25.3 用频率估计概率 课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

25.3 用频率估计概率 1. 理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律； 2. 结合具体情境掌握如何用频率估计概率； 3. 通过概率计算，进一步比较概率与频率之间的关系． 这是否意味着： “抛掷 2 次，1 次正面向上”？ “抛掷 100 次，50 次正面向上”？ 问题1 抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？ 问题2 它们的概率是多少呢？ 出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况 都是 问题3 在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？ 我们不妨用试验进行检验． 观察随着重复试验次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？ 1.全班同学分成8组,每组同学抛掷一枚硬币50次，第1组的数据填在第1列，第1、2组的数据之和填在第2列……8个组的数据之和填在第8列，并算出“正面朝上”的频率，完成下表: 累计抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 “正面朝上”的次数m “正面朝上”的频率 23 0.46 46 0.46 78 0.52 102 0.51 123 0.49 152 0.51 175 0.50 201 0.50 抛硬币100次，“正面向上”不一定是50次. 2.根据上表的数据，在下图中标出对应的点并依次连接. 追问1：硬币正面朝上的频率有什么规律？ 频率在0.5附近摆动 追问2：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么? 下表是历史上一些数学家所做的抛掷硬币的试验数据. 试验者 抛掷次数n “正面朝上”的次数m “正面朝上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.5181 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 一般的，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性,在0.5附近摆动的幅度会越来越小. 这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5.它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值. 追问2：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么? 在抛掷一枚硬币时，结果不是“正面向上”，就是“反面向上”.因此，从上面的试验中也能得到相应的“反面向上”的频率. 当“正面向上”的频率稳定于0.5时，“反面向上”的频率也稳定于0.5.它也与前面用列举法得出的“反面向上”的概率是同一个数值. 1-0.5=0.5 对一般的随机事件，通过大量的重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. 思考1：抛掷硬币试验的特点: (1)可能出现的结果数 . (2)每种结果的可能性 . 有限 相等 思考2：如果是抛掷图钉的试验，能否用列举法求出概率? 钉尖朝上 钉尖朝下 (1)从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果? 结果数有限 用列举法求概率 √ 用频率估计概率 √ 思考1：抛掷硬币试验的特点: (1)可能出现的结果数 . (2)每种结果的可能性 . 有限 相等 思考2：如果是抛掷图钉的试验，能否用列举法求出概率? (2)每种结果的可能性是否相等? 无法判断“结果是否具有等可能性” 不能用列举法 思考3:能不能用频率估计概率，如何操作？ 全班抛掷一枚图钉共400次，每隔50次记录“钉尖朝上”的次数. 计算对应的频率. 估计“钉尖朝上”的概率. 绘制并观察频率变化的统计图. 0.56 估计“针尖朝下”的概率. 0.44 用频率估计概率,虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率,但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大. 例如，抛掷一枚图钉，不能用列举法求“针尖朝上”的概率，但可以通过大量重复试验估计出它的概率. 追问3：为什么要学用频率估计概率呢？ 追问4：频率和概率有什么联系和区别呢？ 硬币“正面向上”概率为0.5 联系：度量某个事件发生可能性大小的特征数:频率、概率. 试验次数越多，频率越趋向于概率. 区别：频率：试验值,可取多个值,近似地反映事件出现可能性的大小. 概率：理论值,取唯一的值,精确地反映事件发生可能性的大小. 注意：概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映 的规律并非在每一次试验中都发生. 例1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,应采用什么具体做法? 观察在各次试验中得到的幼树成活的频率， 谈谈你的看法． 是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率. 移植总数（n） 成活数（m） 成活的频率 10 8 0.8 50 47 270 235 0.870 400 369 750 662 1500 1335 0.890 3500 3203 0.915 7000 6335 9000 8073 14000 12628 0.902 0.94 0.923 0.883 0.905 0.897 　　由上表可以发现，幼树移植成活的频率在______左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 　　所以估计幼树移植成活的概率为_____． 0.9 0.9 例2 某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元,那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时,约定价为每千克大多少元比较合适? 销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中，请你帮忙完成此表 柑橘总质量（n）/千克 损坏柑橘质量（m）/千克 柑橘损坏的频率 50 5.50 0.110 100 10.5 0.105 150 15.15 200 19.42 250 24.25 300 30.93 350 35.32 400 39.24 450 44.57 500 51.54 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 从上表可以看出，柑橘损坏的频率在常数_____左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐______，那么可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数．如果估计这个概率为0.1，则柑橘完好的概率为_______． 0.1 稳定 0.9 解：根据估计的概率可以知道，在 10 000 kg 柑橘中完好柑橘的质量为 10 000×0.9＝9 000（kg）． 设每千克柑橘售价为 x 元，则 9 000x -2×10 000＝5 000． 　　解得　 x ≈ 2.8（元）． 　　因此，出售柑橘时，每千克大约定价 2.8 元可获利润 5 000元． 1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(　　) A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D 2. 某小组做实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是(　　) A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，其花色是红桃。 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是4。 D 3. 在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，它们除颜色不同外其余均相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回，摇匀……如此做大量摸球试验后，小新发现摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是(　　) A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ B 4.下表记录了某种幼树在一定条件下的移植成活情况： 移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 325 1336 3203 6335 8073 12628 成活的频率 (精确到0.001) 0.813 0.891 0.915 0.905 0.897 0.902 由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是____(精确到0.1)． 0.9 5. 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下： （1）填表（精确到0.001）； （2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？ 练习罚篮次数 30 60 90 150 200 300 400 500 罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401 罚中频率 解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在0.8左右，所以估计他这次能罚中的概率约为0.8. 练习罚篮次数 30 60 90 150 200 300 400 500 罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401 罚中频率 0.900 0.750 0.867 0.787 0.805 0.797 0.805 0.802 频率与概率的关系 联系： 频率 概率 稳定性 大量重复试验 事件发生的频繁程度 事件发生的 可能性大小 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 区别： 频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同; 概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关. $$