22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况: 复习引入 (1)y=ax2 y x O y x O a＞0 a＜0 复习引入 (2)y=ax2+k y x O y x O a＞0 k＞0 a＞0 k＜0 a＜0 k＞0 y x O k＜0 a＜0 y x O 复习引入 (3)y=a(x-h)2 y x O y x O a＞0 h＞0 a＞0 h＜0 a＜0 h＞0 y x O h＜0 a＜0 y x O 2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？ 3.把y=-2x2的图象 向上平移3个单位 y=-2x2+3 向左平移2个单位 y=-2(x+2)2 复习引入 4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2的图象平移得到？你认为该如何平移呢？ 复习引入 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 探索求知 例1 画出函数 的图象.指出它的开口方向、对称轴和顶点. x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ··· y ··· ··· 解：一、列表 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -5.5 -3 探索求知 描点、连线，画出这个函数的图象 1 2 3 4 -1 -2 -3 0 1 -2 -3 -4 5 x y -1 -4 -5 -6 -5 开口方向: 对称轴: 顶点坐标： 向下 直线x=-1 (-1,0) 画出函数y=2(x+1)2-2的图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标. 探索求知 开口方向: 对称轴: 顶点坐标： 向上 直线x=-1 (-1,-2) y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 知识要点 二次函数 y=a(x-h)2+k（a≠0）的性质 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） （h,k） 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 探索求知 顶点式： y=a(x-h)2+k 当h=0，k=0时 y=ax2 当h=0，k≠0时 y=ax2+k 当h≠0，k=0时 y=a(x-h)2 例2 二次函数y＝—2(x+1)2—4，下列说法正确的是( ) A.开口向上 B.对称轴为直线x＝1 C.顶点坐标为(1，4) D.当x＜—1时，y随x的增大而增大 D 典例精析 例3 已知抛物线y＝a(x—3)2+2经过点(1，—2)． （1）指出抛物线的对称轴； （2）求a的值； 解：（1）由y＝a(x—3)2+2可知顶点为(3，2)， 对称轴为直线x＝3. （2）∵抛物线y＝a(x—3)2+2经过点(1，—2) ∴—2＝a(1—3)2+2 ∴a＝—1 典例精析 （3）若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试 比较y1与y2的大小． ∴y1＜y2 解：∵函数解析式为 y＝—(x﹣3)2+2 ∴此函数的图象开口向下 ∴当x＜3时，y随x的增大而增大 ∵点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上 典例精析 探索求知 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系 例4 怎样移动抛物线 才可以得到抛物线 ？ 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 可以看作互相平移得到的. 平移规律 要点归纳 二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2+k的关系 y = a( x -h )2 + k y = ax2 + k y = a(x -h )2 y = ax2 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 例5 将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 得到的抛物线的解析式为（　　） A.y=2(x-4)2-1 B.y=2(x+4)2+1 C.y=2(x-4)2+1 D.y=2(x+4)2-1 B 典例精析 将抛物线y＝5(x-1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　） A.y＝5(x+2)2+3 B.y＝5(x-4)2-1 C.y＝5(x-4)2+3 D.y＝5(x-3)2+4 C 变式训练 例6 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c的大致图象可能是(　 　) A 典例精析 x y o y＝a(x－1)2－c x y o A x y o B x y o C x y o D 例7 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长? 典例精析 x y o A B C (1,3) (3,0) 解：如图建立直角坐标系， 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵这段抛物线经过点(3,0) ∴0=a(3－1)2＋3 ∴抛物线的解析式为 y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3). 当x=0时，y=2.25 答:水管长应为2.25m. 解得 x y o A B C (1,3) (3,0) 典例精析 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x＋3)2＋5 y=－3(x－1)2－2 y=4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6 向上 (1,－2) 向下 向下 (3,7) (2,－6) 向上 直线x=－3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 (－3,5) 1.完成下列表格: 课堂练习 2.把抛物线y=－3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那 么所得抛物线是___________________. 3.抛物线y=－3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位， 得到抛物线的解析式为 . 课堂练习 y=－3(x－1)2＋2 y=－3(x－2)2＋3 4.已知函数 y＝－(x－4)2－1. (3)怎样移动抛物线y＝－x2就可以得到抛物线 y＝－(x－4)2－1. (1)函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 ， 顶点坐标为　 　 ； (2)当x　 　 时，y随x的增大而减小； 向下 直线x＝4 （4，－1） ＞4 解：将抛物线y＝－x2向右平移4个单位长度，再向下平移1个单 位长度就可以得到抛物线y＝－(x－4)2－1． 课堂练习 5.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点， 当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系． 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4， 课堂练习 解得 a＝1 得0＝4a－4 方法一 (2)根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4 ∵y1＝y2 ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4 即(m－1)2＝(m＋n－1)2 ∵n＞0 ∴m－1＝－(m＋n－1) 化简，得 2m＋n＝2 ∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2 ∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点 (1，－4)，且平行于y轴的直线 方法二 课堂练习 5.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点， 当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系． 一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同. 课堂小结 $$