第6周检测(第1,2,3章30%+指数与指数函数70%)-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第6周检测(第1,2,3章30%+指数与指数函数70%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2,3},则A∩B=(　　) A.{-2,0,1,2} B.{-2,0,1} C.{0,1,2} D.{0,1} 2.“-1<m<0”是“关于x的不等式-x2-3mx-4≥0的解集为⌀”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若x>2,则y=的最小值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 4.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+ax+a+1,则f(-2)=(　　) A.-2 B.2 C.-6 D.6 5.设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)满足f(2)=9,则f=(　　) A. B.3 C. D. 6.函数f(x)=满足f(x)>1的x的取值范围为(　　) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.{x|x>0或x<-2} D.{x|x>1或x<-1} 7.已知曲线y=ax-1+1(a>0,且a≠1)过定点(k,b),若m+n=b,且m>0,n>0,则的最小值为(　　) A. B.9 C.5 D. 8.函数f(x)=ax+1-(a>0,且a≠1)的大致图象可能是(　　) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则下列等式中正确的是(　　) A.f(x+y)=f(x)f(y) B.f(x-y)= C.f=f(x)-f(y) D.f(nx)=[f(x)]n(n∈Q) 10.已知函数f(x)=a-,且f(1)=,则(　　) A.a=1 B.f(x)为非奇非偶函数 C.函数f(x)的值域为(-1,1) D.不等式f(3x2-1)+f(x-3)<0的解集为-,1 11.已知函数f(x)=|2x-1|,实数a,b(a<b)是函数y=f(x)-m的两个零点,则下列结论正确的有(　　) A.m>1 B.0<m<1 C.2a+2b=2 D.a+b<0 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(1)=0,则不等式f(x+2)>0的解集为　　　　　.  13.已知函数f(x)=在(a,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　.  14.已知函数f(x)=4x-2x+1+4,x∈[-1,1],则函数y=f(x)的值域为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=-x. (1)判断f(x)在区间(-∞,0)上的单调性,并用定义证明; (2)判断f(x)的奇偶性,并求f(x)在区间[1,2]上的值域. 16.(15分)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点2,. (1)求a的值; (2)求f(x)在区间-,1上的最大值. 17.(15分)函数f(x)=|2x-1|. (1)请在坐标系中画出函数f(x)的图象; (2)不等式f(x)<x+的解集为　　　　　.(写出结果即可,不需写过程)  18.(17分)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数,若牛奶放在0 ℃的冰箱中,保鲜时间约是192 h,而在22 ℃的厨房中则约是42 h. (1)写出保鲜时间y(单位:h)关于储藏温度x(单位:℃)的函数解析式; (2)利用(1)中结论,指出温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间.参考数据≈0.125,≈0.328,精确到1 h 19.(17分)已知函数f(x)=2x+,g(x)=mf(x)-f(2x)-3. (1)判断并证明y=f(x)在(0,+∞)内的单调性; (2)当x∈[1,3]时,都有g(x)≤0恒成立,求实数m的取值范围; (3)若方程g(x)=4在[-1,1]上有4个实数解,求实数m的取值范围. 参考答案 1.D　由已知可得A∩B=故选D. 2.A　由题意可知,若f(x)=-x2-3mx-4的图象在x轴的下方, 则Δ=(-3m)2-4×4<0, 解得-<m<, 因为(-1,0)⫋-, 所以“-1<m<0”是“关于x的不等式-x2-3mx-4≥0的解集为⌀”的充分不必要条件,故选A. 3.C　因为x>2,所以x-2>0,所以y==x-2++2≥2+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时等号成立,故y=x+的最小值为6. 故选C. 4.A　y=f(x)是定义在R上的奇函数,则有f(0)=a+1=0,解得a=-1. 当x≥0时,f(x)=x2-x,则f(-2)=-f(2)=-2,故选A. 5.D　∵f(x)=ax,f(2)=9, ∴a2=9. 又a>0,∴a=3, ∴f(x)=3x, ∴f=,故选D. 6.D　当x≤0时,f(x)>1即2-x-1>1,2-x>2,解得x<-1,当x>0时,f(x)>1即>1,解得x>1. 故选D. 7.A　∵曲线y=ax-1+1(a>0,且a≠1)过定点(k,b), 又当x=1时,y=2, ∴k=1,b=2,∴m+n=2, (m+n)=5+, 当且仅当,即m=,n=时,等号成立. 所以的最小值为故选A. 8.A　选项C,D中的a应满足a>1,但此时f(-2)=0,所以选项C,D均不满足题意;选项A,B中的a满足0<a<1,此时f(0)=a-<0,选项B不满足题意,只有选项A符合题意.故选A. 9.ABD　因为指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则有: 对于A,f(x+y)=ax+y=ax·ay=f(x)f(y),A中的等式正确; 对于B,f(x-y)=ax-y=ax·a-y=,B中的等式正确; 对于C,f=,f(x)-f(y)=ax-ay, 显然,ax-ay,C中的等式错误; 对于D,n∈Q,f(nx)=anx=(ax)n=[f(x)]n,D中的等式正确. 故选ABD. 10.ACD　f(1)=a-,求得a=1,A正确; a=1时,f(x)=1-, ∵f(-x)==-f(x),x∈R, ∴f(x)为奇函数,B不正确; ∵2x>0,∴2x+1>1, ∴0<<1,-2<<0, ∴-1<1+<1,C正确; f(x)=1-,∵y=2x+1是R上单调递增函数,y=是R上单调递减函数, ∴f(x)=1-是R上单调递增函数, ∴f(3x2-1)+f(x-3)<0⇒f(3x2-1)<-f(x-3)=f(3-x), ∴3x2-1<3-x, ∴3x2+x-4<0, ∴解集为-,1,D正确. 故选ACD. 11.BCD　f(x)=|2x-1|=y=f(x)-m的零点即函数y=f(x)与y=m图象交点的横坐标,作出它们的图象如图所示, 由图象可知,当0<m<1时,两个函数图象有2个交点,且f(a)=f(b),即1-2a=2b-1, 化简可得2a+2b=2, 由2a+2b=2≥2=2, 又a≠b,所以等号取不到,可得2a+b<1=20, 所以a+b<0. 综上可知,BCD正确,A错误.故选BCD. 12.(-∞,-3)∪(-1,+∞)　因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(1)=0, 所以函数在(-∞,0]上单调递减,f(-1)=0. 则x+2<-1或x+2>1,得x<-3或x>-1. 13.[1,+∞)　令g(x)=x2-2x+5,可得抛物线的开口向上,且对称轴为x=1, 所以函数g(x)在(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增, 又由函数f(x)=,根据复合函数的单调性的判定方法,可得函数f(x)在(-∞,1]上单调递增,在区间[1,+∞)上单调递减,因为函数f(x)在(a,+∞)上单调递减,则a≥1,可得实数a的取值范围是[1,+∞). 14.[3,4]　设t=2x,x∈[-1,1],则t∈,2,此时g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3, 当t=1,即x=0时,函数取得最小值,此时最小值为f(0)=g(1)=3; 当t=2,即x=1时,函数取得最大值,此时最大值为f(1)=g(2)=4.所以y=f(x)的值域是[3,4]. 15.解(1)f(x)在区间(-∞,0)上单调递减.证明: ∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=-x1--x2=+(x2-x1)=+(x2-x1)=(x1x2+2). 因为x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2, 所以x1x2>0,x2-x1>0. 于是(x1x2+2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递减. (2)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为f(-x)=-+x=-f(x), 所以f(x)为奇函数. 由(1)知f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,结合奇偶性可得f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,故f(x)在区间[1,2]上单调递减. 又因为f(1)=1,f(2)=-1,所以f(x)在区间[1,2]上的值域为[-1,1]. 16.解(1)因为函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点2,, 所以a2= 所以a= (2)因为a=, 所以f(x)=x. 所以f(x)在区间-,1上单调递减. 所以f(x)在区间-,1上的最大值是f-. 所以f-= 所以f(x)在区间-,1上的最大值是 17.解(1) x -2 -1 0 1 2 f(x) 0 1 3 函数f(x)的图象如下: (2)由(1)所得f(x)图象中画出直线y=,可得如下图象, 由y=过-1,,(1,1),故f(x)<x+即为上图阴影部分区间, ∴不等式解集为(-1,1). 18.解(1)设y=k·ax(k≠0,a>0且a≠1), 则有 ∴y=192·(x≥0). (2)当x=30时,y=192·24, 即储藏温度为30 ℃保鲜时间约24小时; 当x=16时,y=192·63, 即储藏温度为16 ℃保鲜时间约为63小时. 19.(1)证明设x1,x2是任意两个大于0的实数,且x1>x2,则>0, 所以f(x1)-f(x2)=-=()->0, 所以f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递增. (2)解当x∈[1,3]时,有t=2x+. 又22x+=2x+2-2=t2-2, 则g(x)=mf(x)-f(2x)-3可转化为φ(t)=mt-t2-1, 由g(x)≤0可得m≤t+ 因为函数h(t)=t+在上单调递增, 所以m≤h(t)min=h=, 所以实数m的取值范围是-∞,. (3)解对任意的x∈R,f(-x)=2-x++2x=f(x), 所以函数f(x)为偶函数. 由(1)可知,函数f(x)在[0,1]上单调递增,则该函数在[-1,0]上单调递减. 令t=2x+,当x∈[-1,1]时,t∈2,, 则g(x)=mf(x)-f(2x)-3可转化为φ(t)=mt-t2-1, 由g(x)=4可得t2-mt+5=0, 令p(t)=t2-mt+5,则函数p(t)在2,上有两个不相等的零点, 所以 解得2<m< 所以实数m的取值范围是2. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$