江西省新余市第四中学2023-2024学年高二下学期第二次段考数学试题

试卷第 1页，共 2页 新余四中 2023-2024 学年高二下学期第二次段考数学试卷 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.命题“  0 0,x   ， 0 0ln 1x x  ”的否定是（ ） A．  0 0,x   ， 0 0ln 1x x  B．  0 0,x   ， 0 0ln 1x x  C．  0,x   ， ln 1x x  D．  0,x   ， ln 1x x  2.已知正项等比数列 na 的前 n项和为 nS ， 4 2S  ， 8 10S  ，则 na 的公比为( ) A．1 B． 2 C．2 D．4 3.函数 ( )y f x 的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ） A．0 (2) (3) (3) (2)f f f f     B．0 (2) (3) (2) (3)f f f f     C．0 (3) (3) (2) (2)f f f f     D．0 (3) (2) (2) (3)f f f f     4.若 0   ，则下列结论中正确的是（ ） A． 2 2  B． 2       C． 1 1 2 2              D． sin sin  5.已知数列 na 中， 1 2a  ， 2 4a  ， 1 2 2n n na a a    ，则 2024a （ ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 6.已知 ln5 5 a  ， ln 3 3 b  ， ln 2 2 c  ，则（ ） A．b c a  B．c b a  C． a c b  D． a b c  7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数 学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的 一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数 中，被 3除余 2且被 5除余 1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则 281是第几个数（ ） A．18 B．19 C．20 D．21 8.设函数 2 2 2( ) ( ) (ln 2 )f x x a x a    ，其中 0x  ，a R ，若存在 0x 使得 0( )f x b„ 成立，则实数b的 最小值为 ( ) A． 1 5 B． 2 5 C． 4 5 D．1 二､选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.已知集合  2 3 2 0M x x x    ，  1N x x   ，则（ ） A．N M B．M N C．M N   D． RM N Rð 10.已知函数   ex x f x  ．则下列说法正确的有（ ） A．函数  y f x 有两个零点 B．函数  y f x 的单调递减区间为    ,0 1, 和 C．函数  y f x 有极大值 1e D．若关于 x的方程  f x a 有三个不同的根．则实数a的取值范围是 10, e       11.已知数列{ }na 满足： 1 0a  ， *1 ( 1) ( )nan na ln e a n N     ，记{ }na 前 n项和为 nS ，下列选项正确 的是 ( ) A． 2 1{ }na  是单调递增数列， 2{ }na 是单调递减数列 B． 1 3n na a ln „ C． 2020 1010S  2ln D． 2 1 2n na a„ 试卷第 2页，共 2页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。 12.数列     1 2 1n n  的前 100项和等于____________. 13.已知  : lnp f x x a x  在 2 ， 上单调递增， :q a m ，若 p是q的充分不必要条件， 则实数m的取值范围为____________. 14.已知正数 ,a b满足5 3 4 ,lna b a b a     ，则 b a的取值范围是____________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记 nS 为数列 na 的前 n项和．已知 2 2 1n n S n a n    ． (1)证明： na 是等差数列； (2)若 4 7 9, ,a a a 成等比数列，求 nS 的最小值． 16．将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如 图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒. (1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V表示为盒底边长 x的函数； (2) x多大时，盒子的容积V最大?并求出最大值. 17．已知函数   lnf x nx x   *Nn 的图象在点   1, 1f 处的切线 l经过点  , 0na ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)已知数列 2 12 n n n a        （ -1） 的前n项和为 nT ，求证： 1 2n T  . 18．已知函数 ( ) e xf x x ． (1)讨论函数 2( ) ( ) ( 1)2 ag x f x x   的单调性； (2)若不等式 ( ) 1 lnf x mx x   恒成立，求实数m的取值范围． 19．已知数列 na ，记集合     *1, , ... ,1 , , Ni i jT S i j S i j a a a i j i j        . (1)若数列 na 为1,2,3，写出集合T； (2)若 2na n ，是否存在 *, Ni j ，使得  , 512S i j  ？若存在，求出一组符合条件的 ,i j； 若不存在，说明理由； (3)若 na n ，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为 1 2, ,..., ,...mb b b ， 若 2024mb  ， 求m的最大值． 新余四中2023-2024学年高二下学期第二次段考 数学参考答案 1.c 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A 7.B 8.c 9.BC 10.BCD 11.ABD 12.100 13.(2,+0） 14.[e,7] 15.（1D因为2+n=20,+1,即25，+m=2a.+n0, 当n≥2时，2S-+(n-1=2(n-1)a+(n-1)②，1分 ①-②得，25n+m2-254-(n-1=2na.+n-2(n-1)a1-(n-l),2分 即2an+2n-1=2an-2(n-1)an4+1, 即2(n-1)an-2(n-1)an-=2(n-1), 5分 所以an-an1=1,n22且n∈N*, 所以{a}是以1为公差的等差数列.7分 (2)由(1)可得a4=a,+3，a=a+6,ay=a+8,8分 又a,a,a成等比数列，所以a,2=aa, 即(a+6)=(a,+3)(a+8),解得a=-12,…10分 [方法一小：二次函数的性质 2 2 所以，当n=12或n=13时，（⑤）m=-78.13分 [方法二]：【最优解】邻项变号法 所以an=n-13,即有a<a2<…<a2<0,4,=0.11分 则当n=12或n=13时，(S)=-78.13分 2,1分 16.(I)如图，易得MN=CD=x,(0<x<),AC=- 试卷第1页，共5页 则盒子的高h=CM=5×-x50-)】 2 2 3分 所以盒子的底面积5=6S.a=6xsin60°=332 2 5分 所以盒子的容积=3990-小-r0-ea小-7分 2 (没写定义域扣1分) (2)由(1)可得r国)=？2(-x,x∈(0，， A 所以(-2x-3x), 8分 令P(=0,解得5-子，无=0（含去）.9分 所以当0<x<时V"(x)>0,则V(x)单调递增， 当子<1时r(0,则r单调递减 11分 所以当x=时V)取得极大值，即最大值， 13分 所8当一号米时 14分 盒子的容积/最大为立方米 15分 17.(D因为()=r+nx,则f=n+1,x)=n+ 所以(1)=n+1,则切线方程为y=(n+1)x-1,3分 令=0，解得x= n中7所以a,=1 +l5分 (2)由1)可得，n-1)a2=1-1 241 )月4.6分 方法一： 试卷第2页，共5页 所以+…+ 012 8分 所以=+2*+2 1 1n- 9分 ,1n-i n-1 21 12分 7,…13分 方法二： n-1_nn+1 2”2m 9分 所以兮+侵多 202 …11分 兴 13分 由兴>0可得兴<兮 故虹号 15分 18.【解】1)由已知可得函数g)=e-2x+, 所以g（(w)=e'(x+)-a(x+)=(x+1Me-a）l分 ①当a≤0时，e-a>0,g(x)减区间为(-，-1)，增区间为(-l,+o).3分 ②当0<a<时，na<-1,g(x)减区间为ma,-1),增区间为(-o,lna).(-1,+o)4分 @当a=上时，1na=-1,g-a与x+1同号，gg20,g)增区间为(-0，四)…6分 e ①当a>时，na>-1,g)减区间为(-1，na),增区间为（仁，-.na,+）…7分 (2)(e+m小-lhx-1>0恒成立，即m>血x+l-e 恒成立，8分 令p)-x-e,则p=-h-e=_ax+t 9分 令g)=-ax+er).则g)=-+re+2e水0. 所以g(x)在(0，+o)上单调递减， 试卷第3页，共5页 又g付>0g0<0,所以在0+四)上存在唯一的x使g(6)-0,…10分 当x∈(0，x)时p'(x)>0,p(x)单调递增，当xe(x,+o)时p(x)<0,(x)单调递减. 故0的最大值为p(化)=血-e, 11分 又In+e*x=0,故xe=-h玉 …12分 Xo 两边取对数得lnx。+x,=ln(-lnx,)+(-lnxa), 又()=r+nr在定义域内单调递增，所以=-n,故e= 6’14分 所以p(飞)=n。+l-e=h+=-1,16分 XoXo Xo 所以m>-1.17分 (过程不详的酌情扣分，用其他方法的请阅卷老师仔细察看) 19.【解】(1)由题意可得a,+a2=3,a+a+a=6,a2+a=5, 所以T={3,5,6}3分 (2)假设存在i,jeN°，使得S(i,j)=512, 则有512=a,+a1++a=2i+2(i+1)++2j=(0-i+1)(i+j）,5分 由于i+j与j-i的奇偶性相同，i+j与j-i+1奇偶性不同， 又i+j23,j-i+122, 所以512中必有大于等于3的奇数因子，7分 这与512=2”无1以外的奇数因子矛盾，8分 枚不存在1，jeN,使得S(亿，）=5129分 (不写证明过程给2分，证明过程不详的酌情扣分) (3)首先证明a。=n时，对任意的meN都有bn≠2,1∈N, 因为i++1+6+2++j=-i+0+》 2 由于i+j与广-i+1均大于2且奇偶性不同， 所以-i++》为奇数，对任意的meN都有b.≠X,1eN,…1分 其次证明除2'(t∈N)形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 试卷第4页，共5页 若正整数h=2(2k+1),其中teN,keN”, 则当2>2k+1时，由等差数列的性质可得： h=2(2k+)=2+2++2=(2-k)+(2-k+1+…+(2-1+2+(2+)++(2+k-)+(2+k) ,此时结论成立，… 13分 当2<2k+1时，由等差数列的性质可得： h=(2k+1)+(2k+1)+…+(2k+1)=(k-2+)+.+(k-1)+k+(k+1)+(k+2)+…+(k+2） 此时结论成立，.15分 对于数列a=n,此问题等价于数列1,2,3，n其相应集合T中满足b.≤2024有多少项， 由前面证明可知正整数1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024不是T中的项，…16分 所以m的最大值为201317分 (不写证明过程给3分，证明过程不详的酌情扣分) 试卷第5页，共5页