精品解析：广东省珠海市金砖四校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷

珠海市金砖四校2023-2024学年度第二学期5月联考 高一数学试卷 命题人：华中师范大学珠海附属中学 杨冬常 审题人：华中师范大学珠海附属中学 胡建国 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则（　　） A. B. 5 C. D. 5. 已知函数，若时，函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 7. 在中，，则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 8. 已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则的最大值为3 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与共线的单位向量的坐标为 D. 若向量与向量共线，则 11. 在中，角，，的对边分别为，，，则（ ） A. ，，，若有两解，则 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，且，则______. 13. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝____________. 14. 已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (1)已知复数是关于x的方程的一个根，求的值； (2)已知复数，，，求． 16. 设，是不共线的非零向量，且，． （1）若，求，u的值． （2）若，是互相垂直的单位向量，求与的夹角． 17. 为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得，两点的距离为海里. （1）求的面积； （2）求，之间的距离. 18. 已知函数的部分图象如图所示.先将图象上的每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）已知，均为锐角，，，求的值. 19. 在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答，在，角的对边分别是，边长，为的面积，若______（填条件序号） （1）求角的大小； （2）若为内一点且，求长度最大值； （3）若为锐角三角形，求的内切圆半径的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市金砖四校2023-2024学年度第二学期5月联考 高一数学试卷 命题人：华中师范大学珠海附属中学 杨冬常 审题人：华中师范大学珠海附属中学 胡建国 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以根据题意求出复数的共轭复数，然后根据虚部的定义即可得出结果. 【详解】因为复数， 所以的共轭复数，虚部是， 故选：D． 【点睛】本题考查共轭复数以及复数的虚部，复数的共轭复数为，体现了基础性，是简单题. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系和两角和的正弦公式进行计算可得结果. 【详解】因为，，所以， 所以. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系求出，再根据二倍角的正切公式求即可. 【详解】解：因为，所以 所以 故选：A 【点睛】本题考查同角三角函数关系、二倍角的正切公式，是基础题. 4. 已知向量，，且，则（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算求出，再根据向量加减的坐标运算和向量模的计算公式即可. 【详解】由，可得，代入坐标运算可得，解得， 所以，得， 故选：B． 5. 已知函数，若时，函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，然后利用正弦函数的性质求值域即可. 【详解】, 因为，所以 则， 所以函数的值域为. 故选：A. 6. 正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，化简可得，建立平面直角坐标系，根据，利用坐标计算可得点坐标，最后计算可得结果. 【详解】由题意，可知，即， 即， 所以，即， 建立如图平面直角坐标系 设，， 所以 由，所以 则，所以 故选：D． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，本题关键在于得到，通过建系便于计算，着重考查了推理与运算能力，属中档题. 7. 在中，，则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合余弦定理化简即可得解. 【详解】在中，，则， 由余弦定理得，整理得，则， 所以是直角三角形. 故选：B 8. 已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解. 【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以， 所以，即， 因为三点共线，可得，所以. 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A选项；由复数的运算判断BCD. 【详解】若复数，满足，但这两个虚数不能比大小，A选项错误； 若，则，即， 得或，所以，B选项正确； 设，， 则， ， ， 所以，C选项正确； 若，得，有，， 则，时取等号， 则的最大值为3，D选项正确. 故选：BCD. 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与共线的单位向量的坐标为 D. 若向量与向量共线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，利用向量的夹角余弦值公式即可直接求解；选项B,利用投影向量的公式即可直接求解； 选项C,利用向量的共线单位向量公式即可直接求解；选项D,利用向量的共线定理即可直接求解. 【详解】，则选项A正确; 在方向上的投影向量,则选项B错误； 与共线的单位向量为，即或，则选项C错误； 若向量与向量共线,则， ，可得解得，则选项D正确； 故选：AD. 11. 在中，角，，的对边分别为，，，则（ ） A. ，，，若有两解，则 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；化简可得可判断B；由正弦定理化角为边，再由余弦定理可判断C；由正弦定理结合余弦定理可判断D. 【详解】对于A：因为，，，若有两解，则， 即，解得，故A错误； 对于B：因为，所以，即， 所以，又，所以，故，所以为直角三角形，故B正确； 对于C：由可得，则， 所以，又，所以，即为钝角，所以为钝角三角形，故C错误； 对于D：因为，又， 所以，由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 即， 所以， 又，，， 所以， 又，所以，所以， 所以，所以或，即或（舍去），故D正确. 故选：BD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可. 【详解】由可得，解得. 故答案为： 13. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知，在△ABC中,∠A＝60°，b＝1，＝,那么结合余弦定理可知，则可知=，故可知答案为． 考点：解三角形的运用 点评：解决的关键是对于已知的条件合理的选择面积公式得到c的值，进而利用正弦定理来得到比值的求解，属于基础题． 14. 已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个极值点可限定出，即可解得实数的取值范围. 【详解】由，即， 可得或， 根据正弦函数图象性质可知，解得， 则； 将函数的图象向左平移个单位可得， 又为偶函数， 则，又，可得，因此； 当时，可知， 若函数在内恰有个极值点，可知， 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得，再由平移后的函数为偶函数求得，得出函数的解析式后问题便迎刃而解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (1)已知复数是关于x的方程的一个根，求的值； (2)已知复数，，，求． 【答案】(1)12；(2). 【解析】 【分析】(1)把代换中的x，化简，再由复数相等解得； (2)把z1，z2代入式中，利用复数运算计算出z而得解. 【详解】(1)因为是方程的一个根， ∴ ∴，而 ∴ ∴，∴ (2)∵，， ∴， ∴ 16. 设，是不共线的非零向量，且，． （1）若，求，u的值． （2）若，是互相垂直的单位向量，求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过条件利用表示，然后利用平面向量基本定理列方程组求解； （2）先求出，，，然后再用向量的夹角公式求即可. 【小问1详解】 ，， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 ，是互相垂直的单位向量，即， ， ， ， ，又， . 17. 为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得，两点的距离为海里. （1）求的面积； （2）求，之间的距离. 【答案】（1）平方海里；（2）海里 【解析】 【分析】（1）在△ABD中，由题可知∠BAD=，∠ADB=，利用正弦定理，即可求得AD，代入三角形面积公式即可求得三角形ABD的面积；（2）由题可知∠ABC=，又知所以∠BCA=，所以AB=AC=，在△DBC中，利用余弦定理即可求出CD. 【详解】（1）如图所示,在中 由正弦定理可得，， 则的面积 （平方海里） （2）， 在中，由余弦定理得， 即（海里） 答：的面积为平方海里，，间的距离为海里. 18. 已知函数的部分图象如图所示.先将图象上的每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）已知，均为锐角，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定的函数图象求出，再利用三角函数图象变换求出的解析式； （2）根据（1）中结果，得到，再根据条件，可得，，利用正弦的和角公式，即可求出结果. 【小问1详解】 观察图象，函数的周期，则，， 由，得，而，则，所以， 将图象上的每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，得的图象， 最后向下平移1个单位长度，所以的解析式是. 【小问2详解】 因为，由（1）得，所以， 又，均为锐角，得到，又， 所以，， 所以. 19. 在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答，在，角的对边分别是，边长，为的面积，若______（填条件序号） （1）求角的大小； （2）若为内一点且，求长度最大值； （3）若为锐角三角形，求的内切圆半径的取值范围. 【答案】（1）选①或②， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选①，利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理即可得出答案；选②，利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式求得，即可得出答案； （2）根据条件得到是的重心，利用向量的中线公式及余弦定理得到，即可求解； （3）利用面积公式得到，利用（2）中结果，得到，再利用正弦定求出的取值范围，即可求解. 【小问1详解】 选①，因为， 所以，即，得到， 所以，又， 所以. 选②，因为，所以，得到， 则，所以， 由，则， 所以，所以. 【小问2详解】 如图，设是中点，因为，所以， 则三点共线，即在的中线上，同理可得在的中线上，所以是的重心， 又，得到， 由余弦定理得，，所以，得到，当且仅当时取等号， 所以，得到， 所以，即长度最大值为. 【小问3详解】 设的内切圆半径， 因为，得到， 由（2）知，得到，所以， 由正弦定理知，又， 所以 ， 又为锐角三角形，所以，得到，所以， 所以，得到，即， 所以的内切圆半径的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $