12.3.2 两数和（差）的平方-【指南针·课堂优化】2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

第12幸整式畅乘除 (1)观察上面一系列式子，你能发现什么规 12.3.2两数和（差）的平方 律？用含n的式子表示出来(n为正整数) (2)根据你发现的规律，计算： 知 识 梳 理 2025-2023= ,这时n= 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和 10.计算下列各题： 加上（或减去） ,即(a士b)2 (1)2025-2024×2026: =a2±2ab+b 注意：公式中的a和b可以是单项式，也可以是多 项式 典例 精析 考点① 完全平方公式的运用 【例1】 计算： (2)99×101×10001. (1)(2.x+3y)2; (2)(-a+5b)2: 3(-3a2), 4(-3a+)后a) 核心素养 11.计算：(3+1)(3+1)(3+1)·…·(3s+1). 规律与方法：两数和的完全平方式的特征：左 边是一个二项式的和（或差）的平方，右边是一个二 次三项式，其中有两项是左边二项式中每一项的平 ·41 指而针·课壹花化·八年盘上册，数学(HS》 方，另一项是左边二项中那两项乘积的2倍， (2)(x+2y-z)(x-2y+z): 在运用两数和的平方公式时，要注意以 下几点：(1)当所给的二项式中两项的符号相 同时，则结果中三项的符号都是正的；(2)当 所给的二项式中两项的符号相反时，则结果 中“2ab”项的符号为负. 【变式训练1】(1)(3a+1)2 (3)(x-y)(x十y)(x2-y2): (2)(4a-b)2= (3)(-2.x+6)2= (4)(-3.x-4y)2= 考点②乘法公式的综合运用 【例2】计算： (1)(x-2y+1)(x-2y-1): (4)(a-b-c)2. (2)(2a+3b)2(2a-3b): (3)(a+2b+c)2. 考点③利用完全平方公式进行简便运算 【例3】用简便方法计算： (1)99.8;(2)800-798×1600+7982. 规律与方法：在应用乘法公式综合解题时， 既要注意公式的结构特征，又要注意与以前学过 的积或幂的乘方法则或乘法交换律的结合， 【变式训练2】计算： (1)(2x+y)2-4(x-y)(x+2y) 【变式训练3】用简便方法计算： (1)1012+992. ·42· 第12幸整式畅乘除 (2)19.92+19.9×0.2+0.12. 2.(河北中考)将9.5变形正确的是 A.9.52=92+0.52 B.9.5=(10+0.5)(10-0.5) C.9.52=102-2×10×0.5+0.5 D.9.52=92+9×0.5+0.5 3.下列各式中，是完全平方式的有 ①d2-a+:②r+xy+y: 考点④利用等式变形解题 【例4】(1)已知x-=5,求2+是 ③6m2+m+9:④r2-xy+: 的值. ⑤m2+4n2+4mn:⑥aB-ab+1. (2)已知(x+y)2=16,(x-y)=4,求xy A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 的值 4.(枣庄中考)图(1)是一个长为2a,宽为2b(a> b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪 开，把它分成四块形状和大小都一样的小长 方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则 中间空余的部分的面积是 (2) A.ab B.(a+b)9 【变式训练4】(1)（乐山中考）已知实数 C.(a-b)2 D.a2-b a,b满足a+b=2a6=是则a-b= 5.等式①(a-b)2=(b-a)2:②(a+b)2=(-a A.1 B.- C.±1 D± -b)2: ③(a-b)2=(a+b)2:④a2-3=(b-a)(-b (2)①已知a+1=3,则a2+ -a): ⑤(a-b)2=a2-b-2ab:⑥(a-b)2=a2+ ②已知a- 2=5,那么a2+ -2ab: ⑦(a-b)2=(a十b)2-4ab中，无论a,b取何 课 演练 值总能成立的有 () A.6个 B.5个 C.4个D.3个 【基础过关】 6.(1)4.x2-12xy+ =(2.x-3y)2: 1.利用公式计算（一x-2y)2的结果为( (2).z2+ +1=(x-1)2: A.-x2-2xy-4y2B.-x2-4xy-4y (3)(6a+5b)2= C.x2-4xy+4y D.x2+4xy+4y2 (4)(-2m-1)2= ·43· 指而针·课壹优化·八年盘上册，数学(HS) (5)若(2x-y)十m=4x2+y,则m= (5)3(m+1)2-5(m+1)(m-1)+2(m-1). 7.(大庆中考)已知代数式a2+(21-1)ab+4?是 个完全平方式，则实数1的值为 8.若关于x的多项式9x2-(2-6)x+4是完 全平方式，则k的值等于 9.给多项式9x2十4添加一个单项式，使其成为 一个完全平方式，则添加的这个单项式可以 是 .(填一个即可) 10.计算： aa+3(a-3)广： 11.(河北中考)发现：两个已知正整数之和与这 两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该 偶数的一半也可以表示为两个正整数的平 方和. 验证：如，(2+1)2+(2一1)2=10为偶数.请 把10的一半表示为两个正整数的平方和； 探究：设“发现”中的两个已知正整数为m, n,请论证“发现”中的结论正确. (2)(2a+b)2-2(2a+b)(a-2b)+(a 2b)2: (3)(m2+n2)2-[(-m)2-(-n)]: (4)(x+y-2)2; ·44· 第12幸整式畅乘除 【能力提升】 核心 素养 12.(德州中考)我国南宋数学家杨辉所著的《详 15.若x+y=6,且(x+2)(y+2)=24. 解九章算术》一书中，用如图的三角形解释 (1)求xy的值： 二项式(a十b)"的展开式的各项系数，此三角 (2)求x2+y的值： 形称为“杨辉三角” (3)求x+y的值. {a+h)……1 (alh)'……11 (al6)…】2】 《a+h)…1331 (alb)3414611 (alh)…15101051 根据“杨辉三角”请计算(a+b)的展开式中 从左起第四项的系数为 () A.84 B.56 C.35 D.28 13.若(.x-2023)+(x-2024)2=1,则(x 2023)(x-2024)= 14.(荆门中考)已知x+1=3,求下列各式 的值： a6x-, 2r+ ·45·背南针·谋堂我化·八年视上铅·最章(H5 《)-h十a 课后演练 专题练习三乘法公式 41+6(2宁b一号6a)-7江y+5w 5< 1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.10 1.C2.B表A4A5CkCT.B8D 2m-h+ sDi2上-2r-921-号 7,(1wx-y〔3>2(w+2)(m一2 9.81电9011.(1)a8996(2)89401日)2 5-3P+4-4ry (31+r(1-F 《339:2-162+40灯-252 12.(112x+1(28w+1013.A-F-8y 6测一h十2 8.6 14原式=y-200y+10003 7《1)蝶式=4十w一g 1.15ac-3h+1(2)10 9.(1)a(-6)(2)m-1》(w-2) 15.原式=12+2r+5 2)%式=千-4=-25 382-2+244)-6一M)+4〔台-0 (3)4x十2上Lr-2(4(a十3) 16(1w十6m4(2动= 家1)（用一1）(w十刚十标十用十m+1)一m一 k式-3y十y-音 10.(1》4(2)-12(35线5 12.4整式的除法 (2)M+1一1 失C1m=等l.2-3+1 n. 《3)2+2+…+2+2+1m2知-1 12.4.1单项式除洗单项式 核心素养 依心素添 线，《1)(gn十1一(2m-一1)=8wn1的整数 t2.1 蟹织棱理 12.1)+x+1(22十6r-1 2)8066.1012 系数民底数M查同它的图数一起作为食的一 (8)a=一3,6=7，南式为2x一1 专题练习四因式分解 10.(1)1(2)99999992 因式 125因式分解 L.wm十)2x十y》人x中1》 核心素养 课后浅练 4.2r一4)5x+2r-2) .-山 LA2A表C4B5B 葛1深时民金习式法 6.(x+5)r-517,(x+1 6t2r（四-2是 知识植理 8(r十1)%3(r+17-1D 12.3.2两数和{差]的平方 1整式粗2句一项相同性式 7,(133(2)-2ry家u+2h) 天11最大公因数2)相可字母(3)最低次耀 1ny+3y-3,1.a(y+1 知识镜理 91a28 e号如 4公因式蜂一项分别隐以这个公因式 12.202(x-1)13(r-1)e+71 它们乘积的2倍 课后清练 14.1(r+3)-1015.r+2)+3 课后演炼 3号y0-2ry 1B2.A.C4.A8.0或8 16.(a+1)d+2)a-2) 1.02CC4C5B 10第式-2m十用-为 &12.12-g6a2m4D-号 17.1》(a-61(a+2) 6.《1)9y(2)-2(3)36t0a6+250 m是方程中￥一2一0的根， (2.2十y+8y)-山y十M/万 m十m一20，pw2十w=2, T.-45 《4)4m2+4+15)ry 原式=巴 象12x(2x+1y+1)2)-5y5y-3) 第12章章末测试 元受或-是89或-1曳2 11.1124r13114(210 4a)3(2a+61(t-【418My(r-y+1) I,B 2.D 3,B 4.C 5.A 6.D 7,D &.D 核心素养 象.91级.4 m(1w号+局2w+6a+w 9.(1)(世+w一3(2)3rr+2y(.-2y) 14,g一2w十n=37 1.s十b+十b=(w十n3(a十Hb例 (3)x4±-20240 一mN十uw一w=(一)m°十n) (3)mmt2十y十4+2y-一4y 12.4.2多明式除洗单项式 12略 m要1022a614- (5)2m+10 知媒楂理 依心素满 1L.明略12.B1从014.(1)行(247 1,(1利一项分州单项式目相(：十6十r 13日2次2w次，结果为+1 核心熏养 2系方，开力乘廊如减从左到名括号 第2果时会式法 6,原式=2一4，当x一了一1时.原式=一23 15.(1)xy=8(2+y-20 保后演炼 知识轨理 17.(1r-r+8=《r-21x-4》 (3):+y=272 LA 2.B 3C (2》原式=(w十1(m一1)4m+3) 3