12.3.1 两数和乘以这两数的差-【指南针·课堂优化】2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

指而针·课壹优化·八年盘上册，数学(HS) 12.3 乘法公式 12.3.1两数和乘以这两数的差 规律与方法：平方差公式的特点：①左边是 两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相 同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方 知 识 梳 减去互为相反数项的平方， 平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于 在运用平方差公式时，一定要认清哪一项是 这两数的 即(a+b)(a-b)=a2 相同的项，即公式中的a,哪一项是互为相反数的 项，即公式中的b:然后转化成a减去的形式， ?,这是两个二项式相乘的一种特殊情形，这两 最后利用暴的运算法则化简： 个多项式中有一项 ,另一 项 【变式训练1】(1)下列多项式乘法中可以 用平方差公式计算的是 () 典例精析 A.(2a-3b)(-2a+3b) B.(-3a+4b)(-4b+3a) 考点①平方差公式的运用 C.(a-b)(b+a) 【例1】计算： D.(2a-3b)(3a-2b)》 传r+3r-y) (2)下列运算中，正确的是 A.(x+3)(.x-3)=x2-3 2(-2x+号-2x2-2): B.(3a+2)(3a-2)=3a2-4 C.(3m-2n)(-21-3n)=4n2-9m2 3)2a+号b层b-: D.(a+2)(a-3)=a2-6 考点②平方差公式的灵活运用 【例2】计算： ①2(4u+46a-0: (2)(2x+3y-)(2x-3y+2): ·38· 第12幸整式畅乘除 3(a-2(a2+)(a+号)月 2024 (2)2024-2025×2023 规律与方法：在使用平方差公式时，要注意 (3)1002-992+982-97+…22-12. 公式的常见变形，如位量变化(a十b)(一b十a): 符号变化(-a一b)(a一b):系数变化(4u十b) (ab): 有些不能直接套用公式的，可对原式适当变 形，使之具备公式的结构特点，便可利用公式， 【变式训练2】计算： (1)(3x+y+2)(3x-y-2). 【变式训练3】计算： (1)59.8×60.2= (2)1232-124×122= 课后演练 【基础过关】 (2)(x-1)(x2+1)(x+1). 1.下列各式中不能用平方差公式进行计算的是 () A.(m-n)(m+n) B.(-x-y)(-x-y) C.(x-y)(x+y)D.(a3-b)(+a3) 2.（赤峰中考)已知(x+2)(x-2)-2.x=1,则 2x2-4.x+3的值为 () A.13 B.8 C.-3 D.5 考点③)用平方差公式进行简便计算 3.若M(3a-b)=b一9a,则代数式M应为 【例3】用简便方法计算： () (1)(2+1)(22+1)(2+1)·…·(232+1): A.-(3a+b) B.-+3a C.3a+b D.b2-3a 4.平方差公式的常见变形 (1)位置变化：(b十a)(-b+a)= (2)符号变化：(-a-b)(a-b)= (3)系数变化：(3a+5b)(3a一5b) ·39· 指而针·课壹优化·八年盘上册·数学(HS) (4)指数变化：(a3+)(a3-)= (2)(南充中考)先化简，再求值：(x+2)(3x一 (5)连用公式：(a-b)(a+b)(a2+?)(a+b) 2)-2.x(x+2),其中x=√3-1. (6增项公式：(ab-c)a一b+r)= (7)逆用公式：(a-b+c)2-(a+b-c)2= 5.已知a、b、c是三角形的三边长，那么代数式 (a-b)2-c2的值 0(填“>”“<”或 “=”) 6.计算： )3x+7)3x-)+2(2x-1月 8.观察下列等式： (m-1)(m+1)=m2-1 (m-1)(m2+m十1)=m3-1 (m-1)(m3十m2+m十1)=m4-1 (1)根据上面各式的规律，请写出第5个等式 2)3x-2(-2-3x(-4-9r）月 (2)根据上面各式的规律可得(m一1)(m+ m1…m2十m+1)= (n为正 整数，且n≥2). (3)求224+222+…十22+2+1的值. (3)(4y+3.x-5z)(3.x+5-4y). 7.先化简，再求值： (1)(长春中考)(2+a)(2-a)+a(a+1),其 中a=√2-4. 【能力提升】 9.给出下列等式 32-1=8=8×1 5-32=16=8×2 72-52=24=8×3 92-72=32=8×4 ·40· 第12幸整式畅乘除 (1)观察上面一系列式子，你能发现什么规 12.3.2两数和（差）的平方 律？用含n的式子表示出来(n为正整数) (2)根据你发现的规律，计算： 知 识 梳 理 2025-2023= ,这时n= 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和 10.计算下列各题： 加上（或减去） ,即(a士b)2 (1)2025-2024×2026: =a2±2ab+b 注意：公式中的a和b可以是单项式，也可以是多 项式 典例 精析 考点① 完全平方公式的运用 【例1】 计算： (2)99×101×10001. (1)(2.x+3y)2; (2)(-a+5b)2: 3(-3a2), 4(-3a+)后a) 核心素养 11.计算：(3+1)(3+1)(3+1)·…·(3s+1). 规律与方法：两数和的完全平方式的特征：左 边是一个二项式的和（或差）的平方，右边是一个二 次三项式，其中有两项是左边二项式中每一项的平 ·41我赴·课幸优化·八年烦上·&学(H5 -1-11题11 12.1.3 积的乘方 12.2 整式的乘法 12.2.3 多项式与多项式相 19.十y-1 知识梳理 12.2.1 效项式与单项式相 知识梳理 ( 1高一个因式 方 相遍 20.--y的相反数为v1-6 每一项每一项 知识梳理 课后演续 课后演练 第12章 整式的乘除 1.D 2.D 3C 4.C 5.400 66 (1)各项式数的积(2)不是 相加 (3)一个 1.B2.C3.D4C 5.6-6- 7.4 1 8.230t 项式里含有的字母 6. -157-2w .-3+ (2-(3)-” 课后演路 12.1 富的运算 8.(1+8+152-1-+ 1n.(1-1(2)-? 1.B 2.C 3B 4B $.(11-)(2)(3) 11.N一×口是-个十位数的正整数 (3+(40-2-n+19 12.1.1 同底数的乘法 核心素养 9.(1)每式---2-65. (-(51-415 知识理 12.这个正方长为4X10dn 出=-时,原式--10 1. 数 2.0)相加 6.24×10m7-? (②)式-0 12.1.4 间底数的除法 课后清练 8(1-](2- ln.B 1.A 2D3D 4.C 知识建 1+1&+-17 ow2ya-6 5.1(210(38(49 (1数 数 -1-17-7r+17 6 7.485× 9.m+2-11 课后演练 9.A 1.0.12508° 11.100 1+(o++高 1)-(210 (0+0 11.125ry 1.B 2.A3.D 核心素善 (2r--10150 11.(1(--5-2--8(2-} 4-(2(3(4-5-1 1. 2-39+000 (015 13.2-+r1.0 5.16.10000 12.22 单项式与多项式相 12.3y13.{ [m-3. 核心囊养 7.(11(1 1-. -21十8 15. (3)1 任何不等于0的数的0次都于1 知识梳理 抖一项 积相加 +n+w 核心素养 (4011(5%2 14.(11-1 课后演 的方 _1 12.1.2 8(3(2(3(4)-2 ..128 11--81 1.B 2.B 3.A 4.B 5.4 知梳 6.170 12.3 法公式 1.几个相闻的寡 4个 2.(1)底数 指数 心素 &(1-3+(21-8+- 12.3.1 课后选 12.(1)3-54 (2)i路 (3)1 画数和乘以这两数的差 (3-10+17}-20(4-n+f-10 1.B 2.D 3A 4A 5.1 6.0 7-0.125 .一- 专题练习二 寡的运算法则 知识理 8(1)(2)(30(-{。 平方:完全相同 互为相反数 n(1+-20(2-8(1} 10.111.0 1.D 2.5 3.C 4.A 5.B 6.D 课后漓 12.-12+1.5- 11.10 12 1.③① 14 7.1)(2(3((5) 1.B2.A 3A 糕心弄 8.0..C 10.D 11.D12.C 1 核心素善 4.01-(2-(-2 15.-+0-1 14.(1)108(27 13.正确结果(--2+3) 4-(-6- 36 指南针·课堂优化·八年规上哥·我学(H5 4.(105+6(2)号(3)-72y+5y (7-+a 专题练习三 乘法公式 课后演 5. (-+ 1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.10 1.C 2. B 3A 4A 5C C 7.B 8.D 5.(10122-2r-49(2)8-15 7.(1-)(2(+2)(a-2) 9.8 190 11.(1)39 996 (2189401 (3)? 5-+-ry ③+-01-) (31-16+40-25- 112+1 260+10 3.A-B-8 6.8-+? 8.6 14.式-y-200+1000 7.(1-+1(210 7.1式-1+-} 9.(1(-(2)(n-1D-2) 15.原式-1+2 18-+24--+(-” (2)---5 16.(1)+6(2-] 8式-3y+c-平 330+2r-(0+ 8(-D+a'++++--1 1.(1)4 (2)-12 (3028线30 12.4 整式的除法 .c 1n- (②1-1 11. 11. 2-+1 (-++..++2+1--1 12.4.1 准项式除改单项式 核心素养 心素养 1(+y-(n--8a1的整数 12.(1++1(+6-1 12.1 (2800101} 舞识梳理 (=-36-7.商为?-1 专题练习四 系数 同数写 连同它的指数一起作为真的一个 因式分解 In.(1)1 (2090 900 因式 12.5 因式分解 核心素养 现后演练 1.wa +3)2+ 3xr+1 第1课时 提公因式法 11.(3-1) 1.A 2.A 3C 4.B 5.B 42-5(+-2 知识梳理 6.(1(2-%(2)) 6.(+5)(-7(r+1 1.整式积 2.每一项 相同因式 12.3.2 两数和(差]的平方 +1y3r+1-1 7.(1)3 3(2)-2y8(a+2] 3.(1)最大公因数 (2)相列字母 (3)最低次 n. y+3y-0 1.ay+ 9.(1(2-{ 知识理 4.公因式 每一项分别除以这个公因式 12.2024(-1'1(-1+7 课后演选 它们乘相的倍 ③- 141+3-115.1+2+ 1.B 2.A 3.C 4.A 8.03 课后演 16.(+1+2~2) 10.式-2+1n-1 6.(112.1(2)-2(3)202(- 1D 2C3C4.C5 B 17.(1(-6(+2) “,是方程,-2-0的根. 6(19y(2)-2r 33+60-25 7.-15 (②++8)-七+) 43+n+1(5)tey &+n-2-0即+-. ++2-545- 原式一: 第12章 章末测试 7.89或3912 11.1 12.&13(114 (2310 2+-(8-》r-+ 9.9 10.4 1. B 2.D3.B 4.C 5.A 6. D7. D 8D 核心素 n(11 (2)+6a+o{ l.+tnn + 91)(叶-(2+-] 14-2+:-37 -n+--(-nm+n] (30-2024) 3++4+-4-4 12.4.2 多项式除以单项式 12.略 n1 121 12.213.6 14-t (5+10 核心素善 15.(1-10 知识梳理 1.(1)2次(21次,为+1 (2)-4y(3)) 11.i明略 12.B 13.0 14.1)5 (2547 核心素养 1.(1)句一项分别 项式 相加(2)十6十 第2课时 式法 2.乘方,方 乘除 加减 从左到右 括号 $6.--4.当-3-1时,式=-2 15(1zy-8 (2+y- 后演练 知识理 17.(1-+8(-2-4 (3+}-27} 1.A 2.B 3.C -+(-】+2+y (2原式-(+1(-10+3 37 38