第13周检测(三角函数的应用之前内容30%+三角函数的应用70%)-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第13周检测(三角函数的应用之前内容30%+三角函数的应用70%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B=(　　) A.{x|0≤x<1} B.{x|-1<x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x<1} 2.若a>0,b>0,则“a+b≥2”是“ab≥1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)+f(1-x)=0,且f(-x)=f(x),当1<x≤2时,f(x)=2x-1,则f(2 022)=(　　) A.-1 B.-3 C.1 D.3 4.下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递增的函数是(　　) A.f(x)=x|x| B.f(x)= C.f(x)=x- D.f(x)=-x4+x2+2 5.函数f(x)=sin2x+sin xcos x在区间上的最大值是(　　) A.1 B.2 C. D.3 6.的值为(　　) A.- B. C. D.- 7.已知α∈-,0,且cos2α+sin 2α=,则=(　　) A. B. C. D. 8.已知函数f(x)=2sinωx+(ω>0),当x∈R时恒有f(x)≤f(2π),且f(x)在-上单调递增,则ω的值为(　　) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=|lg x|,若a>b>c,且f(c)>f(a)>f(b),则(　　) A.a>1 B.b>1 C.0<c<1 D.0<ac<1 10.将函数y=sin 2x+cos 2x+1的图象向右平移个单位长度,再将所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则下面对函数g(x)的叙述中正确的是(　　) A.函数g(x)的最小正周期为 B.函数g(x)图象关于点-,0对称 C.函数g(x)在区间上单调递增 D.函数g(x)图象关于直线x=对称 11.已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则(　　) A.-2≤f(x)≤2 B.f(x)在区间(0,π)内只有1个零点 C.f(x)的最小正周期为π D.x=为f(x)图象的一条对称轴 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,则满足不等式f(2a)<f(4a-1)的a的取值范围是　　　　　.(用区间表示)  13.函数f(x)=cos x(sin x-cos x)+,x∈[0,π],则f(x)的单调递减区间是　　　　　.  14.已知函数f(x)=sin2x-,若方程f(x)=在区间(0,π)内的解为x1,x2(x1<x2),则sin(x1-x2)=　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知命题p:∃x∈R,使x2+(a-1)x+1<0;命题q:∀x∈[2,4],使log2x-a≥0. (1)若命题p为假命题,求实数a的取值范围; (2)若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的最小正周期是π. (1)求ω的值; (2)求f(x)的图象的对称中心; (3)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间. 17.(15分)已知函数f(x)=sinx+,x∈R. (1)如果点P是角α终边上一点,求f(α)的值; (2)设g(x)=f(x)+sin x,用“五点描点法”画出g(x)的图象(x∈[0,2π]). 18.(17分)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x-a在区间-上的最大值为2. (1)求函数f(x)图象的对称轴; (2)先将函数f(x)保持横坐标不变,纵坐标变为原来的(A>0)倍,再将图象向左平移m0<m<个单位长度,得到的函数g(x)为偶函数.若对任意的x1∈-,0,总存在x2∈-,0,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数A的取值范围. 19.(17分)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50 m,BC=25 m,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且∠EOF=90°,如图所示. (1)设∠BOE=α,试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式,并求出此函数的定义域. (2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用. 参考答案 1.B　由集合并集的定义可得A∪B={x|-1<x≤2},故选B. 2.B　取a=2,b=,满足a+b≥2,但ab=,故“a+b≥2”不是“ab≥1”的充分条件,因为a>0,b>0,a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立. 故ab≥1时,a+b≥2,因此“a+b≥2”是“ab≥1”的必要条件,故“a+b≥2”是“ab≥1”的必要不充分条件,故选B. 3.D　f(1+x)+f(1-x)=0,得f(1+x)=-f(1-x), ∴f(x+2)=-f(-x)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为4, ∴f(2 022)=f(2)=22-1=3,故选D. 4.B　对于A,因为f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数f(x)不是偶函数,故选项A错误;对于B,因为f(x)=,定义域为R,所以f(-x)==f(x),所以函数f(x)为偶函数,由幂函数的性质可得函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故选项B正确;对于C,因为f(-x)=-x--x=-f(x),所以函数f(x)不是偶函数,故选项C错误;对于D,因为f(-x)=-(-x)4+(-x)2+2=-x4+x2+2=f(x),定义域为R,所以函数f(x)是偶函数,但f(1)=2>f(2)=-10,故选项D错误.故选B. 5.C　因为f(x)=sin2x+sin xcos x,所以f(x)=sin 2x=+sin2x-, x,2x-, sin2x-≤1,∴f(x)max=+1= 故选C. 6.A　原式==-=-=-故选A. 7.B　由cos2α+sin 2α=,即, 即,所以7tan2α-20tan α-3=0, 即(7tan α+1)(tan α-3)=0, 所以tan α=-或tan α=3,由α∈-,0,所以tan α=-故选B. 8.B　因为当x∈R时,恒有f(x)≤f(2π),所以当x=2π时,f(x)取得最大值, 所以2πω++2kπ,k∈Z,得ω=+k,k∈Z. 因为f(x)在-上单调递增,且ω>0, 所以--,即,得0<ω≤2. 因为x∈-,所以ωx+-++. 因为f(x)在-上单调递增,所以k∈Z,得k∈Z, 所以4-12k>0,且1+6k>0,k∈Z, 解得-<k<,k∈Z. 故k=0,ω=,此时ω的值满足题意.故选B. 9.ACD　 f(x)= 定义域为(0,+∞),在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因为a>b>c,且f(c)>f(a)>f(b),结合函数图象可知,0<c<1,且a>1,b则可能大于1,也可能大于0且小于1,故AC正确,B错误;其中-lg c>lg a,则lg c+lg a=lg ac<0,故0<ac<1,D正确.故选ACD. 10.AD　由题意可得,函数y=sin 2x+cos 2x+1=2sin2x++1,将其向右平移个单位长度可得y=2sin2x-+1=2sin2x++1,再将所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可得g(x)=2sin4x++1,故可得函数g(x)的最小正周期T=,故A正确;由函数g(x)的图象的对称中心纵坐标为1,故-,0不是函数g(x)的图象的一个对称中心,故B错误;当x∈,可得4x+,由正弦函数性质,可得函数g(x)=2sin4x++1在x∈不单调,故C错误;由g=2sin+1=3,可得直线x=是函数的图象的对称轴,故D正确.故选AD. 11.ACD　已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin2x-,x∈R,对于A,-2≤f(x)≤2,正确. 对于B,当2x-=kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,f(x)在区间(0,π)内只有2个零点,错误. 对于C,f(x)的最小正周期为π,正确. 对于D,当x=时,函数f(x)=2sin2x-,x∈R,f=2sin2=2,所以x=为f(x)图象的一条对称轴,正确. 故选ACD. 12.0,　因为f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,所以f(x)在[0,1]上单调递增,所以-1≤2a≤1,-1≤4a-1≤1,|2a|<|4a-1|, 所以0≤a< 13.　f(x)=cos x(sin x-cos x)+sin 2x-cos 2x=sin2x-, x∈[0,π]⇒2x--, 令2x-得x∈. 14.-　x∈(0,π),故2x--,f(x)=sin2x-=,故sin2x1-=,sin2x2-=,根据对称性得2x1-+2x2-2=π,即x1+x2=,x1<x2,故2x1--,sin(x1-x2)=sin2x1-=sin2x1-=-cos2x1-=- 15.解(1)由命题p为假命题可得Δ=(a-1)2-4≤0, 即a2-2a-3≤0,所以实数a的取值范围是[-1,3]. (2)p或q为真命题,p且q为假命题,则p,q一真一假. 若p为真命题,则有a<-1或a>3,若q为真命题,则有a≤1. 故当p真q假时,则有a>3, 当p假q真时,则有-1≤a≤1, 所以实数a的取值范围是[-1,1]∪(3,+∞). 16.解(1)f(x)=sin ωx+cos ωx=2sinωx+, 又ω>0,T==π,∴ω=2. (2)由(1)知,f(x)=2sin2x+, 令2x+=kπ,解得x=,k∈Z. ∴f(x)的图象的对称中心是,0,k∈Z. (3)将f(x)的图象向右平移个单位长度后可得y=2sin2x-,再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变得到g(x)=2sinx-,由2kπ-x-2kπ+,解得2kπ-x≤2kπ+,k∈Z. ∴g(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+,k∈Z. 17.解(1)因为点P是角α终边上一点,所以sin α=,cos α=,则f(α)=sinα+=sin αcos+cos αsin (2)g(x)=f(x)+sin x=sin xcos+cos xsin+sin x=sin x+cos x=sinx+, 绘制表格如下: x 0 2π x+ π 2π sinx+ 0 - 0 描点绘制函数图象如图所示: 18.解(1)f(x)=sin 2x+cos 2x-a+1=2sin2x+-a+1. ∵x∈-,∴2x+-, 则当2x+,即x=时,f(x)取最大值2,即有2-a+1=2,得a=1. ∴f(x)=2sin2x+. 令2x+=kπ+(k∈Z),解得x=(k∈Z), ∴f(x)图象的对称轴为x=(k∈Z). (2)根据伸缩平移可知g(x)=Asin2x+2m+, ∵g(x)为偶函数,∴2m+=kπ+(k∈Z), ∴m=(k∈Z), 又∵0<m<,∴m=,∴g(x)=Asin2x+=Acos 2x. ∵x1∈-,0,∴2x1+-, ∴f(x1)的值域为[-2,1]. ∵x2∈-,0,∴2x2∈-,0, ∴cos 2x2∈-,1. A>0,g(x2)在-,0上的值域为-,A, 而依据题意有f(x1)在-,0上的值域是g(x2)在-,0上的值域的子集, 则实数A的取值范围为[4,+∞). 19.解(1)∵在Rt△BOE中,OB=25,∠B=90°,∠BOE=α, ∴OE= 在Rt△AOF中,OA=25,∠A=90°,∠AFO=α, ∴OF= 又∠EOF=90°,EF= =, ∴l=OE+OF+EF=, 即l= 当点F在点D时,这时角α最小,求得此时α=; 当点E在点C时,这时角α最大,求得此时α= 故此函数的定义域为. (2)由题意知,要求铺路总费用最低,只要让△OEF的周长l最小即可. 由(1)得,l=,α∈, 设sin α+cos α=t,则sin α·cos α=, ∴l= 由t=sin α+cos α=sinα+,+,得t,t-1-1, 从而+1+1, 当α=,即BE=25时,lmin=50(+1), ∴当BE=AE=25 m时,铺路总费用最低,最低总费用为20 000(+1)元. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$