第5周检测(第1,2章30%+函数的概念与性质70%)-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第5周检测(第1,2章30%+函数的概念与性质二70%) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图,U是全集,M,P,S是U的子集,则阴影部分表示的集合是(　　) A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩∁US D.(M∩P)∪∁US 2.“a>b>0”是“>1”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递减,则实数m的取值为(　　) A.-1 B.2 C.-1或2 D.-2 4.已知函数f(x)=若f(x)=9,则x的值是(　　) A.3 B.9 C.-1或1 D.-3或3 5.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是(　　) A.f-<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f-<f(2) C.f(2)<f(-1)<f- D.f(2)<f-<f(-1) 6.已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,它们的部分图象如图,则f(x)·g(x)的图象大致是(　　) 7.已知函数f(x)=x2-4x,x∈[1,5],则函数f(x)的值域是(　　) A.[-4,+∞) B.[-3,5] C.[-4,5] D.(-4,5] 8.已知函数f(x)=若方程f(x)=ax有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是(　　) A.[0,1) B.(0,1) C.(0,1] D.(1,+∞) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列函数既是偶函数,在(0,+∞)上又是增函数的是(　　) A.y=x2+1 B.y=2x C.y=|x| D.y=-x 10.下列结论正确的有(　　) A.函数f(x)=(x-1)0+的定义域为(-1,1)∪(1,+∞) B.函数y=f(x),x∈[-1,1]的图象与y轴有且只有一个交点 C.“k>1”是“函数f(x)=(k-1)x+k(k∈R)为增函数”的充要条件 D.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0 11.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:①∀x∈R,f(-x)=f(x);②∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,>0;③f(-1)=0.则下列选项成立的是(　　) A.f(3)>f(4) B.若f(m-1)<f(2),则m∈(-∞,3) C.若>0,则x∈(-1,0)∪(1,+∞) D.∀x∈R,∃m∈R,使得f(x)≥m 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)=则f=　　　　　.  13.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则不等式f(x)<0的解集为　　　　　.  14.若f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),则a的取值范围为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-6或x>1}. (1)若A∩B=⌀,求a的取值范围; (2)若A∪B=B,求a的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)=是奇函数. (1)求实数m的值; (2)解不等式f(x)>x-2. 17.(15分)已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=. (1)确定函数f(x)的解析式; (2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解关于x的不等式f(x-1)+f(x)<0. 18.(17分)某公司研发的A,B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛利润与投入的资金成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛利润0.25千万元;生产B芯片的毛利润y(单位:千万元)与投入的资金x(单位:千万元)的函数关系为y=kxa(x>0),其图象如图所示. (1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛利润y(单位:千万元)与投入资金x(单位:千万元)的函数关系式; (2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,求可以获得的最大利润是多少? 19.(17分)已知f(x)=2x2+mx+n(m,n为常数)是偶函数,且f(1)=4. (1)求f(x)的解析式; (2)若关于x的方程f(x)=kx有两个不相等的实数根,求实数k的取值范围. 参考答案 1.C　由图知,阴影部分在集合M中,在集合P中,但不在集合S中,故阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁US. 故选C. 2.B　由a>b>0,得>1,反之不成立,如a=-2,b=-1,满足>1, 但是不满足a>b>0,故“a>b>0”是>1”的充分不必要条件. 故选B. 3.A　因为y=(m2-m-1)xm是幂函数, 所以m2-m-1=1⇒m=2或m=-1, 当m=-1时,y=x-1=,该函数在(0,+∞)上单调递减,符合题意; 当m=2时,y=x2,该函数在(0,+∞)上单调递增,不符合题意,故选A. 4.A　当x≤0时,f(x)=x+2=9, 解得x=7,不符合题意; 当0<x≤3时,f(x)=x2=9, 解得x=3或x=-3(舍去). 故选A. 5.D　因为函数f(x)是偶函数, 所以f(2)=f(-2). 因为f(x)在(-∞,-1]上是增函数,且-2<-<-1, 所以f(-2)<f-<f(-1), 即f(2)<f-<f(-1). 故选D. 6.C　由f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), ∴f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x). ∴函数f(x)·g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,A,B错, 由图可得当x>0时,f(x)>0,g(x)>0, ∴f(x)·g(x)>0,D错. 故选C. 7.C　f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,该二次函数的对称轴为直线x=2. 因为x∈[1,5],所以f(x)min=f(2)=-4,f(x)max=f(5)=52-4×5=5, 所以当x∈[1,5]时,函数f(x)的值域为[-4,5]. 故选C. 8.B　由题意,当x>0时,x3-(a+1)x2+2ax=ax,可得x2-(a+1)x+a=0,即(x-1)(x-a)=0,最多只有两个根,分别为1和a,此时a>0且a≠1. 那么当x≤0时,则=ax必有两个根, 即x2=ax2-ax,可得x[(a-1)x-a]=0, 则有两个根分别为x=0和x=, 那么<0, 解得0<a<1. 综上可知,实数a的取值范围是(0,1). 故选B. 9.AC　对于A,y=x2+1是偶函数,在(0,+∞)上是增函数,故A正确; 对于B,y=2x为奇函数,故B错误; 对于C,y=|x|为偶函数,当x∈(0,+∞)时,y=x为增函数,故C正确; 对于D,令f(x)=-x,f(-x)=+x=-x=f(x)为偶函数,当x∈(0,1),y=-x为减函数,故D错误,故选AC. 10.BCD　对于A,函数f(x)=(x-1)0+的自变量x满足 解得x≥-1,且x≠1, 因此函数f(x)的定义域为[-1,1)∪(1,+∞),因此不正确; 对于B,函数y=f(x),x∈[-1,1]的图象与y轴有且只有一个交点,根据函数的定义可知正确; C显然正确; 对于D,奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(-0)=-f(0), 因此f(0)=0,所以该命题正确. 故选BCD. 11.CD　∵f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,根据函数的单调性得,f(3)<f(4),选项A错误; 则f(m-1)<f(2)时,|m-1|<2,解得-1<m<3,选项B错误; >0,f(-1)=f(1)=0, 解得x>1或-1<x<0,即>0时,x∈(-1,0)∪(1,+∞),选项C正确; 根据偶函数的单调性可得,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减, ∴f(x)在R上有最小值,故选项D正确. 故选CD. 12.-　因为f(x)= 所以f=f-=3×-=- 13.(-2,2)　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2)=0,可得f(-2)=0, 又因为函数f(x)在(-∞,0]上是减函数, 可得f(x)在[0,+∞)内是增函数, 由不等式f(x)<0,可得-2<x<2,即f(x)<0的解集为(-2,2). 14.(0,3)　因为f(x)在区间(-∞,0)上单调递增, 又因为f(x)是偶函数, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 因为2a2+a+1=2a2+a+1=2a+2+,3a2-2a+1=3a-2+, 所以2a2+a+1和3a2-2a+1是两个正数, 所以f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)等价于2a2+a+1>3a2-2a+1, 解得0<a<3. 故a的取值范围为(0,3). 15.解(1)因为A∩B=⌀, 所以 解得-6≤a≤-2, 所以a的取值范围是 (2)因为A∪B=B, 所以A⊆B, 所以a+3<-6或a>1, 解得a<-9或a>1, 所以a的取值范围是 16.解(1)函数f(x)= 设x<0,则-x>0, 故f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x, 因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 则x2+mx=x2+2x,所以m=2. (2)由(1)可得,f(x)= 当x>0时,不等式f(x)>x-2, 即-x2+2x>x-2, 即x2-x-2<0,解得-1<x<2, 所以0<x<2; 当x=0时,不等式f(x)>x-2,即0>-2,所以x=0; 当x<0时,不等式f(x)>x-2,即x2+2x>x-2,即x2+x+2>0,解得x∈R,所以x<0. 综上所述,不等式f(x)>x-2的解集为{x|x<2}. 17.解(1)由题意,函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,可得f(0)=0,即f(x)=b=0, 可得b=0,即f(x)=, 又由f=,可得, 解得a=1, 所以f(x)=, 经验证,此时满足f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数. 所以函数f(x)的解析式为f(x)= (2)∀x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=, 因为x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,可得x1-x2<0,1-x1x2>0,1+>0,1+>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数. (3)因为函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数, 则不等式f(x-1)+f(x)<0可化为f(x-1)<-f(x)=f(-x). 又因为函数f(x)在区间(-1,1)上是增函数, 可得 解得0<x<, 即不等式的解集为0,. 18.解(1)因为生产A芯片的毛利润与投入的资金成正比, 所以设y=mx(m>0), 因为当x=1时,y=0.25, 所以m=0.25, 所以y=0.25x, 即生产A芯片的毛利润y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式为y=0.25x, 对于生产B芯片的,因为函数y=kxa(x>0)图象过点(1,1),(4,2), 所以 解得 所以y=, 即生产B芯片的毛利润y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=(x>0). (2)设投入x千万元生产B芯片,则投入(40-x)千万元生产A芯片, 则公司所获利润f(x)=0.25(40-x)+-2=--2)2+9, 所以当=2,即x=4千万元时,公司所获利润最大,最大利润为9千万元. 19.解(1)∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=2x2-mx+n=f(x)=2x2+mx+n, 即2mx=0对任意实数x恒成立, ∴m=0, ∴f(x)=2x2+n. 又f(1)=2+n=4, ∴n=2, ∴f(x)=2x2+2. (2)方程f(x)=kx为 2x2-kx+2=0,它有两个不相等的实数根, 则Δ=k2-16>0, 解得k<-4或k>4. ∴k的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$