专题01 利用数轴进行数形结合的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪科版2024）

专题01 利用数轴进行数形结合的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、利用数轴比较有理数的大小 3 类型二、利用数轴表示相反数和绝对值 4 类型三、利用数轴求整数点的个数 5 类型四、利用数轴解决形成问题 6 压轴能力测评 7 在数学里“数”和“形”是有密切联系的,我们常用代数的方法来处理几何问题;反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种“数”与“形”之间的相互作用叫数形结合,它是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立“数”与“形”之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主要体现在以下几个方面： (1)利用数轴能形象地表示有理数； (2)利用数轴能直观地解释相反数; (3)利用数轴比较有理数的大小; (4)利用数轴解决与绝对值相关的问题; (5)巧用数轴可以探究动点的规律; (6)应用数轴解决行程问题 1 数轴三要素及画法 (1)数轴的三要素：规定了的直线叫做数轴。 (2)数轴的画法 ①画一条直线（一般画成水平的直线）； ②在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上0 ）； ③确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）④选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示12,3从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2.-3。 (3)数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； (4)“规定”二字是说原点的位置、正方向的选取、单位长度大小的确定都是根据实际需要确定的。 2 有理数与数轴的关系 有理数与数轴的关系： 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如. 3 比较两个数大小的方法 （1） 利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数； （2） 利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数； （3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.。 4 数轴上两点间的距离的表示 用两个点代表的数相减即可，一般用右边的数减去左边的数。或者用绝对值表示。 5 数轴上的动点问题的解决思路 点在数轴上运动时,如何表示点在数轴上的位置,是应用数轴解决行程问题的关键,由于数轴以向右的方向为正方向,因此向右运动a个单位长度看作+a,向左运动a个单位长度看作-a,这样就可以结合两点之间的距离公式,再运用行程问题的相遇公式即可解决。 6.相反数 (1)相反数的定义与性质 相反数的定义：只有不同的两个数叫做互为相反数； 相反数的性质：若a与b互为相反数，则a+b=0,a÷b=-1(b≠0)，两个数相加为零，则这两个数互为他们分别位于原点的且到原点的两侧； (2)相反数的几何意义； (3)相反数和倒数。 类型一、利用数轴比较有理数的大小 解题方法：利用“数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大”的性质把有理数表示在数轴上,由相对位置得出大小. 例．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．②③ D．①④ 【变式训练2】．如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】．已知、两个点在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 类型二、利用数轴表示相反数和绝对值 解题方法：确定数轴上点所表示的数,首先要确定原点的位置,再根据此点在原点的左右得到其符号,根据此点到原点的距离得到绝对值。 例．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)请在图①的数轴上表示下列各数：，，，，并按从大到小的顺序用“”把它们连接起来； (2)如图②所示，数a和b在数轴上的位置如图所示，将，表示在数轴上，并比较它们的大小； (3)如图③所示，点A，B，C为数轴上的三个点，当点A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5；若以点B为原点，则点A表示的数是______；点C表示的数是______；若点A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是______． 【变式训练1】．已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列； （2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？ 【变式训练2】．如图，图中数轴的单位长度为1. (1)如果点P，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是多少？ (2)如果点R，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是正数，还是负数？此时图中表示的5个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？ 【变式训练3】．如图，已知数轴上有A、B两点（点A在点B的左侧），且两点距离为8个单位长度，若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． （1）图中如果A、B表示的数是互为相反数，那么t为何值时，点P运动到原点； （2）当点A表示的数是时，用含t的代数式表示点P表示的数，并用代数式表示PA、PB的值； （3）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值． 类型三、利用数轴求整数点的个数 解题方法：数轴上整数对应的点便是整数点,确定区间内整数点的个数,先要明确区间内的最大整数与最小整数,再通过计算得到结果. 例．如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数的分别为和6，点E为BD的中点，那么该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段BD的中点最近的整数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练1】．如图，数轴上顺次有A，B，C三个整数点（即各点均表示整数）且BC＝2AB．若A，C两点所表示的数分别是﹣3和3，则点B所表示的数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【变式训练2】．如图，在数轴上有A．B、C、D、E五个整数点（即各点均表示整数），且AB=2BC=3CD=4DE，若A．E两点表示的数的分别为 -13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（     ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 【变式训练3】．如图，在数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且AB＝2BC＝3CD＝4DE，若A、E两点表示的数的分别为－13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（　　） A．－1 B．5 C．6 D．8 类型四、利用数轴解决形成问题 解题方法：点在数轴上运动时,如何表示点在数轴上的位置,是应用数轴解决行程问题的关键,由于数轴以向右的方向为正方向,因此向右运动a个单位长度看作+a,向左运动a个单位长度看作-a,这样就可以结合两点之间的距离公式,再运用行程问题的相遇公式即可解决。 例【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【变式训练1】．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【变式训练2】．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 【变式训练3】．如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 1．有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 2．已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，⑤，其中一定成立的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知、为非零有理数，下列说法： ①若、互为相反数，则； ②若，，则； ③若，则是正数． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．，则x的取值范围是 ． 6．若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 7．在数轴上表示下列各数：，3，，0，，，5，并用“”将它们连接起来．    8．已知有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： 9．阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点． (1)若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是________； (2)若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是________； (3)若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是________． 10．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足． (1)______，_______； (2)若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动． ①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离； ②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 利用数轴进行数形结合的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、利用数轴比较有理数的大小 3 类型二、利用数轴表示相反数和绝对值 5 类型三、利用数轴求整数点的个数 8 类型四、利用数轴解决形成问题 11 压轴能力测评 16 在数学里“数”和“形”是有密切联系的,我们常用代数的方法来处理几何问题;反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种“数”与“形”之间的相互作用叫数形结合,它是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立“数”与“形”之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主要体现在以下几个方面： (1)利用数轴能形象地表示有理数； (2)利用数轴能直观地解释相反数; (3)利用数轴比较有理数的大小; (4)利用数轴解决与绝对值相关的问题; (5)巧用数轴可以探究动点的规律; (6)应用数轴解决行程问题 1 数轴三要素及画法 (1)数轴的三要素：规定了的直线叫做数轴。 (2)数轴的画法 ①画一条直线（一般画成水平的直线）； ②在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上0 ）； ③确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）④选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示12,3从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2.-3。 (3)数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； (4)“规定”二字是说原点的位置、正方向的选取、单位长度大小的确定都是根据实际需要确定的。 2 有理数与数轴的关系 有理数与数轴的关系： 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如. 3 比较两个数大小的方法 （1） 利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数； （2） 利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数； （3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.。 4 数轴上两点间的距离的表示 用两个点代表的数相减即可，一般用右边的数减去左边的数。或者用绝对值表示。 5 数轴上的动点问题的解决思路 点在数轴上运动时,如何表示点在数轴上的位置,是应用数轴解决行程问题的关键,由于数轴以向右的方向为正方向,因此向右运动a个单位长度看作+a,向左运动a个单位长度看作-a,这样就可以结合两点之间的距离公式,再运用行程问题的相遇公式即可解决。 6.相反数 (1)相反数的定义与性质 相反数的定义：只有不同的两个数叫做互为相反数； 相反数的性质：若a与b互为相反数，则a+b=0,a÷b=-1(b≠0)，两个数相加为零，则这两个数互为他们分别位于原点的且到原点的两侧； (2)相反数的几何意义； (3)相反数和倒数。 类型一、利用数轴比较有理数的大小 解题方法：利用“数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大”的性质把有理数表示在数轴上,由相对位置得出大小. 例．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根据数轴上点的位置判断式子，正确理解题意是解题的关键．由有理数a，b在数轴上的对应点的位置，即可判断． 【详解】解：根据数轴可得：， A、，故A不符合题意； B、，正确，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意， 故选：B． 【变式训练1】．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，学会根据点在数轴上的位置来判断数的正负以及代数式的值的符号． 在数轴上，右边的数总大于左边的数．原点右边的表示正数，原点左边的表示负数． 【详解】解：①根据图示知，，故①正确； ②根据图示知，，故②错误； ③根据图示知，、，则．故③错误； ④根据图示知，，，则，，所以．故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 故选：B． 【变式训练2】．如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的比大小．观察数轴可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∵， ∴． 故选：A 【变式训练3】．已知、两个点在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和绝对值，有理数的大小比较，根据实数，在数轴上的位置关系可得：，，再逐项判断即可得到答案，熟练掌握利用数轴比较有理数大小的方法是解题关键． 【详解】解：由数轴上点的位置关系，得，， A、，故本选项结论正确，不符合题意； B、，故本选项结论正确，不符合题意； C、，故本选项结论错误，符合题意； D、，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 类型二、利用数轴表示相反数和绝对值 解题方法：确定数轴上点所表示的数,首先要确定原点的位置,再根据此点在原点的左右得到其符号,根据此点到原点的距离得到绝对值。 例．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)请在图①的数轴上表示下列各数：，，，，并按从大到小的顺序用“”把它们连接起来； (2)如图②所示，数a和b在数轴上的位置如图所示，将，表示在数轴上，并比较它们的大小； (3)如图③所示，点A，B，C为数轴上的三个点，当点A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5；若以点B为原点，则点A表示的数是______；点C表示的数是______；若点A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是______． 【答案】(1)数轴表示见解析， (2)数轴表示见解析， (3)；3； 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数轴上两点的距离计算，熟知数轴上左边的数小于右边的数以及数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）先在数轴上表示出各数，再根据轴上左边的数小于右边的数用大于号将各数连接起来即可； （2）根据题意可得，则，据此在数轴上表示出对应的数即可； （3）先算出，，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：数轴表示如下所示： ∴ （2）解：数轴表示如下所示： ∴； （3）解：∵原本点A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5， ∴，， ∴若以点B为原点，则点A表示的数是；点C表示的数是3； 若点A，C表示的两个数互为相反数， ∴的中点表示的数为0， ∵ ∴点B表示的数是， 故答案为：；3；． 【变式训练1】．已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列； （2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？ 【答案】（1）数轴见解析，；（2）-8；（3）4 【分析】（1）根据相反数的定义作图，再根据数轴右边的数大于左边的数排列即可； （2）先得到b表示的点到原点的距离为8，然后根据数轴表示数的方法即可确定b表示的数； （3）先得到-b表示的点到原点的距离为8，再利用数a表示的点与数的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的点到原点的距离为4，然后根据数轴表示数的方法确定a表示的数． 【详解】解：（1）a，b的相反数的位置表示如图： ∴； （2）∵数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的点到原点的距离为8 ∴b表示的数是-8； （3）∵-b表示的点到原点的距离为8，而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距4个单位长度 ∴a表示的点到原点的距离为8-4=4 ∴a表示的数是4． 【点睛】本题考查了相反数和数轴的应用，灵活应用相反数的定义和数形结合思想是解答本题的关键． 【变式训练2】．如图，图中数轴的单位长度为1. (1)如果点P，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是多少？ (2)如果点R，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是正数，还是负数？此时图中表示的5个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？ 【答案】（1）0  （2）负数，点Q，因为点Q离原点的距离最远 【分析】（1）根据互为相反数的两数表示的点关于原点对称可知PT的中点即为原点，据此即可得出答案； （2）根据互为相反数的两数表示的点关于原点对称可知RT的中点即为原点，据此即可得出答案； 【详解】解：（1）如图所示： S表示的数是0； （2）如图所示： R为-3，T为3，S表示-1是负数，Q点表示的数的绝对值最大，绝对值是7． 【点睛】此题考查数轴，利用相反数的意义确定出原点的位置是解决问题的关键． 【变式训练3】．如图，已知数轴上有A、B两点（点A在点B的左侧），且两点距离为8个单位长度，若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． （1）图中如果A、B表示的数是互为相反数，那么t为何值时，点P运动到原点； （2）当点A表示的数是时，用含t的代数式表示点P表示的数，并用代数式表示PA、PB的值； （3）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值． 【答案】（1）；（2）P表示的数为，PA，PB=；（3）或 【分析】（1）根据A、B两点间的距离和A、B表示的数是互为相反数，可知A表示的数为-4，B表示的数为4，用路程除以速度即可得时间； （2）根据A、B两点间的距离可得B点表示的数，用-3加上P点的运动路程即可得P点表示的数，再根据两点间的距离公式可得PA、PB； （3）利用（2）中的结论建立方程求解． 【详解】（1）∵A、B两点距离为8个单位长度，且表示的数是互为相反数 ∴A表示的数是-4，B表示的数为4 则A到原点的距离为4个单位长度， ∴点P运动到原点时秒 （2）点A表示的数是时，由题意得点B表示的数是5， 则P点表示的数为， PA= PB= （3）∵点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍 ∴PA=2PB 即 当即时，，解得，符合题意； 当即时，，解得，符合题意； 综上，当或秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握相反数与绝对值的性质，以及数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 类型三、利用数轴求整数点的个数 解题方法：数轴上整数对应的点便是整数点,确定区间内整数点的个数,先要明确区间内的最大整数与最小整数,再通过计算得到结果. 例．如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数的分别为和6，点E为BD的中点，那么该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段BD的中点最近的整数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据A、D两点在数轴上所表示的数，求得AD的长度，然后根据2AB=BC=3CD，求得AB、BD的长度，从而找到BD的中点E所表示的数． 【详解】解：∵|AD|=|6-（-5）|=11， 2AB=BC=3CD， ∴AB=1.5CD， ∴1.5CD+3CD+CD=11， ∴CD=2， ∴AB=3， ∴BD=8， ∴ED=BD=4， ∴|6-E|=4， ∴点E所表示的数是：6-4=2． ∴离线段BD的中点最近的整数是2． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、比较线段的长短．灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 【变式训练1】．如图，数轴上顺次有A，B，C三个整数点（即各点均表示整数）且BC＝2AB．若A，C两点所表示的数分别是﹣3和3，则点B所表示的数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】D 【分析】先求出AC、AB的长，再根据A、B的位置即可求得点B所表示的数． 【详解】由题意得：， ∵， ∴， 又∵点B在点A的右边，且点A所表示的数是， ∴点B所表示的数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴的定义，掌握理解数轴的定义是解题关键． 【变式训练2】．如图，在数轴上有A．B、C、D、E五个整数点（即各点均表示整数），且AB=2BC=3CD=4DE，若A．E两点表示的数的分别为 -13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（     ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据已知点求AE的中点，AE长为25，其长为12.5，然后根据AB=2BC=3CD=4DE求出A、C、B、D、E五点的坐标，最后根据这五个坐标找出离中点最近的点即可． 【详解】 根据图示知，AE=25， ∴AE=12.5， ∴AE的中点所表示的数是-0.5； ∵AB=2BC=3CD=4DE， ∴AB：BC：CD：DE=12：6：4：3； 而12+6+4+3恰好是25，就是A点和E点之间的距离， ∴AB=12，BC=6，CD=4，DE=3， ∴这5个点的坐标分别是-13，-1，5，9，12， ∴在上面的5个点中，距离-0.5最近的整数是-1． 故选B． 【点睛】此题综合考查了有理数与数轴，数轴上两点的距离．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 【变式训练3】．如图，在数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且AB＝2BC＝3CD＝4DE，若A、E两点表示的数的分别为－13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（　　） A．－1 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据已知点求AE的中点，AE长为25，其长为12.5，然后根据AB=2BC=3CD=4DE求出A、C、B、D、E五点的坐标，最后根据这五个坐标找出离中点最近的点即可． 【详解】解： 根据图示知，AE=25， ∴AE=12.5， ∴AE的中点所表示的数是-0.5； ∵AB=2BC=3CD=4DE， ∴AB：BC：CD：DE=12：6：4：3； 而12+6+4+3恰好是25，就是A点和E点之间的距离， ∴AB=12，BC=6，CD=4，DE=3， ∴这5个点的坐标分别是-13，-1，5，9，12， ∴在上面的5个点中，距离-0.5最近的整数是-1． 故选A． 【点睛】本题考查数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 类型四、利用数轴解决形成问题 解题方法：点在数轴上运动时,如何表示点在数轴上的位置,是应用数轴解决行程问题的关键,由于数轴以向右的方向为正方向,因此向右运动a个单位长度看作+a,向左运动a个单位长度看作-a,这样就可以结合两点之间的距离公式,再运用行程问题的相遇公式即可解决。 例【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【分析】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【详解】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 【变式训练2】．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，，回答下列问题：    (1)将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (2)将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少； (3)移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗，你有几种移动方法，请写出来． 【答案】(1)1； (2)； (3)能，移动方法共有种：方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为；方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为． 【分析】本题考查数轴的简单应用，理解点在数轴上的移动规律与点对应的数相应的变化是解题的关键． （1）由数轴上的点的移动规律即可求解． （2）由数轴上的点的移动规律即可求解． （3）由数轴上的点的移动规律并分类讨论即可求解． 【详解】（1）因为点表示的数是，所以将点向右移动个单位长度后，此时点所表示的数是； （2）因为点表示的数是，所以将点向左移动个单位长度后，此时点所表示的数是； （3）一共有种移动方法能使移动，，三个点中的任意两个点之后，三个点表示的数相等，且三种方案如下所述： 方案一：将点向右移动个单位，点向右移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案二：将点向右移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 方案三：将点向左移动个单位，点向左移动个单位，此时三个点表示的数均为，符合题意； 综上所述：移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等，且符合题意的移动方法共有种． 【变式训练3】．如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．    (1)两点间的距离是 ； (2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ； (3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数； (4)当时，点是否为线段的中点？ 【答案】(1) (2)， (3)， (4)是，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （3）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解； （4）表示出线段的中点对应的数即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解：当时，动点对应的数是：； 动点对应的数是：， 故答案为：， （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是：； 动点对应的数是： （4）解：线段的中点对应的数是： 令， 解得： ∴当时，点是否为线段的中点 1．有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可知，且，然后逐项分析即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，结论A正确，符合题意； ，故结论B错误，不符合题意； ，故结论C错误，不符合题意； ，故结论D错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴、相反数、绝对值、利用数轴比较有理数大小等知识，解题的关键是理解数轴上左边的数小于右边的数以及绝对值的几何意义． 2．已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，⑤，其中一定成立的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了根据数轴比较大小，绝对值的化简，有理数的加减，绝对值的性质，弄清各数之间的关系，根据，，逐个判断是解题的关键．①根据，，得出，即可判断；②根据，即可判断；③易得，则，即可判断；④根据，，即可判断；⑤先得出，即可判断． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴，故③不正确，不符合题意； ④∵，， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确，符合题意； 综上：综上正确的有：①②④⑤，共4个， 故选：B． 3．如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 4．已知、为非零有理数，下列说法： ①若、互为相反数，则； ②若，，则； ③若，则是正数． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，根据差的绝对值是大数减小数，可得答案． 【详解】解：①、为非零有理数，、互为相反数，则，正确，故①正确； ②若，，则，负数的绝对值是它的相反数，故②错误； ③若，则是正数，故③正确； 故正确的有：①③， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是掌握在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 5．，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，两点间距离，可看作数轴到表示2与的点的距离等于6的点的集合． 【详解】解：由绝对值的意义可知：表示数轴上某点到表示2与的点的距离等于6的点的集合． 故此x的取值范围是：． 故答案为：． 6．若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 7．在数轴上表示下列各数：，3，，0，，，5，并用“”将它们连接起来．    【答案】在数轴上表示各数见解答，． 【分析】根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】解：如图所示：    ∴． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． 8．已知有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先观察数轴，得到，从而得到，，，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ 9．阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点． (1)若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是________； (2)若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是________； (3)若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是________． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得： ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴ ∴点B所表示的数是 10．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足． (1)______，_______； (2)若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动． ①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离； ②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①1，②2秒或7秒 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，即可得出a，b的值； （2）①利用时间等于路程除以速度，可求出点A运动的时间，结合点B的运动速度及出发点，可求出此时点B对应的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出A，B两点间的距离；②当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，根据两点相距5个单位长度，可得出关于t的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵a，b表示的数满足， ∴，， ∴，． 故答案为：，． （2）点A运动到6对应的点所需时间为(秒)， 此时点B运动到的位置为， ∵， ∴A，B两点间的距离为1． 当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 故经过2秒或7秒，两点相距5个单位长度． 【点睛】本题主要考查动点问题，涉及偶次方的非负性、绝对值的非负性，两点之间的距离以及解一元一次方程的应用，解题的关键是能用代数式表示点的位置． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$