1.5.1全称量词与存在量词（导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.5.1全称量词与存在量词 导学案 1、 学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系. 2、 重点难点 1. 重点： 通过生活和数学中的丰富实例， 了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．提升数学抽象核心素养 2. 难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定，强化逻辑推理核心素养。. 3、 学习新知 （一）全称量词与全称量词命题 【问题2】　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1); (2)是整数; (3)对所有的; (4)对任意一个是整数. 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universalquantifier),并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题(universalproposition).例如,命题“对任意的是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题. 通常,将含有变量的语句用表示,变量的取值范围用表示.那么,全称量词命题“对中任意一个成立”可用符号简记为 知识梳理 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明成立． (4)要判定全称量词命题“”是假命题，只需举出一个反例即可． 4、 应用新知 例1判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2），； （3）对任意一个无理数x，也是无理数. 分析：要判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明成立；如果在集合M中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.② ①如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数. ②这个方法就是“举反例”. 解：（1）2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题. （2），总有，因而.所以，全称量词命题“，”是真命题. （3）是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，也是无理数”是假命题. 反思感悟　(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可判断命题是假命题． 变式1　判断下列全称量词命题的真假． (1)每个四边形的内角和都是360°； (2)任何实数都有算术平方根； (3)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数． 解　(1)真命题．(2)负数没有算术平方根，假命题．(3)x＝是无理数，但x2＝2是有理数，假命题． （二）存在量词与存在量词命题 　【问题3】下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existentialquantifier),并用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题(existentialproposition). 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等. 【知识梳理】　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，成立”，可用符号简记为“” “存在M中的元素x，成立”，可用符号简记为“” 例2判断下列存在量词命题的真假： （1）有一个实数x，使； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形. 分析：要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使成立即可；如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题. 【解析】（1）由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使”是假命题 （2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题. （3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 变式2：　判断下列存在量词命题的真假． (1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2)至少有一个整数 n,使得 nn 为 为奇数； 是无理数是无理教. 【解析】(1)菱形的对角线互相垂直，真命题. ( 2) + n= n( n+ 1) , 故 n 和 n+1 必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题。 (3)当 x时，仍是无理数，真命题. 反思感悟　(1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可判断命题是真命题，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立可判断命题是假命题． 5、 能力提升 题型一： 全称量词命题与存在量词命题的判断 【练习1】给出下列几个命题为存在量词命题的是（ ） A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意是奇数 D.存在是奇数 【答案】　C 【解析】　因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题． 跟踪练习1：给出下列几个命题： ①至少有一个,使成立; ②对任意的,都有成立; ③对任意的,都有不成立; ④存在,使成立. 其中是全称量词命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】　B 【解析】因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2. 反思感悟　全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 题型二：全称量词命题与存在量词命题真假的判断 【练习2】判断下列命题的真假． (1); (2)存在一个四边形不是平行四边形; (3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对都对应一点; (4). 【解析】 (1)因为,且,所以“”是真命题. (2)真命题,如梯形. (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题. (4)因为,所以命题“”是假命题. 反思感悟　全称量词命题和存在量词命题真假的判断 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假． (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假． 跟踪训练2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. 【解析】　(1)是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． （2）是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． 题型三：由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【练习3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 【解析】　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅， 所以解得2≤m≤3. (2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.所以解得. 跟踪训练3　若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】由题意知,不等式恒成立,即不等式恒成立. (1)当时,不等式可化为,显然不恒成立,不合题意. (2)当时,要使不等式恒成立,则 解得. 综上可知,所求实数的取值范围是. 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)． 6、 课堂总结 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P28的练习1~2题； (3)课本P31的习题1.5的1、2、3. 附教材P26练习及参考答案 练习 1. 判断下列全称量词命题的真假： （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）任何实数都有算术平方根； （3）是无理数}，是无理数. 【解析】（1）真命题. 连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°， 所以四边形的内角和都是360°是真命题； （2）假命题. 因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题； （3）假命题， 因为是无理数，是有理数，所以是无理数}，是无理数是假命题. 【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题. 2. 判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数. 【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直； （2）假命题，因为若为整数，则必为偶数； （3）真命题，因为是无理数，是无理数. 【点睛】本题考查判断存在量词命题的真假，属于简单题. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5.1全称量词与存在量词 导学案 1、 学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系. 2、 重点难点 1. 重点： 通过生活和数学中的丰富实例， 了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．提升数学抽象核心素养 2. 难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定，强化逻辑推理核心素养。. 3、 学习新知 （一）全称量词与全称量词命题 【问题2】　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1); (2)是整数; (3)对所有的; (4)对任意一个是整数. 有全称量词的命题,叫做全称量词命题(universalproposition).例如,命题“对任意的是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题. 通常,将含有变量的语句用表示,变量的取值范围用表示.那么,全称量词命题“对中任意一个成立”可用符号简记为 4、 应用新知 例1判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2），； （3）对任意一个无理数x，也是无理数. 变式1　判断下列全称量词命题的真假． (1)每个四边形的内角和都是360°； (2)任何实数都有算术平方根； (3)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数． （二）存在量词与存在量词命题 　【问题3】下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existentialquantifier),并用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题(existentialproposition). 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等. 例2判断下列存在量词命题的真假： （1）有一个实数x，使； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形. 变式2：　判断下列存在量词命题的真假． (1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2)至少有一个整数 n,使得 nn 为 为奇数； 是无理数是无理教. 5、 能力提升 题型一： 全称量词命题与存在量词命题的判断 【练习1】给出下列几个命题为存在量词命题的是（ ） A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意是奇数 D.存在是奇数 跟踪练习1：给出下列几个命题： ①至少有一个,使成立; ②对任意的,都有成立; ③对任意的,都有不成立; ④存在,使成立. 其中是全称量词命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 题型二：全称量词命题与存在量词命题真假的判断 【练习2】判断下列命题的真假． (1); (2)存在一个四边形不是平行四边形; (3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对都对应一点; (4). 跟踪训练2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. 题型三：由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 【练习3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 跟踪训练3　若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围． 6、 课堂总结 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P28的练习1~2题； (3)课本P31的习题1.5的1、2、3. 附教材P26练习 1. 判断下列全称量词命题的真假： （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）任何实数都有算术平方根； （3）是无理数}，是无理数. 2. 判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$