第1周检测(高一30%+空间向量及其运算、空间向量基本定理70%)-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1周检测(高一30%+空间向量及其运算、空间向量基本定理70%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|x2+x>0},N={x|ln(x-1)>1},则(　　) A.M=N B.M⊆N C.M∩N=(e+1,+∞) D.M∪N=(2,+∞) 2.已知复数z满足z(1+i)=2(i是虚数单位),则|z|=(　　) A.1 B. C.2 D. 3.已知函数f(x)=sin 2x的图象为C.为了得到函数f(x)=sin2x+的图象,只要把图象C上所有的点(　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 4.在市场上选取20种不同的零食作为研究样本,记录其每100克可食部分的能量(单位:kJ)如下: 110,120,120,120,123,123,140,146,150,162,165,174,190,210,235,249,280,318,428,432. 则样本数据的第75百分位数为(　　) A.123 B.235 C.242 D.249 5.下列命题中,真命题是(　　) A.若a≠b,则|a|≠|b| B.若|a|>|b|,则a>b C.若a=b,则|a|=|b| D.若|a|=|b|,则a=b 6.如图,在四面体OABC中,AM=2MB,ON=NC,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则=(　　) A.a+b+c B.a+b-c C.a+b-c D.a+b+c 7.在空间四边形OABC中,=(　　) A. B. C. D. 8.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是棱AC,BD的中点,则的值是(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列各选项给出的两个函数中,表示相同函数的有(　　) A.f(x)=与g(x)= B.f(t)=|t+1|与g(x)= C.f(x)=x(x>0)与g(x)= D.f(x)=与g(x)=x+1 10.在下列说法中正确的有(　　) A.若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行 B.已知向量a∥b,则存在向量可以与向量a,b构成空间的一个基底 C.如果三个向量a,b,c不共面,那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc D.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 11.如图,正四面体PABC的棱长为4,E是棱AC的中点,=2=2,设=a,=b,=c,则(　　) A.||= B.||= C.=-a+b-c D.a+b-c 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.函数f(x)=的定义域为　　　　　.  13.在四面体ABCD中,点F在棱AD上,且AF=2FD,E为棱BC的中点,则=　　　.(用表示)  (第13题图) 14.如图,正四面体ABCD的棱长为1,点E是棱CD的中点,则=　　　　　.  (第14题图) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知向量a=(sin x,cos x),b=(cos x,cos x). (1)若a∥b,且x∈(0,π),求x的值; (2)若函数f(x)=2a·b-1,求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间. 16.(15分)在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且AB=4,AA1=6,∠BAA1=∠A1AD=60°. (1)求的值; (2)求线段AC1的长. 17.(15分) 如图所示,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD上任意一点.以A,B,C,D,E,A1,B1,C1,D1这九个点中的两个点为向量的起点和终点,分别写出满足下列条件的向量. (1)与平行且方向相同的向量,与相等的向量; (2)用三个向量的和表示(举三个例子). 18.(17分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,CP=3CE,F为棱PB的中点,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示; (2)求证:AF∥平面BDE. 19.(17分)如图,三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC的长度分别为1,2,3,并且∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°. (1)求AB的长; (2)求直线OC与直线AB所成角的余弦值. 参考答案 1.C　由题得,M={x|x2+x>0}={x|x>0或x<-1},N={x|ln(x-1)>1}={x|x>e+1}.显然,M≠N,N⊆M,M∩N=(e+1,+∞),M∪N=(-∞,-1)∪(0,+∞).故选C. 2.B　由z(1+i)=2,得z==1-i,故|z|=.故选B. 3.B　由题意得,f(x)=sin2x+=sin2x+,所以将f(x)=sin 2x图象上的点向左平移个单位长度即可得到f(x)=sin2x+的图象.故选B. 4.C　20×75%=15, 样本中,第15个、第16个数据分别为235,249,所以样本数据的第75百分位数为=242. 故选C. 5.C　对于A,若a=(0,0,1),b=(1,0,0),a,b不相等,但|a|=|b|=1,故A错误; 对于B,向量的模可以有大小之分,但是向量不可以比较大小,故B错误; 对于C,向量相等,则其模相等,方向相同,故C正确; 对于D,若a=(0,0,1),b=(1,0,0),|a|=|b|=1,但a,b不相等,故D错误. 故选C. 6.C　因为AM=2MB,ON=NC, 所以, 故=-a+b-c.故选C. 7.A　根据向量的加法、减法运算法则,得.故选A. 8.C　如图所示, ∵正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是棱AC,BD的中点, ∴),=a2cos 60°=a2, ∴) =) =×2×a2=a2. 故选C. 9.BC　对于A,函数f(x)=,g(x)=定义域均为R,而f(x)=|x|,g(x)=x,故A错误; 对于B,函数f(t)=|t+1|,g(x)=定义域均为R,且g(x)=|x+1|,故B正确; 对于C,函数f(x)=x(x>0),g(x)=定义域均为(0,+∞),且g(x)=x(x>0),故C正确; 对于D,函数f(x)=定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),而g(x)=x+1定义域为R,故D错误. 故选BC. 10.CD　若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线可能平行,也可能共线,故A错误; 向量a∥b,不存在向量可以与向量a,b构成空间的一个基底,因为构成空间基底的三个向量两两不共线,故B错误; 由空间向量基本定理知C正确; 三个非零向量两两垂直,则它们一定不共面,可能构成空间的一个基底,故D正确.故选CD. 11.BC　因为E是棱AC的中点, 所以a+c. 又=2,所以b, 所以b-a-c, 所以||= =, 故A错误,B正确; 因为=2,所以=2(), 所以a+b, 所以=-a+b-c,故C正确; a+b-c,故D错误. 故选BC. 12.[1,3)∪(3,+∞)　由题意得,解得故函数f(x)的定义域为[1,3)∪(3,+∞). 13.-　在四面体ABCD中,点F在棱AD上,且AF=2FD,E为棱BC的中点,可得-=-. 14.　因为点E是棱CD的中点,所以). 又因为正四面体ABCD的棱长为1,所以=1×1×cos 60°=, 所以)=)=. 15.解(1)因为a∥b, 所以sin xcos x-cos2x=0, 即cos x(sin x-cos x)=0, 可得cos x=0或sin x-cos x=0, 故cos x=0或tan x=. 又x∈(0,π),所以x=. (2)由题可得f(x)=2a·b-1=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin2x+, 所以函数f(x)的最小正周期T=π. 令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以函数f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z. 16.解(1)由题意可知,,AA1=6,AD=AB=4,∠A1AD=60°,故=||||cos∠A1AD=6×4×=12. (2)由题意可知,,故=||2==||2+||2+||2+2+2+2. 因为AB=BC=4,AA1=CC1=6,∠ABC=90°,∠BAA1=∠A1AD=60°, 所以||2=16+16+36+0+2×4×6×cos 60°+2×4×6×cos 60°=116, 即||=2. 故线段AC1的长为2. 17.解(1)由题图可得,与平行且方向相同的向量有. 与相等的向量有. (2)由向量加法运算法则,得.(答案不唯一) 18.(1)解因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,CP=3CE,F为棱PB的中点, 所以)=(-)=)=(b+c-a). (2)证明因为=a+c, )=b+c, 所以-(b+c-a), 即=-, 所以共面. 因为AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE. 19.解(1)设=a,=b,=c, 则=b-a,=(b-a)2=b2-2a·b+a2=4-2×1×2×cos 60°+1=3,所以AB=||=. (2)=c,=b-a, 所以cos<>=, 所以直线OC与直线AB所成角的余弦值为. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$