专题2.2充分条件、必要条件、充要条件（四个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题2.2充分条件、必要条件、充要条件 一、充分、必要、充要条件的判断 ②根据充要条件求参数 ①充分条件与必要条件的判断 三、充分、必要、充要条件的探求 ②充要条件的判断 ①充分条件与必要条件的探求 二、根据充分、必要、充要条件求参数 ②充要条件的探求 ①根据充分、必要条件求参数 四、充要条件的证明 知识点1 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件p 不能推出结论q,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 知识点2 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 一、充分、必要、充要条件的判断 ①充分条件与必要条件的判断 1．设四边形的两条对角线为，则“四边形为菱形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当四边形为菱形时，必有两条对角线互相垂直，即； 当四边形的两条对角线垂直时，即，不一定能推出四边形为菱形， 还需要再加上对角线互相平分这一条件，才可推出四边形为菱形， 故“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．集合A，B之间的关系如图所示，p：，q：，则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由图可知，当时，不一定成立， 当时，则一定成立， 所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 3．甲：“实数满足”，乙：“实数满足”，则甲是乙的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，实数满足，但此时不成立； 反过来由得． 综上所述，“实数满足”是“实数满足”的必要不充分条件， 故选：A． 4．满足“闭合开关”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件的电路图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，闭合开关或者闭合开关都可以使灯泡R亮，即充分性成立， 反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关，即必要性不成立， 因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的充分而不必要条件，不符合题意，故A错误； 对于B，闭合开关而不闭合开关，灯泡R不亮，即充分性不成立， 反之，若要使灯泡R亮，则开关必须闭合，即必要性成立， 因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件，符合题意，故B正确； 对于C，闭合开关可使灯泡R亮，即充分性成立， 反之，若要使灯泡R亮，开关一定是闭合的，即必要性成立， 因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的充要条件，不符合题意，故C错误； 对于D，闭合开关但不闭合开关，灯泡R不亮，即充分性不成立， 反之，灯泡R亮也可不闭合开关，只要闭合开关即可，即必要性不成立， 因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的既不充分又不必要条件，不符合题意，故D错误. 故选：B. 5．（1）若，，则是的 条件； （2）若四边形ABCD是正方形，四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，则是的 条件. 【答案】 必要不充分 充分不必要 【详解】（1）当时，或，即充分性不成立； 当时，必有，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. （2）当四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，即充分性成立； 当四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，四边形ABCD不一定是正方形，也有可能是菱形，即必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故答案为：（1）必要不充分；（2）充分不必要. 6．若��是��的必要非充分条件，��是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是��的 条件，γ是��的 条件． 【答案】 充分不必要 充分不必要 【详解】由是的必要非充分条件，得，不能推出； 由是的充要条件，得； 由是的必要非充分条件，得，不能推出； 因此，不能推出，， 不能推出， 因此是的充分不必要条件，是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要；充分不必要 7．已知：函数的值恒为负，则是的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【详解】由于函数， 当时，，而， 即此时函数的值恒为负； 当时，函数的值也恒为负， 故函数的值恒为负，推不出， 故是的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 ②充要条件的判断 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】先证： 因为，所以，，故，即，故； 再证： 因为，所以，即，故； 综上：“”是“”的充分必要条件. 故选：C 9．“的每个内角都是”是“是等边三角形”的 条件. 【答案】充要 【详解】易知，“的每个内角都是”可推出“是等边三角形”，既满足充分性； 若“是等边三角形”，则“的每个内角都是”，即满足必要性； 所以“的每个内角都是”是“是等边三角形”的充要条件. 故答案为：充要 10．已知集合，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以是的充要条件, 故选：C. 11．设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，则，整理得， 因为，， 所以无解； 综上，，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 12．设集合，，或，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【详解】由题意可得：或，即， 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要. 充分、必要条件的判断方法： （1）定义法：首先分清条件和结论，然后判断和是否成立，最后得出结论． （2）集合判断法：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件 二、根据充分、必要、充要条件求参数 ①根据充分、必要条件求参数 13．若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】p：，即或，q：∵，∴， 由题意知p：是q：（）的必要而不充分条件， 则，或，解得，或， 故选：D. 14．已知，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，， 是成立的充分不必要条件， 真包含，则或， 解得，的取值范围是． 故答案为：. 15．已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】，解得，设，， 若是的充分不必要条件，则， 则有，且等号不会同时取到，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 16．设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，是的充分条件， 所以，故 故选：C 17．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得，可以推出，则不符合题意， 比如当时，不符合题意； 当时，则是的充要条件，不符合题意； 当时，等价于，则， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 18．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 或 【详解】当时，，其图像与轴只有一个交点，符合题意； 当时，的图像与轴只有一个交点，则，符合题意； 条件或 条件是条件的充分不必要条件，则或实数为或 当时，由得，； 当时，由得，； 条件是条件的必要不充分条件，且条件或，条件 ，即 故答案为：或；实数的取值范围是. 19．设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 【答案】 1 4 【详解】因为，所以 ①由是的充分条件，得， 解得，所以的最大值为1， ②由是的必要条件，得， 解得，所以的最小值为4． 故答案为：；. 20．设全集，集合 (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，又 所以； （2）若是的必要条件，则 则当时，即时，符合题意； 当时，即时，，要满足，则有 解得， 综上，实数的取值范围为. ②根据充要条件求参数 21．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 22．设集合，若集合，，则的充要条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意，可得， 因为，所以，解得，反之亦成立， 所以的充要条件是． 故选：A． 23．已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由两个集合相等可求得参数． 【详解】由已知，， 由p是q充要条件得，因此解得， 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件与集合包含之间的关系．掌握这个关系是解题基础． 命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件． 24．已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则 .若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 2 【解析】由是的充要条件，建立方程组，解之求得.由 是的必要不充分条件，建立不等式组，解之求得实数的取值范围. 【详解】由条件可得，因为是的充要条件，所以，解得. 因为是的必要不充分条件，所以，解得. 故答案为：2；． 利用充分、必要条件求参数的思路： 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 三、充分、必要、充要条件的探求 ①充分条件与必要条件的探求 25．方程两根异号的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【详解】方程两根异号的一个充要条件是， 注意到， 所以方程两根异号的一个充要条件是， 所以当，，时，方程的两根异号， 换言之，，是方程两根异号的一个充分不必要条件，对比选项可知，只有D正确. 故选：D. 26．（多选）使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 【答案】BC 【详解】从集合的角度出发，在选项中判断哪个相应的集合是题干中集合的真子集， 只有B，C满足题意． 故选：BC. 27．（多选）已知，那么命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】解不等式得， 解不等式得， 所以的充要条件为，A错误； 记，因为A，A，A， 所以，BD为命题的必要不充分条件，C为命题的充分不必要条件. 故选：BD 28．“”的一个必要非充分条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】设，的必要非充分条件构成集合，则， 所以集合可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 29．（多选）关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为有两个实数解， 当时，，显然不满足题意； 当时，，得； 综上，且， 即有两个实数解等价于且，即或， 要使得选项中的范围是题设条件的充分条件， 则选项中的范围对应的集合是或的子集， 经检验，AB满足要求，CD不满足要求. 故选：AB. ②充要条件的探求 30．当时，函数中的变量随的增大而增大的充要条件是 ． 【答案】 【详解】若，则，变量随的增大而增大； 若，则必有，得． 综上，所求的充要条件是． 故答案为： 31．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 32．已知，，求的充要条件. 【答案】 【详解】解：的充要条件是方程组至少有一组实数解，即方程至少有一个非负根，方程有根则，解得. 上述方程有两个负根的充要条件是且，即， ∴. 于是这个方程至少有一个非负根的的取值范围是. 故的充要条件为. 33．关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 探求充分、必要条件问题,首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件,将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件。 四、充要条件的证明 34．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 35．证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 36．求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【答案】证明见解析 【详解】证明：必要性：若方程有且只有一个负数根， 当时，方程为，解得，合乎题意； 若时，，设方程的两根分别为、，则， 此时方程有且只有一个负数根； 当时，则，可得， 设方程的两根分别为、，则， 则、均为负数，由题意可知，可得. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”； 充分性：当时，原方程变为，解得，原方程只有一个负根； 当时，方程为，解得，原方程只有一个负根； 当时，对于原方程，，此时方程有两根，设为、， 则，此时方程有且只有一个负数根. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”. 综上所述，方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 37．设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 【答案】，证明见解析. 【详解】.证明如下： 充分性：∵，不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形， ，最大，即，， 过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D， 由勾股定理，得 ，与已知矛盾， △ABC为锐角三角形. 必要性：∵△ABC为锐角三角形，，°，过点A 作BC的垂线，垂足为D， 由勾股定理知，得 . 综上，为锐角三角形的一个充要条件为. 38．证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】①先证明充分性： 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求证：四边形ABCD的对角线互相平分； 证明：设AC与BD交于点，如图示： 四边形ABCD是平行四边形， ，且，， ，， 四边形ABCD的对角线互相平分，即充分性得证； ②再证必要性： 已知：四边形ABCD的对角线互相平分， 求证：四边形ABCD是平行四边形； 证明：由已知可得，且，， ，，且，， 四边形ABCD是平行四边形，即必要性得证； 综上所述，"四边形ABCD是平行四边形"是"四边形ABCD的对角线互相平分"的充要条件. 先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件;再证明此条件是该对象的充分条件,即从必要性和充分性两方面说明。 一、单选题 1．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】若，则且， 所以或，故当时有， 而时，不一定是， 故是的充分而不必要条件. 故选：A. 2．设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由q是p的必要条件，得， 所以. 故选：A 3．设为实数，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，而，则，充分性成立， 取，，此时，但，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，， 若是的充分不必要条件，则（等号不同时成立），解得， 当时，满足是的充分不必要条件； 当时，满足是的充分不必要条件； 综上可得实数的取值范围为． 故选：A． 5．若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解：因为， 所以，即， 显然， 所以，所以，且， 所以是与互补的充分条件； 当与互补时，则有，且， 所以，中至少有一个数为0， 所以，， 所以， 所以是与互补的必要条件； 所以是与互补的充要条件. 故选：C. 6．设，“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】根据题意，， 由，不能推出， 例如满足， 但，故充分性不成立； 由，得或或， 不能推出， 例如，满足， 但，故必要性不成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 二、多选题 7．下列选项中正确的是（    ） A．点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件 C．是的必要而不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 【答案】AD 【详解】由“点到圆心的距离大于圆的半径”可得“点在外”，由“点在外” 可得“点到圆心的距离大于圆的半径”，故点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件，故A正确； 由“两个三角形的面积相等”推不出“两个三角形全等”，由“两个三角形全等”可得“两个三角形的面积相等”，所以“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件，故B错误； 由“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故C错误； 由“或为有理数”推不出“为有理数”，如，，不是有理数；由“为有理数”推不出“或为有理数”，如，此时为有理数，但“或为有理数”不成立.故“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：AD 8．已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于选项A，若，则有，又当，有，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有，又当，有，所以选项B正确； 对于选项C，若，则，可得到，但，得不出，即得不出，所以选项B不正确； 对于选项D，，则有，得不出，所以选项D不正确； 故选：AB. 三、填空题 9．“一个数是合数”是“一个数是偶数”的 条件． 【答案】既非充分又非必要 【详解】9是合数，但9不是偶数，充分性不成立， 2是偶数，但2是素数，不是合数，必要性不成立， 故“一个数是合数”是“一个数是偶数”的既非充分又非必要条件. 故答案为：既非充分又非必要 10．下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 四、解答题 11．下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 【答案】(1)是的必要不充分条件； (2)是的充分不必要条件； (3)是的必要不充分条件； (4)是的充要条件； (5)是的必要不充分条件. 【详解】（1）若四边形的四条边等长，四边形不一定是正方形，如菱形； 反之，若四边形是正方形，则其四条边等长，故是的必要不充分条件； （2）若与全等，则与的周长相等， 反之，若与的周长相等，两个三角形不一定全等； 故是的充分不必要条件； （3）若是2的倍数，则不一定是6的倍数，如； 反之，若是6的倍数，则一定是2的倍数，故是的必要不充分条件； （4）若，则，又由，则， 同理可得：，则有； 反之，若，一定有，，故是的充要条件； （5）当且时，有，但与不一定相等， 反之，若，一定有，故是的必要不充分条件. 12．已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【答案】证明见解析 【详解】充分性：当时，， 则； 必要性：若，则， 所以，即； 综上，“”是“”的充要条件． 13．已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知集合，． 当时，，或 又， ； （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：． 14．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】答案见解析 【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2充分条件、必要条件、充要条件 一、充分、必要、充要条件的判断 ②根据充要条件求参数 ①充分条件与必要条件的判断 三、充分、必要、充要条件的探求 ②充要条件的判断 ①充分条件与必要条件的探求 二、根据充分、必要、充要条件求参数 ②充要条件的探求 ①根据充分、必要条件求参数 四、充要条件的证明 知识点1 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件p 不能推出结论q,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 知识点2 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 一、充分、必要、充要条件的判断 ①充分条件与必要条件的判断 1．设四边形的两条对角线为，则“四边形为菱形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．集合A，B之间的关系如图所示，p：，q：，则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．甲：“实数满足”，乙：“实数满足”，则甲是乙的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．满足“闭合开关”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件的电路图是（    ） A． B． C． D． 5．（1）若，，则是的 条件； （2）若四边形ABCD是正方形，四边形ABCD的两条对角线互相垂直平分，则是的 条件. 6．若是的必要非充分条件，是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是的 条件，γ是的 条件． 7．已知：函数的值恒为负，则是的 条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） ②充要条件的判断 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．“的每个内角都是”是“是等边三角形”的 条件. 10．已知集合，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 11．设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．设集合，，或，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 充分、必要条件的判断方法： （1）定义法：首先分清条件和结论，然后判断和是否成立，最后得出结论． （2）集合判断法：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件 二、根据充分、必要、充要条件求参数 ①根据充分、必要条件求参数 13．若p：是q：（）的必要而不充分条件，则实数a的值为（    ） A． B．或 C． D．或 14．已知，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 15．已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 16．设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 18．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 19．设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 20．设全集，集合 (1)若，求； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． ②根据充要条件求参数 21．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 22．设集合，若集合，，则的充要条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 23．已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 24．已知条件：；条件：；条件：.若是的充要条件，则 .若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 利用充分、必要条件求参数的思路： 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 三、充分、必要、充要条件的探求 ①充分条件与必要条件的探求 25．方程两根异号的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．，， 26．（多选）使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 27．（多选）已知，那么命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 28．“”的一个必要非充分条件是 . 29．（多选）关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． ②充要条件的探求 30．当时，函数中的变量随的增大而增大的充要条件是 ． 31．方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 32．已知，，求的充要条件. 33．关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 探求充分、必要条件问题,首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件,将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件。 四、充要条件的证明 34．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 35．证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 36．求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 37．设a，b，c分别是三角形的三条边长，且，请利用边长a，b，c给出为锐角三角形的一个充要条件，并证明之． 38．证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件;再证明此条件是该对象的充分条件,即从必要性和充分性两方面说明。 一、单选题 1．已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 2．设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 3．设为实数，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 5．若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设，“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．下列选项中正确的是（    ） A．点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件 C．是的必要而不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 8．已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．“一个数是合数”是“一个数是偶数”的 条件． 10．下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 四、解答题 11．下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 12．已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 13．已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 14．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$