江西省新余市第四中学2023-2024学年高二下学期第8次周练数学试题

新余四中2023-2024学年高二年级下学期数学第8次周练 命题人： 审题人： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数为奇函数，则函数的图象(    ) A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 2.某次考试一共道判断题，有三名考生参加考试，每人均答对道题，答错一道题，三人回答具体情况记录如下： 题号 考生甲 考生乙 考生丙 则这道题的正确答案依次为(    ) A. B. C. D. 3.已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 4.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则高为(    ) A. B. C. D. 5.我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设为“优美椭圆”，、分别为它的左焦点和右顶点，是短轴的一个端点，则等于(    ) A.    B.    C.     D.    6.过直线上一动点，向圆引两条切线，、为切点，则圆上的动点到直线 距离的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.函数，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知是定义在上的函数，且满足；曲线关于点对称；当时，若在上有个零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知数列列，，则下列说法不正确的是(    ) A. 此数列没有最大项 B. 此数列的最大项是 C. 此数列没有最小项 D. 此数列的最小项是 10.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的详解九章算法而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字在第二行写下两个，和第一行的形成三角形随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和那么下列说法中正确的是(    ) A. 第行的第个位置的数是 B. 若从杨辉三角形的第三行起，每行第个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列 C. 在杨辉三角中共出现了次 D. 在杨辉三角中共出现了次 11.已知，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是(    ) A. 为函数的导函数，则方程有个不等的实数解 B. ， C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在数学中，有一个被称为自然常数又叫欧拉数的常数小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前位数字，，，，，进行某种排列得到密码如果排列时要求不排第一个，两个相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为_____用数字作答． 13.已知函数，则           ． 14.数列的各项均为正数，前项和为，且，，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，． 求抛物线的方程； 设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，求证：． 16.本小题分 如图，在直三棱柱中，，为，中点，连接，． 证明：平面 若，，，求二面角的正弦值． 17.本小题分某市共有教师名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了名教师利用“学习”学习的时长单位：小时，，，，，，，，，时长不低于小时的教师评为“研修先进个人”． 现从该样本中随机抽取名教师的学习时长，求这名教师中恰有名教师是研修先进个人的概率． 若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： 试估计学习时长不低于小时的教师的人数结果四舍五入到整数 若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 18.本小题分 已知函数，． 是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 已知，是的零点，，是的零点． 证明：． 证明：． 19.本小题分 已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质 若数列为等差数列，且，，求证：数列具有性质 设数列的各项均为正数，且具有性质 若数列是公比为的等比数列，且，求的值 求的最小值． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新余四中2023-2024学年高二年级下学期数学第8次周练 命题人： 审题人： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数为奇函数，则函数的图象(    ) A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 【答案】C  解：函数为奇函数，其图象关于对称， 的图象向左平移一个单位长度得到的图象， 则函数关于对称， 的图象向上平移一个单位长度得到的图象， 所以函数的图象关于对称．故选：． 2.某次考试一共道判断题，有三名考生参加考试，每人均答对道题，答错一道题，三人回答具体情况记录如下： 题号 考生甲 考生乙 考生丙 则这道题的正确答案依次为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：观察表格，每个人答错一道题，所以只需看某道题中谁的答案与其他两位学生不一致即可． 第题答案为，第题答案为，第三题答案为，第题答案为，第题答案为．故选D． 3.已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：由题意可得：， 平面的法向量为， 所以点到平面的距离为： ．故选：． 4.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则高为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：设圆锥的高为，体积为， 则底面半径为， ， ， 令，解得舍去或， 当时，当时，． 所以当时，取得最大值，故选D． 5.我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设为“优美椭圆”，、分别为它的左焦点和右顶点，是短轴的一个端点，则等于(    ) A.    B.    C.     D.    【答案】A  解：由题意得，， 在椭圆：中，，，，， ，， 则， ， 又，解得．故选A． 6.过直线上一动点，向圆引两条切线，、为切点，则圆上的动点到直线 距离的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：设，则， 由切线的性质得点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程是， 与圆的方程联立，即 即 得直线的方程为， 因为，所以，代入直线的方程，得， 即， 可知直线过定点， 则动点 到直线距离的最大值即为圆心，之间的距离加上圆的半径， 因为， 所以圆上的动点到直线距离的最大值为．故选：． 7.函数，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：作出与的图象， 的图象为恒过定点的直线，如图： 当时，设与相切于点， 则，解得，即， 所以，所以， 由图象可知，此时的图象与的图象有两个公共点 当时，的图象与的图象有一个公共点 当时，的图象与的图象有三个公共点 当时，的图象与的图象有两个公共点 综上，当时，的图象与的图象有三个公共点 即方程恰有三个不相等的实数根， 故实数的取值范围是．故选：． 8.已知是定义在上的函数，且满足；曲线关于点对称；当时，若在上有个零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：因为曲线  关于点  对称， 所以曲线  关于点  对称，所以  在上是奇函数， 所以  ，又因为  ，所以  ， 而  在  上恰有  个零点， 故  时，  有一个零点， 所以  时，  ， 所以  在  上有一个解． 令  ，则  ， 所以  在  上减函数，在  上是增函数； 而  ， 而  ，所以  ，或， 故  或  ，故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知数列列，，则下列说法不正确的是(    ) A. 此数列没有最大项 B. 此数列的最大项是 C. 此数列没有最小项 D. 此数列的最小项是 【答案】ACD  【解答】解：根据题意，， 对于函数，， 设，，则， ，即时，取得最大值， 当时，，函数为增函数， 当时，，函数为减函数， 故数列中，当时，数列递增，且，当时，数列递减，此时有， 故此数列的最大项是，最小项为，故本题选ACD． 10.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的详解九章算法而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字在第二行写下两个，和第一行的形成三角形随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和那么下列说法中正确的是(    ) A. 第行的第个位置的数是 B. 若从杨辉三角形的第三行起，每行第个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列 C. 在杨辉三角中共出现了次 D. 在杨辉三角中共出现了次 【答案】BCD  解：第行的第个数是，不是，A错误 由题，， 数列的奇数项与前一项奇偶性相反，偶数项与前一项奇偶性相同， 为奇数， 为奇数，为偶数，为偶数，为奇数，是奇数项且为奇数，这与情况一致， 则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列，B正确 由于，不妨设，令， 当时，，， 当时，，无正整数解， 当时，，，，而递增，从而无解 当时，，时，由于是第行中最中间的数， 杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于，当时，，共出现次，C正确 类似于前面，，， 以，为顶点的下方三角形区域中的数都大于，在杨辉三角中共出现了次，故D正确．故选BCD． 11.已知，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是(    ) A. 为函数的导函数，则方程有个不等的实数解 B. ， C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】AC  解：对于，的定义域为，， 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 由，可得或． 作出的图象如图所示： 由图可得有个解，有两个不等的解， 所以方程有个不等的实数解，故A正确； 对于，令，则， 当时，，则函数在上单调递增， 则当时，， 即时，， 由可知恒成立，即函数在上单调递增， 因此，当时，，即， 所以不存在，使得，故B错误； 对于，，令， 则， 当时，；当时，， 所以， 所以在上单调递增，且． 因为对任意，不等式恒成立， 所以对任意，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立． 设，， 则 ． 设，则， 所以在上单调递增，所以． 又，， 所以存在，使得， 所以，即，即． 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以 ， 所以，即实数的最大值为，故C正确； 对于，由，可得． 由可得在上单调递增， 所以， 所以， 令，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，即的最大值为，故D错误．故选AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在数学中，有一个被称为自然常数又叫欧拉数的常数小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前位数字，，，，，进行某种排列得到密码如果排列时要求不排第一个，两个相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为_____用数字作答． 【答案】  【解答】 解：分类，若排第一位，则两个占第一、二位，再从四个位置中选两个位置给，最后排和，共 种； 若不排第一位，则或者排第一位，两个捆绑，与两个，以及和剩的数排列，共  种， 因此一共有种． 13.已知函数，则           ． 【答案】  14.数列的各项均为正数，前项和为，且，，则          ． 【答案】  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，． 求抛物线的方程； 设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，求证：． 【答案】解：由题意得，所以，故抛物线方程为． 证明：设，，由， 消去整理得，所以， 由，，两式相乘，得，所以， 因为． 所以．  16.本小题分 如图，在直三棱柱中，，为，中点，连接，． 证明：平面 若，，，求二面角的正弦值． 【答案】解：连接， 因为，分别为，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 由得，因为，所以， 因为在直三棱柱中平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 又平面，故AB． 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则 可取为平面的一个法向量， 可取为平面的一个法向量， 则，， 设二面角的大小为， 则，， 所以二面角的正弦值为．  17.本小题分 某市共有教师名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了名教师利用“学习”学习的时长单位：小时，，，，，，，，，时长不低于小时的教师评为“研修先进个人”． 现从该样本中随机抽取名教师的学习时长，求这名教师中恰有名教师是研修先进个人的概率． 若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： 试估计学习时长不低于小时的教师的人数结果四舍五入到整数 若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】解:(1)设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为A. 由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3, 时长低于80小时的人数为7, 则P(A)==, 即这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为. (2)由样本数据知,==60,=10. 因为P(X50)=P(X-) =+0.84135, 所以0.841351000841, 即学习时长不低于50小时的教师人数为841. 每名教师的学习时长在[50,70]内的概率为 P(-X+)0.6827, 由题意可知~B(n,0.6827), 则P(=10)=, 设f(n)=(n10), 则= =, 令>1,得n<=13, 所以当n13时,f(n+1)>f(n), 令<1,得n>13, 所以当n14时,f(n+1)< f(n), 所以当n=14时,f(n)最大, 即使P(=10)最大的n的值为14.  18.本小题分 已知函数，． 是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 已知，是的零点，，是的零点． 证明：． 证明：． 【答案】解：由题意得， ，． 当时，，， 所以和在上都单调递增，符合题意． 当时，若和在上的单调区间相同， 则和有相同的极值点，即． 令， 则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以无解， 综上，当时，和在上的单调区间相同； 证明： 由题意，有两个零点，． 若，则， 所以在上单调递增，不符合题意． 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，， 当时，， 所以，解得，得证； 令，，得，， 即，， 令，， 则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在同坐标平面内作出函数与函数的图像， 它们有公共点，如图， 故， 且有， 由，得， 即， 又，所以， 由，得， 即， 又，所以， 由，得， 即， 故  19.本小题分 已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质 若数列为等差数列，且，，求证：数列具有性质 设数列的各项均为正数，且具有性质 若数列是公比为的等比数列，且，求的值 求的最小值． 【答案】解：因为数列为等差数列，且，， 设其公差为， 所以，， 解得，， 所以，， 所以， 即， 所以数列具有性质． 由题意得：数列具有性质，即， 若， 则，整理得， 解得，与为任意正整数相矛盾 若， 则，解得，与为任意正整数相矛盾 若， 则，整理得， 当时，上式恒成立，满足题意 当且时，解得，与为任意正整数相矛盾 综上，． 由，可得，即， 因此， 即．， 所以．．， 因为各项均为正数，所以， 从而，即， 若，则，与为任意正整数相矛盾，因此 当时，恒成立，符合题意，所以的最小值为．  第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$