22.1.4 二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图象和性质课件-2024-2025学年人教版九年级数学上册

22.1.4.1二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质 第二十二章 二次函数 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 学习目标 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点） 知识回顾 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) 直线x=h 直线x=h 当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时， y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而减小. 当x=h时,ymin=k 当x=h时,ymax=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到. 二次函数y=a(x-h)2+k的性质有哪些？ 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6 (0,0) y轴 (0,-5) y轴 (-2,0) 直线x=-2 (-2,-4) 直线x=-2 (4,3) 直线x=4 ? ? ? ? ? ? 你能写出下列二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值吗？ 向上 向下 向下 向下 向下 向上 向上 问题思考 合作探究 问题1：怎样将二次函数 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 我们已经学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 可以通过配方来完成. 具体做法： 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 二“提”： 三“配”： 四“化”： 提示:配方后的表达式通常称为顶点式. 二次函数的配方方法： 一“放”： 将二次项和一次项放到括号里； 提出二次项系数； 括号内配成完全平方式； 化成顶点式. 注意： 配方时，加上一次项系数一半的平方，要减去一次项系数一半的平方. 总结归纳 顶点坐标是（6，3）. 答：平移方法1： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到. 平移方法2： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到； 答： 对称轴是直线x=6, 问题探究 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 列表： 描点：如右图所示 问题探究 问题4 画二次函数 的图象？ x ... 3 4 5 6 7 8 9 ... ... ... 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 连线：如右图所示. x=6 开口方向 对称轴 顶点坐标 增 减 性 最值 向上 （6,3） 当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大. 问题探究 问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质. x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解: 函数 通过配方可得 典例精析 列表： 例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 2 x y o 7 3 列表： 典例精析 描点：如右图所示 连线：如右图所示. x=1 开口方向 对称轴 顶点坐标 增 减 性 最值 向下 （1,-2） 当x<1时，y随x的增大而增大；当x>1时，y随x的增大而减小. 1 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1). 解： 练一练 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ 想一想 具体做法： y=ax²+bx+c 归纳总结 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即： 因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是： 对称轴是： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 归纳总结 y=ax2+bx+c a>0 a＜0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 向上 向下 当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大. 当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小. 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,3) 直线x=1 ymax=1 (0,-1) y轴 ( ,-6) 直线x= ymax=-1 ymin=-6 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a、b、c的关系 归纳总结 1.a的符号决定抛物线的开口方向： （1）a>0，开口向上 （2）a<0，开口向下 2.a、b的符号决定抛物线对称轴的位置： （1）a、b同号，对称轴在y轴的左侧 （2）a、b异号，对称轴在y轴的右侧 3.c的符号决定抛物线与y轴交点的位置： （1）c=0，抛物线过原点 （2）c>0，抛物线与y轴交于y轴正半轴 （3）c<0，抛物线与y轴交于y轴负半轴 口诀记忆： “上正下负” 口诀记忆： “左同右异” 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，推断a，b，c之间关系的问题的思路： 归纳总结 1.由口诀“上正下负”、“左同右异”可以判断a、b、c的正负. 2.结合图象，通过给x赋值，判断特殊值的正负： （1）x=1时，可以判断a+b+c的正负； （2）x=-1时，可以判断a-b+c的正负； （3）x=2时，可以判断4a+2b+c的正负； （4）x=-2时，可以判断4a-2b+c的正负； 3.比较函数值的大小，可以根据点与对称轴的距离和开口方向结合判定： （1）当抛物线的开口向上时，离对称轴越近，函数值越小； （2）当抛物线的开口向下时，离对称轴越近，函数值越大. 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 典例精析 1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a+b＋c>0；④4a+2b+c<0. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 C 练一练 2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2所示，下列结论正确的是 (　　) A．ab>0,c>0 B．ab>0,c<0 　　　 C．ab<0,c>0 　　 D．ab>0,c<0 y x 0 图1 图2 C 1.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为顶点式为 （ ） A.y=（x-4）2+7 B.y=（x-4）2-25 C. y=（x+4）2+7 D.y=（x+4）2-25 A 2.二次函数y=-x2+4x-3的顶点坐标为 （ ） A.（4，-3） B.（2,1） C. （-2,1） D.（2，-7） 3.二次函数y=x2+3x的图象与x轴的交点为 （ ） A.（0，1） B.（0,-1） C. （0,0） D.（-1，0） B C 当堂练习 4.将抛物线y=x2+2x向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 . 5.如果将抛物线y=x2+2x-1向上平移，使它经过点A（0,3）则得到的抛物线的解析式为 . 6.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： 当堂练习 7.已知二次函数y=x2-2mx+m2-1 （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0,0）时，求二次函数的解析式； （2）如图所示，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由. x y O 当堂练习 顶点坐标： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 利用顶点式求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴的方法，叫做公式法. (顶点式) 课堂小结 $$