(1++1(+6-1 12.1 (2800101} 舞识梳理 (=-36-7.商为?-1 专题练习四 系数 同数写 连同它的指数一起作为真的一个 因式分解 In.(1)1 (2090 900 因式 12.5 因式分解 核心素养 现后演练 1.wa +3)2+ 3xr+1 第1课时 提公因式法 11.(3-1) 1.A 2.A 3C 4.B 5.B 42-5(+-2 知识梳理 6.(1(2-%(2)) 6.(+5)(-7(r+1 1.整式积 2.每一项 相同因式 12.3.2 两数和(差]的平方 +1y3r+1-1 7.(1)3 3(2)-2y8(a+2] 3.(1)最大公因数 (2)相列字母 (3)最低次 n. y+3y-0 1.ay+ 9.(1(2-{ 知识理 4.公因式 每一项分别除以这个公因式 12.2024(-1'1(-1+7 课后演选 它们乘相的倍 ③- 141+3-115.1+2+ 1.B 2.A 3.C 4.A 8.03 课后演 16.(+1+2~2) 10.式-2+1n-1 6.(112.1(2)-2(3)202(- 1D 2C3C4.C5 B 17.(1(-6(+2) “,是方程,-2-0的根. 6(19y(2)-2r 33+60-25 7.-15 (②++8)-七+) 43+n+1(5)tey &+n-2-0即+-. ++2-545- 原式一: 第12章 章末测试 7.89或3912 11.1 12.&13(114 (2310 2+-(8-》r-+ 9.9 10.4 1. B 2.D3.B 4.C 5.A 6. D7. D 8D 核心素 n(11 (2)+6a+o{ l.+tnn + 91)(叶-(2+-] 14-2+:-37 -n+--(-nm+n] (30-2024) 3++4+-4-4 12.4.2 多项式除以单项式 12.略 n1 121 12.213.6 14-t (5+10 核心素善 15.(1-10 知识梳理 1.(1)2次(21次,为+1 (2)-4y(3)) 11.i明略 12.B 13.0 14.1)5 (2547 核心素养 1.(1)句一项分别 项式 相加(2)十6十 第2课时 式法 2.乘方,方 乘除 加减 从左到右 括号 $6.--4.当-3-1时,式=-2 15(1zy-8 (2+y- 后演练 知识理 17.(1-+8(-2-4 (3+}-27} 1.A 2.B 3.C -+(-】+2+y (2原式-(+1(-10+3 37 38