22.1.4 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h,k) 直线 x=h 当x＜h时，y随着x的增大而减小；当x＞h时，y随着x的增大而增大. 当x＜h时,y随着x的增大而增大；当x＞h时， y随着x的增大而减小. x=h时，y最小=k x=h时，y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 复习引入 (h,k) 直线 x=h 二次函数 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6 (0，0) y轴 0 (0，-5) y轴 -5 (-2，0) 直线x=-2 0 (-2，-4) 直线x=-2 -4 (4，3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? 复习引入 （1）x2-12x+36=_____________; （2）x2-12x=___________ __ . 填一填 (x-6)2 (x-6)2-36 探索求知 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 问题 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 想一想：怎样配方？步骤是什么？ 探索求知 提示：配方后的表达式通常称为顶点式. (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成 完全平方； (3)“化”：化成顶点式. y=ax²+bx+c 探索求知 如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ (1)“提” (2)“配” (3)“化” 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标． （1）y=x2-2x+1； （2）y=2x2-4x+6． 练一练 解：y=(x2-2x)+1 y=(x2-2x+12)+1-1×12 y=(x-1)2 顶点坐标为(1，0) 解：y=2(x2-2x)+6 y=2(x2-2x+12)+6-2×12 y=2(x-1)2-4 顶点坐标为(1，4) 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 探索求知 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是(6，3). 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 探索求知 问题1 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 问题2 函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； x ··· 3 4 5 6 7 8 9 ··· y ··· ··· 解：先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 探索求知 问题3 如何画二次函数 的图象？ 描点画图 探索求知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 x y o 当x＜6时，y随x的增大而减小； 当x＞6时，y随x的增大而增大. 典例精析 问题4 结合二次函数 的图象，说出其性质. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 x y o 一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是： 对称轴是： 归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 归纳总结 (1) x y O (2) x y O 如果a＞0， 当x＜ 时，y随x的增大而减小； 当x＞ 时，y随x的增大而增大. 如果a＜0， 当x＜ 时，y随x的增大而增大； 当x＞ 时，y随x的增大而减小. 描点、连线，得到图象 典例精析 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3. 0 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 2 4 6 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 x y -16 y＝－2(x＋1)2＋3 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 ··· y ··· ··· －15 －5 1 3 1 典例精析 例1 画出函数y＝－2x2－4x＋1的图像，说明函数具有哪些性质. 解：函数 y＝－2x2－4x＋1配方可得 y＝－2(x＋1)2＋3 列表 －15 －5 已知二次函数y＝x2－6x＋5． (1)将y＝x2－6x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式； (2)求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (3)当x取何值时，y随x的增大而减小． (3)∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3 解：(1)y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4 (2)二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是(3，－4) 练一练 ∴当x≤3时，y随x的增大而减小． y=k3x+b3 k3 ___ 0 b3 ___ 0 x y O y=k2x+b2 k2 ___ 0 b2 ___ 0 x y O 问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y=k1x+b1 k1 ___ 0 b1 ___ 0 ＜ ＞ ＞ ＜ ＞ ＞ 探索求知 二次函数字母系数与图象的关系 对称轴在y轴右侧，x＞0 对称轴在y轴左侧，x＜0 a2 ___ 0 b2 ___ 0 c2 ___ 0 (2) x y O a1 ___ 0 b1 ___ 0 c1 ___ 0 (1) x y O 问题2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 探索求知 当x＝0时，y＝c 开口向上，a＞0 开口向上，a＞0 当x＝0时，y＝c (4) a4 ___ 0 b4 ___ 0 c4 ___ 0 x y O (3) a3 ___ 0 b3 ___ 0 c3 ___ 0 x y O ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 探索求知 对称轴在y轴，x＝0 对称轴在y轴右侧，x＞0 开口向下，a＜0 当x＝0时，y＝c 开口向下，a＜0 当x＝0时，y＝c a、b值“左同右异” 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b＝0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c＝0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 探索求知 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论： ①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　 ) A．1　　　B．2　　　　 C．3　　　D．4 D 典例精析 x y 0 1 －1 －2 1.已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： A.y轴 B.直线x＝ C.直线x＝2 D.直线x＝ 则该二次函数图象的对称轴为( ) x －1 0 1 2 3 y 5 1 －1 －1 1 D 课堂练习 2.已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大 而减小，则实数b的取值范围是( ) A.b≥－1 B.b≤－1 C.b≥1 D.b≤1 D 课堂练习 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x＝－1和x＝3时，函数值相等； （3）4a＋b＝0； （4）当y＝－2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . （2） 课堂练习 －1 －2 3 x y o 4.已知抛物线y＝2x2－12x＋13. （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （2）当x为何值时，y随x的增大而减小; （3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位， 请直接写出新抛物线的表达式. 课堂练习 解：∵y＝2x2－12x＋13＝2(x2－2x＋9)－5＝2(x－3)2－5 ∴抛物线开口向上，顶点为(3，－5)，对称轴为直线x＝3. (1)当x＝3时，y有最小值，最小值为－5； (2)当x＜3时，y随x的增大而减小； (3)新抛物线的表达式为y＝2(x－5)2－3． 5.已知二次函数y＝x2－4x－1． (1)将函数y＝x2－4x－1的解析式化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，并 指出该函数图象顶点B的坐标； 解：y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5 该函数图象顶点B的坐标为(2，－5). 课堂练习 (2)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y＝x2－4x－1与y轴交点为C， 抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积． ∴A（2，0） 课堂练习 O x y A B C 解：y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5 当x＝0时，y＝－1 ∴C（0，－1） ∴B（2，－5） 课堂小结 y=ax2+bx+c(a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 顶点、对称轴是？ $$