第8周检测(函数的应用之前内容30%+函数的应用70%)-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第8周检测(函数的应用之前内容30%+函数的应用70%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集为R,集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=(　　) A.{x|-1<x≤1} B.{x|-1<x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|-1<x<2} 2.已知x∈R,则“x≤-3”是“(x+2)(x-3)≥0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知x>0,y>0,满足=1,则2x+y的最小值是(　　) A.4 B.3+2 C.4+2 D.2 4.函数f(x)=ln x+x-2的零点所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5.已知幂函数f(x)=(8m2-2m)xm在(0,+∞)上为增函数,则f(4)=(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 6.考古学家对某古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,已知碳14的半衰期为5 730年,≈1.166 5,以此推断水坝建成的年份大概是公元前(　　) A.3500年 B.2900年 C.2600年 D.2000年 7.某种疫情处于大流行状态,在冬季因季节原因导致其他国家疫情输入的风险大大增加.现有一组境外输入病例数据: x(月份) 1 2 3 4 5 y(人数) 97 159 198 235 261 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近(　　) A.y=ax+b B.y=+b C.y=ax+b D.y=logax+b 8.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点,若x1∈(1,x0),x2∈(x0+∞),则(　　) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设函数f(x)=则(　　) A.当a=1时,f(x)的值域为(-∞,4] B.当f(x)的单调递增区间为(-∞,2]时,a≤1 C.当1≤a≤3时,函数g(x)=f(x)-3有2个零点 D.当a=3时,关于x的方程f(x)=有2个实数解 10.已知loga<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围可以是(　　) A.0, B.,+∞ C.,1 D.(1,+∞) 11.已知函数f(x)=,下面说法正确的有(　　) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的值域为(-1,1) D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<0恒成立 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.函数f(x)=lg(x-1)+的定义域为　　　　　.  13.已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈,2,使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围是　　　　　.  14.设函数f(x)=若有不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知a∈R,函数f(x)=log2(x2+x+a). (1)若函数f(x)过点(1,1),求此时函数f(x)的解析式; (2)设a>0,若对任意t∈,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围. 16.(15分)已知函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数. (1)求y=f(x)的解析式; (2)若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式:①log2x<2x<x2;②log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围. 17.(15分)一家农产品网店要对指定的四件商品进行优惠促销活动,商品原价分别为110元、75元、50元、m元.促销方案如下:若购买的商品总价超过100元,则可享受8折优惠;享受8折优惠后,若满200元可再减免x元(x≥10),但顾客享受的优惠总额不得超过所购商品原总价的30%. (1)若m=200,x=25,且顾客只选购了其中的两件商品,求优惠总额最多时顾客支付的金额; (2)若顾客支付220元恰好买齐这四件商品,求m的最小值. 18.(17分)人类已进入大数据时代.目前数据量已经从TB(1 TB=1 024 GB)级别上升到PB(1 PB=1 024 TB),EB(1 EB=1 024 PB),乃至ZB(1 ZB=1 024 EB)级别.某数据公司根据以往数据,整理得到如下表格: 时间 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 … 间隔年份x/年 0 1 2 3 4 … 全球数据量y/ZB 0.5 0.75 1.125 1.687 5 2.531 25 … 根据上述数据信息,经分析后发现函数模型y=a·bx能较好地描述2010年起全球产生的数据量y(单位:ZB)与间隔年份x(单位:年)的关系. (1)求y关于x的函数解析式; (2)请估计2023年全球产生的数据量是多少(结果保留1位小数). 参考数据:=5.062 5,=7.593 75,=11.390 625,5.062 52≈25.629,7.593 752≈57.665,11.390 6252≈129.746. 19.(17分)已知函数f(x)= (1)若f(a)=1,求实数a的值; (2)若关于x的方程f(x)-m=0恰有三个解,求实数m的取值范围. 参考答案 1.B　因为B={x|x≥1}, 所以∁RB={x|x<1},故A∩(∁RB)={x|-1<x<1}, 故选B. 2.A　“x≤-3”成立时,x+2<0,x-3<0, 故“(x+2)(x-3)≥0”成立, 即“x≤-3”是“(x+2)(x-3)≥0”的充分条件; “(x+2)(x-3)≥0”成立时,x≤-2或x≥3, 此时推不出“x≤-3”成立, 故“x≤-3”不是“(x+2)(x-3)≥0”的必要条件, 故选A. 3.B　由(2x+y)=2++1≥3+2,当且仅当x=1+,y=1+时,等号成立.故选B. 4.C　函数y=ln x是(0,+∞)上的增函数,y=x-2是R上的增函数, 故函数f(x)=ln x+x-2是(0,+∞)上的增函数. f(2)=ln 2+2-2=ln 2-1<0, f(3)=ln 3+3-2=ln 3->0, 则x∈(0,2)时,f(x)<0;x∈(3,+∞)时,f(x)>0, 因为f(2)·f(3)<0, 所以函数f(x)=ln x+x-2在区间(2,3)上存在零点. 故选C. 5.A　由题意得得m=, 则f(x)=,f(4)=2. 故选A. 6.B　根据题意设原来的量为1,经过t年后则变成1×55.2%=0.552,可得1×=0.552, 两边取对数,可得=log0.50.552, 即t=5 730×log0.50.552=5 7304 912, 又由4 912-2 010+1=2 903,所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前2900年.故选B. 7.D　计算可知,每月人数增长分别为62,39,37,26,增长速度在逐月减缓,符合对数函数的特点,故选D. 8.B　因为x0是函数f(x)=2x+的一个零点,则x0是函数y=2x与y=的交点的横坐标,画出函数图象,如图所示, 则当x1∈(1,x0)时,y=2x在y=下方,即f(x1)<0;当x2∈(x0,+∞)时,y=2x在y=上方,即f(x2)>0.故选B. 9.AB　当a=1时,当x>1时,f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4≤4,当x≤1时,f(x)=2x+1单调递增,故f(x)≤f(1)=3,综上,f(x)的值域为(-∞,4],A正确; f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和(1,2],因为f(x)的单调递增区间是(-∞,2], 所以2+a≤-1+4,即a≤1,B正确; 当x>1时,由f(x)=3,得x=3,当x≤1时,令f(x)=2x+a=3,得2x=3-a,此方程要有唯一解,得0<3-a≤2,即1≤a<3,C错误; 当a=3时,令-x2+4x=, 即2x2-8x+7=0, 解得x1=2+>1或x2=2->1,符合要求, 令2x+3=,解得x=-1<1,符合要求, 所以f(x)的图象与直线y=有3个交点,D错误.故选AB. 10.AD　∵loga<1=logaa,故当0<a<1时,y=logax为减函数,0<a<;当a>1时,y=loga<0,∴a>1. 综上知AD正确. 故选AD. 11.BC　f(x)=的定义域为R,关于原点对称,f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故选项A不正确,选项B正确; f(x)==1-,因为2x>0,所以2x+1>1,所以0<<1,-2<<0,所以-1<1-<1,可得f(x)的值域为(-1,1),故选项C正确; 设x1,x2是任意的两个实数且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1--1-=, 因为+1>0,+1>0,<0, 所以<0, 即f(x1)-f(x2)<0, 所以>0,故选项D不正确.故选BC. 12.(1,2)∪(2,+∞)　函数f(x)=lg(x-1)+的自变量x需满足 解得x>1且x≠2, 故函数f(x)=lg(x-1)+的定义域为(1,2)∪(2,+∞). 13.[-5,0]　函数f(x)=log2x在,2上单调递增,值域为[-1,1],函数g(x)=2x+a在,2上单调递增,值域为[1+a,4+a], 由存在x1,x2∈,2,使得f(x1)=g(x2),可知两个函数的值域有交集, 即[1+a,4+a]∩[-1,1]≠⌀, 则有1+a≤-1≤4+a或1+a≤1≤4+a,即-5≤a≤-2或-3≤a≤0,解得-5≤a≤0. 14.(18,34)　作出函数y=f(x)的图象如下图所示. 当x<0时,0<2x<1,则-1<2x-1<0,此时,f(x)=|2x-1|∈(0,1). 设a<b<c,令f(a)=f(b)=f(c)=t,由图象可知0<t<1, 由t=f(a)=|2a-1|=1-2a,可得2a=1-t. 由t=f(b)=|2b-1|=2b-1,可得2b=t+1. 由t=f(c)=5-c,可得c=5-t∈(4,5), ∴2c∈(16,32). 因此,2a+2b+2c=2+2c∈(18,34). 15.解(1)∵函数f(x)过点(1,1),即f(1)=log2(2+a)=1, 解得a=0,∴f(x)=log2(x2+x). (2)f(x)=log2(x2+x+a)是复合函数, 设u(x)=x2+x+a,则f(x)=log2u(x). ∵t∈,1,∴u(x)=x2+x+a在区间[t,t+1]上单调递增, 又y=log2x在(0,+∞)内单调递增,故函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递增. 此时t2+t+a>0. ∴f(x)min=f(t)=log2(t2+t+a),f(x)max=f(t+1)=log2(t2+3t+2+a). 由题意f(t+1)-f(t)≤1对任意t∈,1恒成立, 即log2(t2+3t+2+a)-log2(t2+t+a)≤1对任意t∈,1恒成立, 即t2+3t+2+a≤2t2+2t+2a对任意t∈,1恒成立, 即-t2+t+2≤a对任意t∈,1恒成立, 设g(t)=-t2+t+2,t∈,1, 只需g(t)max≤a即可, 因为g(t)=-t2+t+2图象的对称轴为直线t=,图象是开口向下的抛物线, 故g(t)=-t2+t+2在t∈,1上单调递减, 故g(t)max=g=,故a 16.解(1)∵函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数, ∴f(x)=2x. (2)作出函数y=2x,y=x2,y=log2x在同一直角坐标系中的图象,可得22=4,24=42=16, ①因为log2x<2x<x2,所以2<x<4,解集为(2,4); ②因为log2x<x2<2x,所以0<x<2或x>4,解集为(0,2)∪(4,+∞). 17.解(1)因为m=200,x=25,所以顾客选购的2件商品的原总价可能为250,275,310(元). 当2件商品的原总价为250元时,250×80%=200,200-25=175=250×70%, 优惠总额为250-175=75(元); 当2件商品的原总价为275元时,275×80%=220>200,220-25=195>275×70%,优惠总额为275-195=80(元); 当2件商品的原总价为310元时,310×80%=248>200,248-25=223>310×70%,优惠总额为310-223=87(元). 所以优惠总额最大为87元,此时顾客需支付的金额为223元. (2)由题意得,买齐这四种商品的原总价为(m+235),超过了100元,享受8折优惠后应付款金额为(m+235)×80%=0.8m+188, 因为求m的最小值, 所以m应满足 解得52.5≤m, 所以m的最小值为52.5. 18.解(1)由题意点(0,0.5),(1,0.75)在函数模型y=a·bx的图象上,则 解得 所以y=x. (2)2023年时,间隔年份为13,则2023年全球产生的数据量是13 ZB,13=6×6=2≈0.75×129.746≈97.3. 所以估计2023年全球产生的数据量是97.3 ZB. 19.解(1)当a>0时,f(a)=1,即a2-3a+2=1,解得a=,均满足条件. 当a≤0时,∵ea>0,ea+1>1,∴f(a)=1无解. 故a= (2)在同一坐标系内分别作出y1=f(x)和y2=m的图象如图所示. 当x≤0时,f(x)单调递增,1<f(x)≤2; 当x>0时,f(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,f=- 故当1<m<2时,方程f(x)-m=0恰有三个解,即实数m的取值范围是(1,2). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$