1.4.2用空间向量研究夹角问题（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量研究距离、角度问题 第2课时 用空间向量研究空间角问题 一、教材分析 立体几何中的角度问题包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角。其中直线与直线所成的角具有基础地位，直线与平面所成的角、平面与平面所成的角都可以用直线与直线所成的角来刻画，教材结合实例利用直线的方向向量给出了异面直线所成角的向量表示，在此基础上，通过把直线与平面所成的角转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，得到了直线与平面所成角的向量表示，然后又定义了两个平面的夹角，通过把两个平面的夹角转化为两个平面的法向量的夹角，得到了两个平面的夹角的向量表示，然后利用空间向量的数量积运算加以解决. 利用空间向量解决立体几何中的距离和角度问题，遵循着用向量解决几何问题的一般路径，这就是： 第一步，清晰地描述图形的几何特征和要解决的问题，这就是“先用几何眼光观察”; 第二步，结合具体问题合理选择基底，用向量语言描述这些特征和问题，用空间向量表示立体几何问 题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题； 第三步，通过空间向量的运算，研究空间基本元素的距离、夹角等度量问题； 第四步，将运算结果“翻译”成相应的几何结论，得到相应立体几何问题的解决. 二、学情分析 此外，用向量方法解决立体几何中的问题，需要综合运用向量知识和其他数学知识，通过建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题，这对学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养要求较高. 对于立体几何中的向量方法，要在解决具体问题的基础上，归纳概括出用空间向量解决立体几何中的问题的“三步曲”，并在解决立体几何中的问题时不断体会、理解进而掌握向量方法. 用空间向量研究角度问题，教学时首先要引导学生解决一个求两条直线夹角的余弦值的问题，进而利用直线的方向向量给出异面直线所成角的向量表示，在此基础上，引导学生将直线与平面所成的角转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，从而可以得到直线与平面所成的角的向量表示， 对于两个平面的夹角，教学时要注意与二面角进行比较，要提醒学生注意：二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是;而平面与平面的夹角是指平面与平面相交，形成的四个二面角中不大于的二面角. 然后引导学生通过把两个平面的夹角转化为两个平面法向量的夹角，进而得到两个平面夹角的向量表示.最后通过实例教学，巩固用向量方法解决立体几何问题的‘三步曲”,提高学生分析问题、解决问题的能力。 三、教学目标 （一）课程标准要求 ①能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量。 ②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。 ③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。 ④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题(参见案例16)和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 （二）课时目标要求 1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角，发展直观想象，数学运算素养. 2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角，发展直观想象，数学运算素养. 3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小，发展直观想象，数学运算素养. 四、重点难点 教学重点：利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角. 教学难点：根据问题的条件选择适当的基底； 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”，从春分（节气）点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等，这便是星座的由来。. 设计意图：从生活情境问题中引入空间中点到直线的距离问题，实现课题引入，强化学习目标，为学习新知做好心理准备. 环节二：学习新知 与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.请同学们先看问题1. 问题1：例7，如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值． 分析：求直线和夹角的余弦值，可以转化为求向量与夹角的余弦值．为此需要把向量，用适当的基底表示出来，.为此,选择为基底并表示向量，进而求得向量，夹角的余弦值． 解：化为向量问题 如图1.4-19，以作为基底， 则，． 设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于． 在此基础上,将此问题推广到一般,学生思考后作答,教师对学生的回答给予补充.梳理出将立体几何问题转化为向量问题的途径: 途径1:通过建立一个基底,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题; 途径2:通过建立空间直角坐标系,用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题.实际上,空间直角坐标系也是基底,是“特殊”的基底. 进行向量运算 ． 又和均为等边三角形，所以． 所以， 所以． 回到图形问题 所以直线和夹角的余弦值为． 追问:回顾问题1的求解过程,你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗?其基本步骤是怎样的？ 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得．也就是说，若异面直线所成的夹角为，方向向量分别为，那么夹角与方向向量的夹角之间的关系如下： 图1 图2 如图1，异面直线的夹角满足，， 如图2，异面直线的夹角满足，， 所以， 在此基础上,教师板书下面的过程,让学生进一步认识用向量方法解决几何问题的基本步骤: 几何问题向量问题向量运算几何解释. 设计意图:通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题,归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法. 问题2：类比直线与直线夹角的向量解决步骤，一般地,如何求直线与平面所成的角?如何将几何问题转化为向量问题? 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． 如图1.4-20，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量，平面的法向量为，则夹角为与的关系如下： 图1.4-20（1） 图1.4-20（2） 在图1.4-20（1）中，直线与平面所成的角满足，； 在图1.4-20（2）中，直线与平面所成的角满足，； 所以， ． 设计意图:通过本问题的解决,让学生体会法向量在求解直线与平面所成角时的关键作用,并得出一般的求解直线和平面所成角的向量表达式. 问题3:类比已有的直线、平面所成角的定义,你认为应如何合理定义两个平面所成的角?进一步地,如何求平面和平面的夹角? 如图1.4-21，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角． 类似于两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面与平面的夹角为，则与的关系如下： 图1.4-21(1) 图1.4-21(2) 在图1.4-21（1）中，平面与平面的夹角为满足，； 在图1.4-21（2）中，平面与平面的夹角为满足，； 所以，． 追问:你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗? 师生活动:学生思考、回答,教师与学生共同总结. 二面角的大小是指其两个半平面的张开程度,可以用其平面角的大小来定义,它的取值范围是;而平面与平面的夹角是指平面与平面相交,形成的四个二面角中不大于的二面角. 设计意图:引导学生类比已有的空间基本元素所成角的定义,建立平面与平面的夹角的概念,并进一步利用向量方法得到求解两个平面夹角的表达式.结合法向量的求解,使学生体验不定方程组的“通解”和“特解”之间的关系,体会一般性寓于特殊性之中的道理.通过对平面与平面的夹角和二面角的辨析,使学生对平面与平面的夹角的理解更加深入. 环节三：根据新知，简单应用 例8.如图1.4-22，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值． 分析：因为平面与平面的夹角可以转化为平面与平面的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可． 解：化为向量问题 以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角． 进行向量运算 因为平面，所以平面的一个法向量为， 根据所建立的空间直角坐标系，可知，，． 所以，． 设，则 所以，所以 取，则 ． 回到图形问题 设平面与平面的夹角为，则． 即平面与平面的夹角的余弦值为． 师生活动:教师引导学生先分析题意,明确解题思路,再让学生独立解答,教帅根据学生的解答板书补充,其中重点关注法向量的求法.为了保证解题规范,教师展示学生的解答,并适当完善学生板书. 设计意图:通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法,进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系,进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤. 方法规律： 向量法求两平面夹角的步骤 用向量法求两平面夹角的大小,可以避免作出二面角的平面角这一难点,转化为计算两半平面法向量的夹角问题,具体求解步骤如下: (1)建立空间直角坐标系; (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量; (3)求两个法向量的夹角; (4)确定两平面夹角的大小. 变式训练： 1.如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值． 解析：∵正三棱柱的所有棱长均为2，取的中点，则， 平面，取的中点，连接，，，两两垂直． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 设平面的法向量为， 则，取，则，，， 设平面的法向量为， ，取，则，，． ． 设平面与平面的夹角为，则． 例9 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 师生活动:教师引导学生思考下列问题: (1)降落伞匀速下落,下落过程中,8根绳子拉力的合力大小与礼物重力大小有什么关系? (2)每根绳子的拉力和合力有什么关系? (3)如何用向量方法解决这个问题? 师生共同分析,将实际问题转化数学问题,进而解决问题. 设计意图:让学生体会向量方法在解决实际问题中的作用. 分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量． 解：如图1.4-24， 设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为．因为，所以在上的投影向量为．所以8根绳子拉力的合力． 又因为降落伞匀速下落，所以． 所以，所以． 例10 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 你能找到解决问题的方法吗? 师生活动:教师引导学生根据条件确定利用空间直角坐标系解决问题.建立以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系. 分析： 本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． 解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设． （1）证明： 连接，交于点， 连接．依題意得，，． 因为底面是正方形，所以点是它的中心，故点的坐标为，且， ，所以，即． 而平面， 且平面， 因此平面． （2）证明：依题意得，，又，故， 所以．由已知，且，所以平面． （3）解： 已知，由（2）可知，故是平面与平面的夹角． 设点的坐标为，则． 因为，所以，即，，， 设，则，所以， 点的坐标为．又点的坐标为，所以． 所以． 所以，即平面与平面的夹角大小为． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：异面直线所成角的求解. 例：在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，求异面直线与所成角的余弦值. A． B． C． D． 解析：(方法1，坐标法) 建立如图（1）所示的空间直角坐标．设，则，， ，，，， ． 设与所成角为，． (方法2，基向量法) 取为基底，如图（2）， 设，，，， 则，， ． 设与所成角为，． (方法3，几何法) 如图（3），取中点，连接，，，设． ，分别为，的中点， ，，， ．四边形为平行四边形， ， 或其补角为异面直线与所成的角． 在中，，，， ． 设与所成角为，则． 规律小结： 求异面直线所成的角的两种方法 (1)几何法:解决此类问题,关键是通过平移法求解.过某一点作平行线,将异面直线所成的角转化为平面角,最后通过解三角形求解.主要以“作,证,算”来求异面直线所成的角.同时,要注意异面直线所成角的范围. (2)向量法:将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角.若求出的两向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角,即. 易错提醒:由于两异面直线所成的角的范围是,而两向量夹角的范围是,故应有,求解时要特别注意. 变式训练： 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．求异面直线，所成角的余弦值． 解析：(方法1)取基底．， ． ，， ． 设异面直线，所成角为，则． (方法2)如图，连接，取的中点，连接，，为的中点，， 或其补角是异面直线，所成的角，在中，， ，，． ∴异面直线所成角的余弦值为． 题型二：空间直线与平面所成角的求解. 例.已知，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，求直线与平面所成角的余弦值 解析： 方法一（坐标法）： 把，，放在正方体中，如图所示，与，与，与的夹角均为， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，， ，，，设平面的法向量， ，设，则，， ，． 设直线与平面所成角为， 则，． 方法二（几何法）： 过上一点作平面，过点作，， 则就是直线与平面所成的角， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面，平面， 所以平面，平面， 所以， 同理可证，因为， 所以， 所以，故， 所以点在的平分线上，， 设，则，， 故， 所以直线与平面所成角的余弦值是. 规律小结： 求空间直线与平面所成角的方法 几何法 作角：在直线上找一特殊点，过点作平面的垂线，连接斜足与垂足 证角：证明作出的角为线面角 求角：利用直角三角形的边角关系求出线面角 向量法 建系：依据集合条件建立适当的坐标系； 确定向量：找直线的一个方向向量，平面的一个法向量； 计算角度：，结合角的范围确定大小. 变式训练： 1.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，．求直线与平面所成角的正弦值． 解析：由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． ，． ，，，． ∴，，． 设平面的法向量为， ∴，取，则，，． ． 设直线与平面所成角为，则． 2.如图，和所在平面垂直，且，．求： （1）直线与直线所成角的大小； （2）直线与平面所成角的大小； （3）平面和平面的夹角的余弦值． 2．解析：以为原点建立如图所示空间直角坐标系Bxyz． 设，则，，． ，，． （1），，与所成角为． （2）是平面的一个法向量，设与平面所成角为， 则． ，即与平面所成角的大小为45°． （3）设是平面ABD的法向量，则 ，，即，取，则，，． ． 设平面和平面的夹角为，则． 题型三：平面角求二面角问题 例. 如图，在三棱柱中，平面，是直角三角形，，，，分别是线段，的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用线面平行的判断定理可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，运用二面角的向量求解方法可求得答案. 【详解】（1）取AC的中点G，连接MG、BG，因为，分别是线段，的中点，所以， 又，所以，所以四边形MNGB是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面； （2）因为平面，是直角三角形，且是直角，所以以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示， 又，，则， 所以， 因为面，所以取面的法向量，设面的法向量为， 则 ，即，取，则，所以， 所以，又由图示得二面角是锐角，所以二面角的余弦值为. 规律小结： 向量法求二面角的步骤. 1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。 2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标. 3、求：求出两个面的法向量. 4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值； 5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值. 变式训练： 如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为2，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体. (1)求这个组合体的体积； (2)若点F为AC的中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）将组合体拆分为两部分分别求体积即可； （2）根据题意建立合适的空间直角坐标系，求出两个平面的一个法向量，结合二面角坐标计算公式求解答案即可. 【详解】（1）因为三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，是等边三角形， 所以， 所以； 因为三棱锥的棱长均为2， 所以正三棱锥体积为一个棱长为的正方体减去四个三棱锥， 即， （2）如图所示，以E为坐标原点，EC，ED，EB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面EBC的法向量为，易得， 设平面BCF的法向量为， 因为，得， 取，可得 设二面角的平面角大小为， 由图易知，二面角为钝角， 则 故二面角的余弦值为 环节五：凝练升华，课堂小结 教师引导学生回顾本单元的学习内容,并回答以下问题: （1）向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么?你能用一个框图表示吗? （2）通过本节的学习,你对立体几何中的向量方法是否有了一定的认识?请结合例题和上面的框图谈谈体会. （3）解决立体几何中的问题,可用三种方法:综合法、向量法、坐标法.你能说出它们各自的特点吗? 师生活动:师生共同梳理总结本单元的学习内容,引导学生画出用向量法解决立体几何问题的一般步骤的“三步曲”的框图,具体如下: 师生活动：师生共同梳理总结本单元的学习内容，引导学生画出用向量法解决立体几何问题的一般步骤的“三步曲”的框图. 进一步地，在学生回答的基础上，教师指出解决立体几何问题的综合法、向量法、坐标法的特点：综合法通过纯粹的逻辑推理解决问题，向量法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标法经常与向量法结合起来使用.对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法. 设计意图:这里的小结既是本节课的小结，也是本单元的小结.目的是从宏观的思想方法和中观的解题步骤方面进行总结，使学生掌握用向量方法解决立体几何问题的一般方法，并通过综合法、向量法、坐标法的比较，认识它们各自的特点，进一步加深对向量法的认识. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第41页练习第1题 教科书第43-44页习题1.4第9、10、14题 巩固作业答案： 教科书第41页练习第1题 如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，求平面与平面的夹角． 1．解析：取基底，设，，，则， ， ，．设平面，的夹角为，则． 教科书第43页习题第9题 9．如图，分别是正方体的棱和的中点，求： （1）和所成角的大小；（2）和所成角的大小． 9．解析：(方法1)设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，，，，，， ，，． （1），，即和所成角为60°． （2）， ，即与所成角为． (方法2)设正方体的棱长为1．，． （1）(1)∵，， ，，即和所成角为60°． （2），， ，，即与所成角为． 教科书第43页习题1.4第10题 如图，在正方体中，，，，，，分别是，，，，，各棱的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 解析：(方法1)（1）证明：设正方体的棱长为1，分别以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系．则，，，，，． ，，， ，．，， 又，平面． （2）解：由（1）知平面的一个法向量为，，， ．∴直线与的夹角的余弦值为． 与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角的余弦值为． (方法2)设正方体的棱长为1． （1）证明：∵， ，， ，， ，，又，⊥平面． （2）解：， ， ∵，， 与平面所成角的正弦值为，与平面所成角的余弦值为． 教科书第44页习题1.4第14题 如图，已知正方体的棱长为1，为的中点，点在棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 15．解析：（方法1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，正方体棱长为1，为中点，点在棱上，且，，，， ，，设平面的法向量， ，取，则，，． 取平面的法向量，， 设平面与平面的夹角为，则． (方法2)取BC的中点M，则面ABCD． 平面ABCD，点B在平面ABCD内， 在平面ABCD上的射影为， ． 在中，，，， ，， ． 设两平面夹角为，则． 环节七板书设计1.4.2用向量方法求空间角问题 1.异面直线所成角 例1. 2.线面角 例2 3. 面面角 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$