第09讲 一般的一元二次方程的解法-配方法（九大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第09讲 一般的一元二次方程的解法-配方法（九大题型） 学习目标 1、 学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程； 2、 掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程； 3、了解配方法的应用。 Ⅰ、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 一、情境导入，初步认识 前面我们已经学习了直接开平方法解一元二次方程，你会解下列一元二次方程吗？ （1）x2=5； （2）（x+2）2=5； （3）x2+12x+36=5. 第（3）题的左边是个什么式子？ 二、思考探究，获取新知 1.填上适当的数，使下列等式成立. （1）x2+6x+_____=（x+_____）2； （2）x2-6x+_____=（x-_____）2； （3）x2+6x+4=x2+6x+_____-_____+4=（x+_____）2-_____. 【答案】 （1）9 3（2）9 3（3）9 9 3 5 【方法规律】当二次项系数为1时，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使含未知数的项在一个完全平方式里. 2.解方程x2+4x=12 我们已知，如果把方程x2+4x=12写成（x+n）2=d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（x+n）2的形式呢？ 我们学过完全平方式，你能否将左边x2+4x添上一项使它成为一个完全平方式？请相互交流. 写出解题过程. 【方法规律】一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 3.用配方法解方程：x2+2x-1=0. 解：移项，得x2+2x=1. 配方，得x2+2x+=1+， 即（x+1）2=2. 开平方，得x+1=±. 解得x1=-1，x2=-1. 【方法规律】用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错.配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方. Ⅱ、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 一、情境导入，初步认识 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？ 二、思考探究，获取新知 1.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？ 如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流. 试着写出解题过程. 2.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 【方法规律】用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 【方法规律】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d≥0)的形式. 三、运用新知，深化理解 1.解方程 （1）x2-10x+24=0； （2）(2x-1)(x+3)=5； （3）3x2-6x+4=0. 解：（1）移项，得x2-10x=-24， 配方，得x2-10x+25=-24+25， 由此可得(x-5)2=1， x-5=±1， ∴x1=6，x2=4； （2）整理，得2x2+5x-8=0， 移项，得2x2+5x=8， 二次项系数化为1得x2+x=4， 配方，得x2+x+()2=4+()2 (x+)2=， 由此可得x+=±， x1=，x2=； （3）移项，得3x2-6x=-4， 二次项系数化为1，得x2-2x=， 配方，得x2-2x+12=+12, (x-1)2= 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根. Ⅲ、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 特别说明： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 【即学即练1】用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【即学即练2】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练3】用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【即学即练4】用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A． B． C． D． 【即学即练5】一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 题型1：配方法解一元二次方程 【典例1】．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【典例3】．关于y的方程，用 法解，得 ， ． 【典例4】．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【典例5】．用配方法解方程，正确的是（    ） A． B． C．，原方程无实数解 D．，原方程无实数解 【典例6】．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例7】．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型2：配方法的应用—求参数（范围） 【典例8】．珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【典例9】．已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【典例10】．已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：配方法的应用—在二次根式中的应用 【典例11】．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例12】．已知，则 题型4：配方法的应用—在分式中的应用 【典例13】．若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【典例14】．关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 题型5：配方法的应用—比较代数式的大小 【典例15】．若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【典例16】．已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 题型6：配方法的应用—代数式的值恒大于（或小于）某数 【典例17】．代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【典例18】．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 题型7：配方法的应用—最值问题 【典例19】．已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例20】．代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例21】．若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　） A．3 B． C． D．6 【典例22】．阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 题型8：配方法的应用—几何应用 【典例23】．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 【典例24】．如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是 【典例25】．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（    ） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 题型9：配方法的应用—新定义题 【典例26】．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 一、单选题 1．一元二次方程x2﹣6x+2＝0经过配方后可变形为（　　） A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝7 2．一元二次方程化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．用配方法解方程，正确的是（    ） A． B． C．，原方程无实数解 D．，原方程无实数解 4．在解方程时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（    ） 小思： 小博 A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确 C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确 5．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 7．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 8．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（    ） A．6 B． C． D． 9．阅读下列材料:如果,那么,则,由此可知:,.根据以上材料计算的根为   A．, B．, C．, D．, 10．已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数 ，使得方程左边配成一个完全平方式． 12．若一元二次方程配方后为，则 ． 13．将方程配方成的形式，则 ． 14．方程的根是 ． 15．填空9x2﹣8x+ =9（x ）2=（3x﹣ ）2． 16．若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为 ． 17．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是 数． 18．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 三、解答题 19．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．解下列方程： （1）； （2）； （3） （4）； （5）； （6）． 21．阅读：代数式x2+2x+3可以转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），如：x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x2+2x+1）﹣1+3＝（x+1）2+2 （1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式； （2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值． 22．（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 23．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：． 根据上述材料解决下面问题： （1）写出的两种不同形式的配方． （2）已知，求的值． （3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由． 24．先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 25．阅读以下材料，解决后续问题：材料： ①我们学习过完全平方公式：，其中形如的式子叫完全平方式，有时我们可以通过裂项将一个式子变为完全平方式，比如：，. ②完全平方数：一个自然数能写成一个整数的平方，则称这个自然数为完全平方数，例如，则64是一个完全平方数.完全平方数有如下因数特征：若(、为互质的整数)为完全平方数，则、均为完全平方数. 问题：(1)化简： ①. ②. (2)已知、均为正整数，设为完全平方数，且，求的值. 26．小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 移项，得 第一步 配方，得， 第二步 整理，得 第三步 所以 第四步 (1)小明的解答过程是从第_______步开始出错的，其错误原因是_________________； (2)请写出此题正确的解答过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 一般的一元二次方程的解法-配方法（九大题型） 学习目标 1、 学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程； 2、 掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程； 3、了解配方法的应用。 Ⅰ、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 一、情境导入，初步认识 前面我们已经学习了直接开平方法解一元二次方程，你会解下列一元二次方程吗？ （1）x2=5； （2）（x+2）2=5； （3）x2+12x+36=5. 第（3）题的左边是个什么式子？ 二、思考探究，获取新知 1.填上适当的数，使下列等式成立. （1）x2+6x+_____=（x+_____）2； （2）x2-6x+_____=（x-_____）2； （3）x2+6x+4=x2+6x+_____-_____+4=（x+_____）2-_____. 【答案】 （1）9 3（2）9 3（3）9 9 3 5 【方法规律】当二次项系数为1时，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使含未知数的项在一个完全平方式里. 2.解方程x2+4x=12 我们已知，如果把方程x2+4x=12写成（x+n）2=d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（x+n）2的形式呢？ 我们学过完全平方式，你能否将左边x2+4x添上一项使它成为一个完全平方式？请相互交流. 写出解题过程. 【方法规律】一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 3.用配方法解方程：x2+2x-1=0. 解：移项，得x2+2x=1. 配方，得x2+2x+=1+， 即（x+1）2=2. 开平方，得x+1=±. 解得x1=-1，x2=-1. 【方法规律】用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错.配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方. Ⅱ、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 一、情境导入，初步认识 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？ 二、思考探究，获取新知 1.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？ 如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流. 试着写出解题过程. 2.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 【方法规律】用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 【方法规律】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d≥0)的形式. 三、运用新知，深化理解 1.解方程 （1）x2-10x+24=0； （2）(2x-1)(x+3)=5； （3）3x2-6x+4=0. 解：（1）移项，得x2-10x=-24， 配方，得x2-10x+25=-24+25， 由此可得(x-5)2=1， x-5=±1， ∴x1=6，x2=4； （2）整理，得2x2+5x-8=0， 移项，得2x2+5x=8， 二次项系数化为1得x2+x=4， 配方，得x2+x+()2=4+()2 (x+)2=， 由此可得x+=±， x1=，x2=； （3）移项，得3x2-6x=-4， 二次项系数化为1，得x2-2x=， 配方，得x2-2x+12=+12, (x-1)2= 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根. Ⅲ、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 特别说明： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好． 【即学即练1】用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法， （1）移项后再配方即可求解； （2）移项后再配方即可求解； （3）直接配方即可求解； （4）移项后再配方即可求解； 解题的关键是掌握：解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①将常数项移到方程的另一边，再将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； ②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； ③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【解析】（1）解：， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （2）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （3）， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （4）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，． 【即学即练2】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． 【解析】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 【即学即练3】用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【解析】（1）解：原方程可化为． 配方，得，即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，； （2）解：原方程可化为． 配方，得， 即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，． 【即学即练4】用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数即可得出结果． 【解析】解：， ， ， ， 故选：A． 【即学即练5】一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 【解析】解： 故选A． 题型1：配方法解一元二次方程 【典例1】．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案． 【解析】解：， ， 则， 即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法． 【典例2】．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【解析】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 【典例3】．关于y的方程，用 法解，得 ， ． 【答案】 配方 102 【分析】利用配方法解一元二次方程即可得． 【解析】， ， ， ， ， ， 故答案为：配方，102，． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键． 【典例4】．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】B 【分析】根据配方的步骤计算即可解题． 【解析】 故B错误．且ACD选项均正确， 故选：B 【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可． 【典例5】．用配方法解方程，正确的是（    ） A． B． C．，原方程无实数解 D．，原方程无实数解 【答案】D 【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解． 【解析】方程移项得：x2-x=-1， 配方得：x2-x+=-，即（x-）2=-， 则原方程无实数解， 故选D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【典例6】．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为1，然后把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得到答案． 【解析】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法． 【典例7】．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用配方法求解即可． 【解析】（1）解：3x2−5x=2 移项得：x2-x=， 配方得：x2-x+=+， 合并得：（x-）2=， 解得：x1=+=2，x2=-=-； （2）解：x2+8x=9 配方得：x2+8x +16=9+16， 合并得：（x+4）2=25， 解得x1=1，x2=-9； （3）解：x2+12x−15=0 移项得：x2+12x+36=15+36， 配方得：（x+6）2=51 解得x1=-6＋，x2=-6- （4）解：x2−x−4=0 去分母得：， 移项得：， 配方得：x2-4 x+4=16+4， 合并得：（x-2）2=20， 解得：x1=2＋2，x2=2－2； （5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得：， 移项得：， 配方得：x2+6x+9=-5+9， 合并得：（x+3）2=4， 解得：x1=-1，x2=--5； （6）解：x2+px+q=0， 移项得：， 配方得：x2+px+=-q+， 合并得：(x+)2=， 解得x=． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 题型2：配方法的应用—求参数（范围） 【典例8】．珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用．按照一移，二配，三变形的方法，进行配方后，判断即可．掌握配方法，是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴到p的值为，q的值为6， 故选B． 【典例9】．已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】首先把，，，两边相加整理成，分解因式，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可． 【解析】解：，，， ， ， ，，， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法，解题的关键是掌握完全平方公式是解决问题的关键． 【典例10】．已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由变形得，代入中得到，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案． 【解析】 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键． 题型3：配方法的应用—在二次根式中的应用 【典例11】．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【解析】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 【典例12】．已知，则 【答案】20 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可． 【解析】将等式整理配方, ∴ 则=0，=0，=0 ∵a-1≥0，b-2≥0，c-3≥0， ∴∴a=2，b=6，c=12， ∴a+b+c=20. 故填：20. 【点睛】此题主要考查配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用. 题型4：配方法的应用—在分式中的应用 【典例13】．若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】 本题考查了配方法的应用、已知式子的值，求代数式的值，先整理，以及把化为，再把，代入计算化简，即可作答． 【解析】解：∵ ∴， 则 把，代入上式，得 故选：A 【典例14】．关于代数式，有以下几种说法， ①当时，则的值为-4. ②若值为2，则. ③若，则存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【解析】解：①当时， ． 故①正确； ②若值为2， 则， ∴a2+2a+1=2a+4， ∴a2=3， ∴． 故②错误； ③若a＞-2，则a+2＞0， ∴= = =≥0． ∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0． 故③正确． 综上，正确的有①③． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键． 题型5：配方法的应用—比较代数式的大小 【典例15】．若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【解析】∵M=2-12x+15，N=-8x+11， ∴M-N= . ∵， ∴M-N0， ∴MN. 故选A. 点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小. 【典例16】．已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【解析】解：， ，， ， ， 故选：B 题型6：配方法的应用—代数式的值恒大于（或小于）某数 【典例17】．代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【答案】D 【分析】利用配方法把所给代数式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值一定不小于1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将所给代数式变形为是解题的关键． 【典例18】．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 【答案】C 【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可． 【解析】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7 ＝4x2＋8x＋4＋3y2−12y＋3 ＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2−4y＋1） ＝4（x＋1）2＋3（y2−4y＋4−4＋1） ＝4（x＋1）2＋3（y−2）2−9， ∵（x＋1）2≥0，（y−2）2≥0， ∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥−9． 即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于−9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法． 题型7：配方法的应用—最值问题 【典例19】．已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得，进而得到，把代入，配方可得，再根据非负数的即可求出的最小值，由倒数的定义得到是解题的关键． 【解析】解：∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【典例20】．代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先将原式变形为，再分解因式，然后根据配方法得到，然后利用非负数的性质即可求解． 【解析】解：原式 ， 当，时，原式有最小值， 此时最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，配方法的应用，以及非负数的性质，得出是解题的关键． 【典例21】．若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】设，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值． 【解析】设， 则，，， ∴x2+y2+z2 =14k2+10k+6， ． 故最小值为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，关键是把x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值． 【典例22】．阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查的是配方法的应用，把化为，再结合可得答案，掌握配方法的步骤与方法是解本题的关键． 【解析】解： ； ∵， ∴， ∴代数式有最大值． 故选D 题型8：配方法的应用—几何应用 【典例23】．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 【答案】等腰 【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状． 【解析】解：∵ ∴ ， ∴， ∴， 即， 整理得：， ∵，， ∴，即；，即， ∴， 则△ABC为等腰三角形． 故答案是：等腰． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【典例24】．如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是 【答案】 【解析】解方程：，得 ， ∴. ∵一个三角形的三边均满足方程 ， ∴此三角形是以5为边长的等边三角形， ∴三角形的面积=°=. 故答案是：. 【典例25】．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（    ） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 【答案】C 【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【解析】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0， ∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0， ∴（a-5）2+（b-8）2=0， ∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0， ∴a-5=0，b-8=0， ∴a=5，b=8． ∵三角形的三条边为a，b，c， ∴b-a＜c＜b+a， ∴3＜c＜13． 又∵这个三角形的最大边为c， ∴8＜c＜13． 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键． 题型9：配方法的应用—新定义题 【典例26】．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【解析】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 一、单选题 1．一元二次方程x2﹣6x+2＝0经过配方后可变形为（　　） A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝7 【答案】D 【分析】利用配方法的步骤配方即可解答． 【解析】解：移项，得：x2﹣6x＝﹣2， 配方，得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7， 故选：D． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键． 2．一元二次方程化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可． 【解析】解：∵2x2-3x+1=0， ∴2x2-3x=-1， ， ， ， ∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：， 故选：A． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3．用配方法解方程，正确的是（    ） A． B． C．，原方程无实数解 D．，原方程无实数解 【答案】D 【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解． 【解析】方程移项得：x2-x=-1， 配方得：x2-x+=-，即（x-）2=-， 则原方程无实数解， 故选D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．在解方程时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（    ） 小思： 小博 A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确 C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】利用配方法把含未知数的项写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程． 【解析】由图知，小思和小博除了第一步x2的系数化1不一致，其他都一样．两人的做法都正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 5．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到、的值，最后计算它们的和即可． 【解析】解：， ， ， ，， 故选：． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 6．若M=2-12x+15，N=-8x+11，则M与N的大小关系为（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【解析】∵M=2-12x+15，N=-8x+11， ∴M-N= . ∵， ∴M-N0， ∴MN. 故选A. 点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小. 7．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案． 【解析】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0， ∴（a+b+c）（a2+a+1）=0． ∵a2+a+1=（a+）2+＞0， ∴a+b+c=0． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 8．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论． 【解析】x2+6x+m=0， x2+6x=-m， ∵阴影部分的面积为36， ∴x2+6x=36， 4x=6， x=， 同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 9．阅读下列材料:如果,那么,则,由此可知:,.根据以上材料计算的根为   A．, B．, C．, D．, 【答案】A 【分析】把的左边整理为平方差公式的形式，然后进行因式分解并解答． 【解析】 x-3=±5 x1=8 ,x2= -2 故选A 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程．关键是要熟练掌握配方法的一般步骤. 10．已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由m2-m+c=0，可得m2-m=-c，代入n=4m2-4m+c2-，得到n=c2-2c-，再配方后，根据非负数的性质可求n的取值范围． 【解析】∵m2-m+c=0， ∴m2-m=-c， ∵m2-m=（m-）2-≥-， ∴-c≥-， ∴c≤， ∵n=4m2-4m+c2- =4（m2-m）+c2- =4×（-c）+c2- =c2-2c- =（c-1）2-， ∵（c-1）2≥， ∴n≥-1． 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题关键是通过配方确定c的取值范围并根据题意得到n=c2-2c-． 二、填空题 11．用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数 ，使得方程左边配成一个完全平方式． 【答案】16 【分析】根据一元二次方程的配方法可直接进行求解． 【解析】解：用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数16，使得方程左边配成一个完全平方式，即为； 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 12．若一元二次方程配方后为，则 ． 【答案】12 【分析】将配方后的方程化为一般形式，即可得出a=4，b=3，代入代数式求解即可． 【解析】解：∵一元二次方程−ax+b=0配方后为， ∴将整理为， ∴a=4，b=3， ∴ab=12， 故答案为：12． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的配方法及求代数式的值，将配方后的方程展开是解题关键． 13．将方程配方成的形式，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．利用配方法解答，即可求解． 【解析】解：， 移项得， 配方得：， 即， ∴， ∴． 故答案为：9 14．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【解析】解：移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， ∴， ∴，． 故答案为：， 15．填空9x2﹣8x+ =9（x ）2=（3x﹣ ）2． 【答案】 【分析】根据配方法可得二次三项式的常数项是，进而再变形为完全平方的形式即可． 【解析】解：设第一空为a， 则 ∴， 即， ∴原式 ， 故答案为：；；． 【点睛】本题考查配方法的应用，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式的特点． 16．若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为 ． 【答案】181 【解析】x2﹣2x=3599， x2﹣2x+1=3600 （x﹣1）2=3600， x﹣1=±60， 所以a=61，b=﹣59， 所以2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181． 故答案为181． 17．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2－2x－4y+16的值总是 数． 【答案】正 【解析】x2+y2－2x－4y+16=（x2－2x+1）+（y2－4y+4）－1－4+16=（x－1）2+（y－2）2+11，由于（x－1）2≥0，（y－2）2≥0，故（x－1）2+（y－2）2+11≥11，所以x2+y2－2x－4y+16的值总是正数. 故答案为正. 点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明. 18．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解． 【解析】解：∵，p=3，c=2， ∴， ∴a+b=4， ∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积． 三、解答题 19．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用配方法求解即可． 【解析】（1）解：3x2−5x=2 移项得：x2-x=， 配方得：x2-x+=+， 合并得：（x-）2=， 解得：x1=+=2，x2=-=-； （2）解：x2+8x=9 配方得：x2+8x +16=9+16， 合并得：（x+4）2=25， 解得x1=1，x2=-9； （3）解：x2+12x−15=0 移项得：x2+12x+36=15+36， 配方得：（x+6）2=51 解得x1=-6＋，x2=-6- （4）解：x2−x−4=0 去分母得：， 移项得：， 配方得：x2-4 x+4=16+4， 合并得：（x-2）2=20， 解得：x1=2＋2，x2=2－2； （5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得：， 移项得：， 配方得：x2+6x+9=-5+9， 合并得：（x+3）2=4， 解得：x1=-1，x2=--5； （6）解：x2+px+q=0， 移项得：， 配方得：x2+px+=-q+， 合并得：(x+)2=， 解得x=． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 20．解下列方程： （1）； （2）； （3） （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；（5）原方程无实数解；（6） 【分析】（1）直接利用开平方的方法解方程即可； （2）直接利用配方法求解即可； （3）直接利用开平方的方法解方程即可； （4）直接利用配方法求解即可； （5）先配方，然后可以得到，由此可以判断方程无解； （6）先去括号，合并同类项，然后用配方法解方程即可． 【解析】解：（1）由方程可得，， ∴， ∴，； （2）移项得， 配方得， ∴， 解得， ∴，； （3）直接开平方得， 即或， 解得，； （4）移项得，二次项的系数化为1得，， ， ， 解得； （5）由原方程，得，等号的两边同时乘2，得，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，配方得． ∵无论x取何值，恒大于等于零， ∴原方程无实数解； （6）， ， ，， 解得， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 21．阅读：代数式x2+2x+3可以转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），如：x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x2+2x+1）﹣1+3＝（x+1）2+2 （1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式； （2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据示例给出的方法将代数式转化为（x+m）2+k的形式即可， （2）先将代数式转化为（x+m）2+k的形式，再与（x﹣b）2﹣1的形式联立，求出a和b的值即可． 【解析】解：（1）仿照示例的方法可得： （2） ， 即：，， ． 【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的运算规则是解决本题的关键． 22．（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；；②，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质 ，熟练掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小是解题的关键； （1）①分别将m的值代入计算，再进行比较即可；②将两个式子作差得，根据完全平方的非负性，即可得出答案； （2）两个代数式作差，得到完全平方形式，比较大小，即可得出答案． 【解析】解：①当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 故答案为；；；； ②，理由如下：， 无论m取何值， ∴无论m取何值，总有； 故答案是：； （2），理由如下： ∵ ∴． 23．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：． 根据上述材料解决下面问题： （1）写出的两种不同形式的配方． （2）已知，求的值． （3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析． 【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方； （2）根据求出x、y的值，代入求解即可； （3）将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断． 【解析】（1）或． （2）， ． ，．． （3）不能，理由如下：原式变形：． ． 即． ，，． ．a、b、c三条线段不能围成三角形． 【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键． 24．先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【解析】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 25．阅读以下材料，解决后续问题：材料： ①我们学习过完全平方公式：，其中形如的式子叫完全平方式，有时我们可以通过裂项将一个式子变为完全平方式，比如：，. ②完全平方数：一个自然数能写成一个整数的平方，则称这个自然数为完全平方数，例如，则64是一个完全平方数.完全平方数有如下因数特征：若(、为互质的整数)为完全平方数，则、均为完全平方数. 问题：(1)化简： ①. ②. (2)已知、均为正整数，设为完全平方数，且，求的值. 【答案】(1)①；②；(2)，9，16，23，30，37. 【分析】（1）类比题目的分解方法即可得出结果； （2）根据为完全平方数，且，可得或，再分类讨论可得正整数m、n的值，即可得答案. 【解析】(1)①. ②. (2)∵为完全平方数，且， ∴，则或， 当时，，此时，； 当时，，此时，或，或，或，或，. ∴，9，16，23，30，37. 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是能够根据阅读材料进行配方. 26．小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 移项，得 第一步 配方，得， 第二步 整理，得 第三步 所以 第四步 (1)小明的解答过程是从第_______步开始出错的，其错误原因是_________________； (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一；移项没有变号 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式计算是解题的关键． （1） 分析解题步骤不难发现，在第一步中常数项在移项后没有变号，导致求解过程出错； （2）先移项，再把方程两边加上，利用完全平方公式得到，然后利用直接开平方法解方程即可． 【解析】（1）解：分析题目中给出的解题步骤可以发现，在第一步中，原方程常数项在移至等号右侧后没有改变符号，导致整个求解过程出错； （2）解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 开平方得：， ∴，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $$